二次函数根的分布和最值之欧阳与创编

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

时间：2021.03.08 2创作：欧阳与 1、一元二次方程axbxc0根的分布情况 设方程ax2bxc0a0的不等两根为x1,x2且

x1x2，相应的二次函数为fxax2bxc0，方程的

根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

分布情况两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于x10,x20 x10,x20 0，一个大于0x10x2a0） 大致图象（得出的结论0b0 2af000b0 2af00f00 欧阳与创编 2021.03.08

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大致图象（a0） 得出的结论0b0 2af000b0 2af00f00 综合结a论）（不讨论分布情况大致图象（a0） 得出的结论 0b0 2aaf000b0 2aaf00af00 表二：（两根与k的大小比较）

两根都小于k即 x1k,x2k 两根都大于k即 x1k,x2k 一个根小于k，一个大于k即x1kx2 k k k0bk 2afk00bk 2afk0fk0 欧阳与创编 2021.03.08

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大致图象（a0） 得出的结论0bk 2afk00bk 2afk0fk0 综合结a论）（不讨论分布情况大致图象（a0） 得出的结论 0bk 2aafk00bk 2aafk0afk0 表三：（根在区间上的分布）

两根都在m,n内 两根有且仅有一根在m,n内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在m,n内，另一根在p,q内，mnpq 0fm0fn0 bmn2afmfn0 fm0fn0fmfn或fp0fpfqfq0欧阳与创编 2021.03.08

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大致图象（a0） 得出的结论0fm0fn0 bmn2afmfn0 ffffm0n0fmfn或p0fpfqq0区间m,n外，即在区间两侧x1m,x2n，（图形分别如下）需满足的条件是

（1）a0时，

fm0 fn0fm0fn0（1）两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况：

1 若fm0或fn0，则此时fmfn0不成立，

但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以

综合结论（不讨论—————— fmfn0 fmfn0 fpfq0a） 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在

；（2）a0时，

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：

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求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。如方程mx2m2x20在区间1,3上有一根，因为f10，所以

mx2m2x2x1mx2，另一根为

2m，由123m得m2即为所求；

2方程有且只有一根，且这个根在区间m,n内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数

23的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程

x24mx2m60有且一根在区间3,0内，求m的取值

范围。分析：①由f3f00即14m15m30得出3m3215；②由0即16m242m60得出m114或m，当m1时，根x23,0，即m1满足题意；当m时，根x33,0，故m不满足题意；综上分析，得出3m15或m1 143232根的分布练习题

例1、已知二次方程2m1x22mxm10有一正根和一负根，求实数m的取值范围。

解：由2m1f00即2m1m10，从而得

1m1即为所求的范围。 2例2、已知方程2x2m1xm0有两个不等正实根，

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求实数m的取值范围。 解：由

0m322或m322即为所求的范围。

例3、已知二次函数ym2x22m4x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。

解：由m2f10即m22m102m即为所求的范围。

例4、已知二次方程mx22m3x40只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。

解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则

f0f1043m10m1即为所求范围。 312（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）

1．二次函数及图象

设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式Δ=b2-4ac，当Δ＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x轴无交点．

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当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1＜x2．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根．

观察图象不难知道．

图像为

观察图象不难知道△=0，a＞0 , △=0，a＜0 当△＜0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为

观察图象不难知道．

a＞0时,绝对不等式f(x)＞0解为x∈R．

a＜0时,＜0解为x∈R．

2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结

为不等式（组）的求解问题，其方法有3种： （1）应用求根公式； （2）应用根与系数关系；

（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这

种转化的等价性．

绝对不等式f(x)

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就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质

应是比较简捷的一种方法．

设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α，β（α≤β），m，n为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情况：

②α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑 三、好题解给你

(1) (1) 预习题

1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问， 当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？

由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？

解：经配方有y＝2(x-2)2-7

∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边， ∴y＝f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此

ymax=f(4)＝1． ymin＝f(3)＝-5．

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2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？

当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？

由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值． 解：经配方有y＝2(x-a)2+3． 对称轴为x=a．

