2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册教案：7.2.1 Word版

第七章 复数 7.2 复数的四则运算

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义

教学设计

一、教学目标

1. 能进行复数的代数形式的加、减法运算。

2. 了解复数加、减运算的几何意义，能利用数形结合的思想解题。 二、教学重难点 1. 教学重点

复数的代数形式的加、减法运算，复数加、减运算的几何意义。 2. 教学难点

复数减法的运算法则。 三、教学过程 1. 新课导入

在上一节，我们把实数集扩充到了复数集。引入新数集后，就要研究其中的数之间的运算。下边就来讨论复数集中的运算问题。请同学们思考实数集中的四则运算是否在复数集中仍然适用？ 2. 探索新知

我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它们的和(a+bi)+( c+di)=(a+c)+(b+d)i。实部相加为实部，虚部相加为虚部。很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数。特别地，当z1，z2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和。可以看出，两个复数相加，类似于两个多项式相加。

容易得到，对任意z1，z2 ，z3∈C，有z1+z2= z2+ z1，（z1+z2）+ z3=z1+（z2+ z3）。

如图，设

，

分别与复数a+bi，c+di对应，则

+

=（a,b），=（a+c，b+d）。

=（c,d）。由平面向量的坐标运算法则，得

这说明两个向量

与

的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量。因

此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义。

我们知道，实数的减法是加法的逆运算。类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？ 我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足（c+di）+（x+yi）=a+bi的复数x+yi（x,y∈R）叫做复数a+bi（a,b∈R）减去复数c+di（c,d∈R）的差，记作(a+bi)-( c+di)。根据复数相等的含义，c+x=a,d+y=b，

因此x=a-c,y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i即(a+bi)-( c+di)= (a-c)+(b-d)i。这就是复数的减法法则。由此可见，两个复数的差是一个确定的复数。可以看出，两个复数相减，类似于两个多项式相减。

类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？学生自主思考。 3. 课堂练习

1．复数z1＝a＋4i(a∈R)，z2＝－3＋bi(b∈R)，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A．a＝－3，b＝－4 C．a＝3，b＝－4

B．a＝－3，b＝4 D．a＝3，b＝4

b＋4＝0

解析：选A.由题意，可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故a＋3＝0，

4－b≠0解得a＝－3，b＝－4，故选A.

→→

2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数分别是3＋i，→

－1＋3i，则CD对应的复数是( )

A．2＋4i C．－4＋2i

B．－2＋4i D．4－2i

→→→→→

解析：选D.依题意有CD＝BA＝OA－OB，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即CD对应的复数为4－2i. 3．若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( ) A．1＋i C．－1－i

解析：选B.因为z＋3－2i＝4＋i， 所以z＝4＋i－3＋2i＝1＋3i.

4．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限． 解析：三；因为z＝3－4i，所以|z|＝5，所以z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋(1－i)＝－1－5i. 5．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________．

解析：因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16， 所以a2＝12，所以a＝±23，所以z＝±23－2i. 答案：±23－2i

6．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为________． 解析：2＋1；

|z1－z2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)| ＝ ＝

（1－sin θ）2＋（1＋cos θ）2＝3－2（sin θ－cos θ） π

3－22sinθ－

4

B．1＋3i D．－1－3i

≤3＋22＝2＋1. 7．计算：

(1)(2－3i)＋－2＋



3

i＋1； 2

i1i1

－－－－＋i； (2)2332(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)． 解：(1)原式＝(2－2)＋－3＋



33

i＋1＝1－i. 22

111111

－＋＋－－＋1i＝＋i. (2)原式＝322366(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i. 4. 小结作业

小结：本节课学习了复数的加、减法运算及其几何意义。 作业：完成本节课课后习题。 四、板书设计

7.2.1复数的加、减法运算及其几何意义

复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，那么它们的和(a+bi)+( c+di)=(a+c)+(b+d)i。 复数的加法运算律：对任意z1，z2 ，z3∈C，有z1+z2= z2+ z1，（z1+z2）+ z3=z1+（z2+ z3） 复数的减法法则：(a+bi)-( c+di)= (a-c)+(b-d)i