二项式定理知识点总结

二项式定理知识点总结

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二项式定理.

一、二项式定理:

1n1knkknnabnCn0anCnabCnabCnb

（nN）等号右边的多项式叫做ab的二项展开式，其中各项的系数Cn(k0,1,2,3n)叫做二项式系

nk数。

对二项式定理的理解:

（1）二项展开式有n1项

（2）字母a按降幂排列,从第一项开始，次数由n逐项减1到0;字母b按升幂排列,从第一项开始，次数由0逐项加1到n

（3）二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数a,b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设a1，bx，则

n0n1knknn1xCxCxCxCnnnnx （4）

（5）（nN）



nab（6）要注意二项式定理的双向功能:一方面可将二项式展开,得到一个多项式;另一方面,也可将展

nab开式合并成二项式

二、二项展开式的通项:

knkkTk1Cnabv

knkkTk1Cnab(k0,1,2,3n)二项展开式的通项是二项展开式的第k1项,它体现了二项展开式的项数、系

数、次数的变化规律,是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用

knkkTk1Cnab(k0,1,2,3n)对通项的理解：

（1）字母b的次数和组合数的上标相同

（2）a与b的次数之和为n

（3）在通项公式中共含有a,b,n,k,Tk1这5个元素,知道4个元素便可求第５个元素

例１．

12nCn3Cn9Cn3n1Cn

3等于 ( )

4n4n11nn3434A． B。 C。 Ｄ.3

1(x)9x的展开式中x3的系数及二项式系数 例2．（１)求(12x)的展开式的第四项的系数 （２）求

7

三、二项展开式系数的性质：

①对称性：在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即

0n1n12n2knkCnCn,CnCn,CnCn,CnCn,

②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。

n2n如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即n偶数：CknmaxC；

n12nn12n如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即CknmaxCC

③二项展开式的各项二项数的和等于2，令a1，b1即

n01nCnCnCn(11)n2n

;

④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a1，b1即

0213CnCnCnCn2n1

11(xy)例题:写出的展开式中：

（1）二项式系数最大的项；

（2）项的系数绝对值最大的项;

（3）项的系数最大的项和系数最小的项；

（4）二项式系数的和;

（5）各项系数的和

四、多项式的展开式及展开式中的特定项

(a1a2an)n（1）求多项式的展开式,可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。

例题:求多项式

(x212)32x的展开式

（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项,可以先写出各个二项式的通项再分析。

253(1x)(1x)例题：求的展开式中x的系数

1x42x 的展开式中,前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。 例题：(1)如果在

nx12x的展开式的常数项。 (2）求

3【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式,用待定系数法确定k

五、展开式的系数和

求展开式的系数和关键是给字母赋值,赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定

例题：已知

(12x)7a0a1xa2x2a7x7

,求。 :

（1）a1a2a7; (2)a1a3a5a7； （3）|a0||a1||a7|.

六、二项式定理的应用:

1、二项式定理还应用与以下几方面：

(１)进行近似计算 (2）证明某些整除性问题或求余数

nn22nn3,nN2(3）证明有关的等式和不等式。如证明：取11的展开式中的四项即可。

n２、各种问题的常用处理方法

(１)近似计算的处理方法

当ｎ不是很大，｜x|比较小时可以用展开式的前几项求(1x)的近似值。

6(1.05)例题：的计算结果精确到0．０1的近似值是

nﻩ( ）

Ａ．1.23 B．1.２4 ﻩＣ．1．33 D.1.34

（2）整除性问题或求余数的处理方法

①解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式

②用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k通常为1,若k为其他数,则需对幂的底数k再次构造和或差的形式再展开,只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了

③要注意余数 的范围,对给定的整数a,b(b0),有确定的一对整数q和r,满足abqr,其中b为除数,r为余数,

r0,b,利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数,要注意转换成正数

例题:求2013除以7所得的余数

63例题： 若n为奇数,则

1n12n2n17nCn7Cn7Cn7

被9除得的余数是 （ )

A.0 B。2 C。7 D．8

12(1)n3n例题:当nN且n>１,求证

【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定

综合测试

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．在x310的展开式中，x的系数为ﻩ

6ﻩ（ )