当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大．

当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大．

当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小．

根据上述分析，可知．

当a≤3时，ymax=f(4)=2a2-16a+35．ymin=f(3)＝2a2-12a+21．

当3＜a＜4时，ymin＝f(a)＝3．

其中，a≤3.5时，ymax＝f(4)＝2a2-16a+35．

a≥3.5时，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21．

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当a≥4时，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21．ymin＝f(4)＝2a2-16a+35．

(2) (2) 基础题

例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问：

(1)m为何值时，有一正根、一负根．

(2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1． (3)m为何值时，有两正根． (4)m为何值时，有两负根．

(5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？

解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0．

∴ m＜-2．

反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0．

(2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0． 依韦达定理有

(m+2)+2(m-1)+1＜0．

(3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件

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依韦达定理有

(5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实

根条件为f(3)·f(4)＜0，即

[9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0． ∴(7m+1)(9m+10)＜0． 例2.当m为何值时，方程数根？

解：负数根首先是实数根，∴

，

有两个负

由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正． 由以上分析，有

即

∴当

(3) (3) 应用题

时，原方程有两个负数根．

例1.m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都大于2？

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解：设f（x）=x2+（m-2）x+5-m，如图原方程两个实根都大于2

所以当-5＜m≤-4时，方程的两个实根大于2． 例2．已知关于x方程：x2-2ax＋a＝0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实根a的取值范围．

解：设f（x）=x2-2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图0＜α＜1，β＞2的条件是：

＜1，β＞2．

例3．m为何实数时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的一个实根大于2，另一个实根小于2.

解：设f（x）=x2＋（m-2）x＋5-m，如图，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f（2）＜0，即4＋2（m-2）＋5-m＜0．解得m＜-5．所以当m＜-5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2．

(4) (4) 提高题

例1．已知函数

x轴上方，求实数k的取值范围． 解：（1）当图象满足：

的图象都在

，则所给函数为二次函数，

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，即

解得：（2）当若

时，

，则的图象不可能都在x轴上方，∴

若，则y=3的图象都在x轴上方

由（1）（2）得：

反思回顾：此题没有说明所给函数是二次函数，所以要分情况讨论．

例2．已知关于x的方程（m-1）x2-2mx＋m2+m-6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围．

解：设f(x)=x2-2mx+m2＋m-6，则方程f（x）=0的两个根α，β，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标．

如图，0＜α＜1＜β的条件是 解得

例3．已知关于x的方程3x2-5x＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（-2，0），β∈（1，3），求实数a的取值范围．

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解：设f（x）=3x2-5x＋a，由图象特征可知方程f（x）=0的两根α，β，并且α∈（-2，0），β∈（1，3）的 解得-12＜a＜0． 四、课后演武场

1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是（ B ） A．D．

B．C．

2.方程x2+(m2-1)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比-1小，则m的取值范围是（ C ）

A．0＜m＜2B．-3＜m＜1C．-2＜m＜0D．-1＜m＜1 3.已知方程

则k的取值范围是（ C ） A．C．

B．

D．

有两个不相等的实数根，

4．已知关于x的方程3x2+（m-5）x＋7=0的一个根

大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围．

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可知方程f（x）=0的一根大于4，另一根小于4的充要条件是：f（4）＜0）

5．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等

实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．

征可知方程f（x）=0的两根都在（0，2）内的充要条件是

2、二次函数在闭区间m,n上的最大、最小值问题探讨

设fxax2bxc0a0，则二次函数在闭区间

m,n上的最大、最小值有如下的分布情况：

mnb 2ambbn即m,n 2a2abmn 2a 图象最大值、最小 fxmaxfm fxmaxmaxfn,fm fxmaxfn fxminfnbfxminf2a fxminfm对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开

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口向上还是向下，都只有以下两种结论： （1）若bm,n，则fxmaxmaxfm,2abf,fn，2abfxminminfm,f,fn；

2a（2）若bm,n，则fxmaxmaxfm,fn，2afxminminfm,fn

另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习 二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数fxax22ax2ba0在2,3上有最大值5和最小值2，求a,b的值。

