数学教学中例习题的有效利用

数学教学中例习题的有效利用

作者：冯彩艳

来源：《文理导航·教师论坛》2012年第08期

摘要：著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”数学课堂教学中，对例习题的有效利用就好像波利亚所说的蘑菇，有利于培养学生敢想、能说、善问的好习惯，为学生提供了实践探索的机会，对所学知识能够触类旁通，达到举一反三的作用。 关键词：数学教学 变式训练 有效利用 例习题功能

数学被称为“思维的体操”，其内容多，抽象性强，因而数学教学应注重揭示数学思维活动的全过程，拓宽解题思路，提高应变能力，这是当前课改的重要课题。然而在数学教学中，我们常常会发现许多学生做例习题往往停留于机械模仿，不会独立思考，当问题的形式稍加变化，就束手无策。如果教师能够深入挖掘教材中的例习题，对其进行有效利用，就可开阔学生的视野，激发学生的情趣，有利于培养学生的数学能力、探索精神和创新意识，让教师的教与学生的学都事半功倍。

那么，怎样有效利用例习题？对例习题的有效利用是指在数学教学过程中有目的、有计划地对例习题进行合理的转化，即不断更换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；改变图形的位置、形状、大小等，但不改变问题的本质，即数学中的变式训练。从而使学生掌握数学对象的本质属性，最终使学生掌握在变化过程中始终不变的因素，透过现象看到本质，真正发挥例习题的有效功能，这就是人们常讲的“万变不离其宗”。 下面我对如何在初中数学教学中有效利用例习题谈一点自己的看法： 一、有效利用例习题的意义

著名的数学教育家波利亚曾形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。” 数学课堂教学中，对例习题的有效利用就好像波利亚所说的蘑菇，找到它们有利于培养学生敢想、能说、善问的好习惯，为学生提供实践探索的机会，对所学知识由此及彼、触类旁通，达到举一反三的作用。另外，由于巧妙设计变式于课堂教学中，学生感到课堂丰富多彩，从而增强了课堂的趣味性。这样，例习题才能真正发挥其功能，成为老师手中的方向盘带领学生告别那无尽头的题海。 二、有效利用例习题的原则 1.目的性原则

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

例习题的有效利用，不是题海教学，它应服务于本节教学内容，切忌随意性和盲目性。要通过“变式训练”让学生体会到相应的数学思想方法，提高学生的思维品质，让学生在美丽的变式中领略数学的魅力。 2.有效性原则

过于简单的变式题会让学生认为是简单的“重复劳动”，影响学生思维的质量；而难度大的变式习题易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，因此，在选择课本例习题进行变式时要变得有“度”。 3.参与性原则

在例习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”，培养学生的创新意识和创新精神。 三、有效利用例习题的入手点 1、寻找一题多解，培养思维的发散性

一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，这种方式可以引导学生对同一材料，从不同角度、不同方位思考问题，探求不同的解答方案，从而拓展思路，培养思维的发散性。 例如在研究三角形中位线定理时可以采用多种不同的证明方法。 证法一：以点E为旋转中心，把ADE绕点E，按顺时针方向 旋转180，得到CFE；

证法二：过点C作AB的平行线交DE的延长线于F； 证法三：延长DE至F，使EF=DE，连结CD、AF、CF；

证法四：过E作AB的平行线交BC于F，自A作BC的平行线交FE于G。 2.探究一题多变，培养思维的灵活性

一题多变是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，以便从不同角度，不同方面揭示题目的本质。用这种方式进行教学，培养思维的灵活性的有效手段。一题多变可以改变条件，保留结论；也可以保留条件，改变结论；或者同时改变条件和结论；也可以将某项条件与结论对换或是把结论进一步推广与引伸等等。

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

例：如图，AD⊥BC，BD=DC， 点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ 变式1：（交换一条件与结论）

如图，AD⊥BC，BD=DC，AB=CE，求证：点C在AE的 垂直平分线上

变式2：（改变已知条件）

如图，AD⊥BC，AB=AC，点C在AE的垂直平分线上，求证：AB+BD=DE 变式3：（改变已知条件，深化结论）

如图，点C在AE的垂直平分线上，AB=4，BE=9，求△ABC的周长. 变式4：（推广变式）

如图，若CA=CE，FA=FE，△ABE的周长为19 cm，△ABC的周长为13cm，求线段AD的长.

3、多题一解，培养思维的深刻性

数学有很多问题，表面上看相互各异，但实质上结构却是相同的，因而它们可用同一种方法去解答，让学生演练这样的题组并作比较，可使学生透表求里，自觉地从本质上看问题，从而培养思维的深刻性。

例：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？

变式一：有一木质圆柱形笔筒的高为10，底面半径为6，现要围绕笔筒的表面由A至C，（A，C在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是多少？

变式二：如果圆柱换成棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？

变式三：如果盒子换成长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

变式四：有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？

这类问题都是应用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形。解决问题的基本思想是把立体图形转换为平面图形。将此类问题类比研究，学生能够将其内化为一种规律，达到深刻性的目的。

四、对例习题进行有效利用应注意的问题 1、源于课本，高于课本

在例习题教学中，所选用的“源题”应以课本为主，精心设计和挖掘课本的习题，编制一题多解、一题多变和多题一解以提高学生灵活运用知识的能力。 2、循序渐进，有的放矢 3、纵向联系，温故知新

对例习题的利用要紧密联系以前所学知识，让学生在学习新知识的同时巩固和提高对旧知识的理解，从而提高学习效率。 4、横向联系，开阔视野

在例习题教学中，要注意跟其它学科的联系，让学生的思维得到迁移，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

5、紧扣《中考考试说明》，万变不离其宗

在例习题教学中要以考纲为“纲”进行“变”；不要“变”出一些偏离考纲的“繁、难、杂”题目来浪费学生的宝贵的学习时间和挫伤学生学习数学的兴趣。

总之，在教学实践过程中，对一道例习题进行适当的演变、引伸、拓广，不仅能提高学生的应变能力、探索能力，还能激发学生思维的广阔性、发散性。使学生从不同的角度去观察问题、思考问题，从而提高学生思维过程的整体性、严密性、培养学生的综合素质。并且适当的变式教学是课堂教学艺术的一种表现形式，是活跃课堂气氛，调动学生积极性的一种有效途径，是促进学生进行联想、转化、探索、推理能力的一种主要手段。教学中教师要深入细致地钻研课标，研究教材，深入挖掘例习题潜在的功能，往往会起到意想不到的效果。 参考文献：

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

1.詹红霞：浅谈数学课堂中的变式教学[J]；新课程（教研）；2010年08期 2.牡丹江市逸夫学校 李晶：利用变式教学培养学生创新思维[N]；学知报；2011年