6A．27C10

n4B．27C10

6 ﻩＣ.9C10 D．9C10

42. 已知ab0,b4a， ab的展开式按a的降幂排列，其中第n 等于ﻩ

ﻩ

( ）

项与第n+1项相等,那么正整数ｎ

A．4 ﻩB.9

13C．10 D.１１

3．已知(

aa2)n的展开式的第三项与第二项的系数的比为1１∶2,则n是 （ ）

A.10 Ｂ．１１ Ｃ．１2 D.１3

4．5310被8除的余数是 ﻩﻩ ( ）

ﻩA.1ﻩＢ．2 C.3 D.7

5. (1．05)６的计算结果精确到0.01的近似值是 ﻩ( ）

A.1.23 ﻩB.1．２4

nC.１.33 Ｄ.1.３4

12x4x (nN)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项数是 6.二项式ﻩﻩﻩ( ）

Ａ.１ ﻩB．2 C.3 ﻩＤ.4

7．设(3x+x)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若ｔ＋h＝2

n1312７2，则展开式的

x项的系数是

2ﻩ （ )

1A．2

B.1 C．2 ﻩD.３

26(1xx)的展开式中x5的系数为ﻩﻩ ８.在

( ）

A．４ ﻩB．５ C．6 ﻩD．7

９．

(31xn51x)展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是

ﻩ ﻩﻩ（ )

A.３30 ﻩＢ．４62 ﻩC．680 ﻩＤ．790

454１0．(x1)(x1)的展开式中,x的系数为ﻩﻩ（ ）

Ａ.－40 B．10 C．4０ D.4５

5１１．二项式（1＋ｓiｎx)ｎ的展开式中,末尾两项的系数之和为7,且系数最大的一项的值为2,则x在[０,2

π]内的值为 ﻩ（ ）

552B.6或6ﻩC．3或3 D．3或6

ﻩA．6或3

12.在(1+x)5+(1＋x）6+(1+x)7的展开式中,含x4项的系数是等差数列 ａｎ=3n－５的 ( ）

A．第2项 Ｂ．第11项 ﻩC．第２0项 Ｄ．第24项

二、填空题：本大题满分16分,每小题4分，各题只要求直接写出结果.

19)2x展开式中x9的系数是 . 13.

(x21４．若

2x34a0a1xa4x4

2，则a0a2a4a1a32的值为＿＿_＿__＿＿＿_.

32n(xx)的展开式中只有第6项的系数最大,则展开式中的常数项是 . １５．若

16．对于二项式（1-x)

1999，有下列四个命题:

①展开式中T1000＝ -C19991000ｘ

999;

②展开式中非常数项的系数和是1；

③展开式中系数最大的项是第１000项和第10０1项；

ﻩ④当x=20０0时，(１-x)

1999除以2000的余数是1.

ﻩ其中正确命题的序号是___＿______.(把你认为正确的命题序号都填上）

三、解答题:本大题满分74分.

１７．（1２分）若

(6x61x)n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.

（１） 求n的值；

(2)此展开式中是否有常数项,为什么？

12x（12分)已知(4)ｎ的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式系数最大的项

１8.的系

数.

１9．（1２分）是否存在等差数列an，使

12nna1C0na2Cna3Cnan1Cnn2

对任意nN都成立?若存在，求出数列an的通项公式;若不存在,请说明理由.

*20．(12分）某地现有耕地10０000亩,规划10年后粮食单产比现在增加2２％,人均粮食占有量比现在提高１0%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1亩）?

m＋21. （12分）设f(x）＝(1+x）（１+x)ｎ(m、nN),若其展开式中,关于x的一次项系数为11,试问:m、

n取何值时，f(x)的展开式中含x２项的系数取最小值，并求出这个最小值．

２２．（14分)规定

x(x1)(xm1)m!

0Cx1mCnmCx,其中x∈R,ｍ是正整数,且，这是组合数(n、m是正整数,且ｍ≤ｎ）的一种推广．

(1) 求

3C15的值；

3

Cx

(2） 设x＞0，当ｘ为何值时，(Cx)取得最小值?

12

(3) 组合数的两个性质；

①

mnmCnCn． ②

mm1mCnCnCn1.

ﻩ是否都能推广到说明理由.

Cxm(x∈R，m是正整数)的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明;若不能，则