解：对称轴x012,3，故函数fx在区间2,3上单调。

（1）当a0时，函数fx在区间2,3上是增函数，故

3ab25a1fxmaxf3； fxf22b2b0min欧阳与创编 2021.03.08

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（2）当a0时，函数fx在区间2,3上是减函数，故

b25a1fxmaxf2 fxf33ab22b3min例2、求函数fxx22ax1,x1,3的最小值。 解：对称轴x0a

（1）当a1时，yminf122a； （2）当1a3时，yminfa1a2； （3）当a3时，yminf3106a

改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？

解：（1）当a2时，fxmaxf3106a； （2）当a2时，fxmaxf122a。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？

解：（1）当a1时，fxmaxf3106a，

fxminf122a；

（2）当1a2时， fxmaxf3106a，

fxminfa1a2；

（3）当2a3时，fxmaxf122a，

fxminfa1a2；

（4）当a3时， fxmaxf122a，

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fxminf3106a。

例3、求函数yx24x3在区间t,t1上的最小值。 解：对称轴x02

（1）当2t即t2时，yminftt24t3； （2）当t2t1即1t2时，yminf21； （3）当2t1即t1时，yminft1t22t 例4、讨论函数fxx2xa1的最小值。 解：

x2xa1,xa，这个函数是一fxxxa12xxa1,xa2个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线

x111111，x，当a，a，a时原函数的222222图象分别如下（1），（2），（3）

因此，（1）当a时，fxmin12121213fa； 24 （2）当a时，fxminfaa21； （3）当a时，fxmin1213fa 24二次函数根的分布

二次函数根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布

欧阳与创编 2021.03.08

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所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个实根为

x1，x2，且x1x2。

b24ac0bxx0 【定理1】x10,x20，则12acxx012a2(m1)x2(m1)xm0有两个正例1若一元二次方程

根，求m的取值范围。

b24ac0b2】x10,x20，则x1x20

acxx012a3】x10x2，则c0

a【定理

【定理

例3k在何范围内取值，一元二次方程kx23kxk30有一个正根和一个负根？

b【定理4】 1)x10，x20c0且0；

ab

2)x10，x20c0且0。

a

2kx4若一元二次方程(2k1)xk30有一根为零，

例

则另一根是正根还是负根？

二．一元二次方程的非零分布——k分布

设一元二次方程ax2bxc0（a0）的两实根为

x1，x2，且x1x2。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即x1，x2相对于k的位置）有以下若干定理。

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【定理

【定理

【定理

b24ac01】kx1x2，则af(k)0

bk2ab24ac02】x1x2k，则af(k)0

bk2a3】x1kx2af(k)0

a0f(k)01f(k2)0f(p)01f(p2)0【定理4】有且仅有k1x1（或x2）k2f(k1)f(k2)0 【定理5】k1x1k2p1x2p2或

a0f(k)01f(k2)0 f(p)01f(p2)0此定理可直接由定理4推出，请自证。

b24ac0a0f(k1)0f(k)02bkk212a【定理6】k1x1x2k2，则

或

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b24ac0a0 f(k1)0f(k)02bkk212a1.方程x2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p的取值范围

2.若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围

3.方程mx2+2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m的取值范围

4.若关于x的方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k的取值范围

5.已知集合A={x|x2+(2-a)x+1=0}，若AR+，求a的取值范围

6.已知A={x|x2+2x+2-p=0}，且A∩R+=φ，求p的取值范围

7. 已知x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且都在[1,3]外，求m范围

8.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰好有一个实根，求a的范围

欧阳与创编 2021.03.08

欧阳与创编 2021.03.08

9.方程ax2-2(a+1)x+a-1=0，是否存在实数a使它的两根都大于1

10.若二次函数y=-x2+mx-1的图像与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的范围

11.已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像的零点至少一个在原点右侧，求m的取值范围

时间：2021.03.08 创作：欧阳与 欧阳与创编 2021.03.08