正余弦函数图像教学设计

襄阳四中 徐锐

◆教学目标

（一）教学知识目标

1、利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象； 2、正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系；

3、用五点法作出正弦函数和余弦函数在[0,2]上的简图。

（二）能力训练目标

1、能利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象，提高学生分析问题能力；

2、会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象，提高学生解决问题的能力； 3、通过正、余弦函数图象的作法，进一步明确研究函数图象的思想方法。 （三）情感目标

通过作图，培养学生勇于探索、精益求精的科学精神，使学生感受到波形曲线的流畅美和对称美，使学生体会事物周期变化的奥秘。培养学生从特殊到一般与从一般到特殊的辩证思想方法。

◆教学重点

正弦函数、余弦函数的图象的形成及作法；

◆教学难点

1、将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点； 2、正、余弦函数图象间的关系。

◆教学方法

教师启发引导与学生自主探究相结合

本节课作图的思维方法和前面学生所学的作图方法有所不同，要取得好的教学效果，就需要我们认真梳理好讲解的顺序，采取适当的教学方法。根据教材内容的特点与学生的实际情况，我确定本节课的教学方法是：观察、启发、探究相结合的模式组织教学。因为：“观察”遵循了从具体到抽象的认知规律，为抽象概括奠定了基础。作图时，让学生在观察和实践中发现问题、解决问题，这样印象深，记得牢。而实行启发探究式教学的关键，在于激发学生思考问题、发现问题、解决问题的欲望，教师的责任就是创造条件，使学生成为学习的主人。具体操作设想：(1) 以“看”的方式来激发学生探索。 (2) 以“问”的方式来启发学生深思。 (3) 以“变”的方式来诱导学生灵活善变。(4) 以“梳”的方式来引导学生归纳总结。

◆教学准备

多媒体课件

◆教学过程

Ⅰ. 设置情境，问题引入

首先由一次函数、二次函数所刻画的自然生活中变量之间的关系为例，指出很多自然现象是可以通过函数来刻画其本质的，然后通过几组例子，引导学生对自然生活中 “周而复始”现象进行思考，

再通过展示单位圆中正弦线随着角度的变换“周而复始”运动的现象，引出正、余弦函数的定义，并进一步指出遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识，这是研究函数的基本方法，从而引出这节课所要研究的主要问题。

借助多媒体课件让学生观察简谐振动图象演示，激起学生的兴趣．指出这种形状的曲线是正弦曲线或余弦曲线。

[设计意图：以设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题，有目的地参与下列教学活动。教师举出正弦线的例子既可以将学生从“周而复始”的自然现象引到能刻画部分实质的函数中来，让学生一开始就认识到正弦函数与以前所学函数最大不同的本质特征，又可以起到复习正弦线的概念及性质，为后面的几何作图做好铺垫；利用简谐振动图象使学生一开始就对正、余弦曲线有个直观的印象。] Ⅱ.探索研究

1、设问质疑，启发探究：

提问：据以往经验一般函数图象的画法是怎样的？其步骤如何?

在复习完描点法画图及其步骤——列表、描点、连线后引导学生由周而复始性应先选择

x[0,2]这段来画。

学生自主探究，尝试描点画图。

通过学生画图中遇到的问题，启发学生思考： （1）如何选点？

（2）如何确定2长度？

（3）如何利用几何法又快又准的描出对应的点？ （4）如何更准确地描更多的点？

[设计意图：先让学生自主画图发现问题，然后通过引导层层设问，并相互讨论作答，为几何法描点作图做好铺垫，并让学生在设疑、思考、解惑的过程中对利用正弦线描点作图有一个自然地接受和认知过程。]

2、利用正弦线画函数ysinx，x[0,2]的图象。

引导学生指出画法：

（1）作直角坐标系，并在y轴左侧画单位圆。

（2）把单位圆分成12等份。过单位圆上的各点作x轴的垂线可以得到对应于

25743511、、、、、、、、、、和2角的正弦线。

3663236632（3）找横坐标：利用单位圆的展开把x轴上从0到2这一段分成12等份。

0、

（4）找纵坐标：将相应角的正弦线平移，即可得出相应的13个点。

（5）连线：用光滑的曲线将13个点依次从左到右连接起来，即得ysinx，x[0,2]的图象。 借助多媒体辅助手段演示正弦线的形成及平移过程。 3、画ysinx，xR的图象

引导：由sin(x2k)sinx,kz或由正弦线周而复始的运动可知只须作ysinx，

xRx[0,2]的图象，然后将此图象左右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到ysinx，

的图象。即正弦曲线（也叫正弦波）。 要求：

[设计意图：画正弦函数xR的图象时，要紧紧抓住诱导公式或正弦线的周而复始性进行讲解，因为它是学生能正确理解作图的关键。以上1、2、3的教法设计：以问题引导学生逐步思考，学生通过观察、分析、归纳达到学习的目的。原因和指导思想：重视学生的参与，让学生掌握知识的形成过程。由易到难，由特殊到一般，这符合学生的思维规律。整个过程注意从直观教学入手，培养学生由形象思维向抽象思维过渡。]

4、作ycosx,xR的图象

引导学生思考：你能从正弦函数与余弦函数的关系出发，利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗？

学生自主探究，发表意见，老师引导、小结。

(1)用多媒体演示正弦曲线向左平移

个单位长度而得到余弦函数的图象，即余弦曲线。 2(2)要求：①掌握余弦函数的图象的形状；②注意余弦函数的图象即余弦曲线弯曲的“方向”。 (3)通过观察比较回应前面“简谐振动图象为什么称为正弦曲线或余弦曲线”这个问题。

[设计意图：上一节三角变换为图形变换提供了依据，为数形结合创造了条件，因此学生接受起来并不困难。这里注意到了培养学生思维推进的可持续性和思维生成的探索性。]

小结：向学生指出描点法与几何法的优缺点。描点法在取函数值时，有时不能确定精确值，点的定位不准。而几何法则可以实现点的精确定位；但几何作图显然太过繁杂，不易于操作，由此引出五点作图法。 5、“五点法”作简图：

提问：正弦函数图象中起着关键作用的点是哪些点？

学生通过观察图象确定在x[0,2]上起关键作用的五个点：（0，0）、（（

，1）、（，0）、 23，1）、（2，0）。 2教师指出：事实上，只要指出这五个点，ysinx，x[0,2]的图象大致形状就基本确定了。因此在精确度要求不太高时，我们就常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。请学生画图，多媒体展示画法。

学生通过类比，确定余弦函数图象的五个关键点：（0，1）、（（2，1）。并利用这五点作ycosx，x[0,2]的简图。

注：①五个关键点中，重点应突出点的横坐标，纵坐标；

②画简图时应掌握曲线的形状及弯曲的“方向”。

[设计意图：为提高课堂教学效率，促进学生素质发展，这里采用了观察法，让学生体验五点作图的要领及优越性。通过直观形象培养学生的观察分析能力，通过知识的迁移培养学生构建新知识的能力。] Ⅲ.课堂练习

画出函数：y1sinx,x[0,2]的简图

[设计意图：练习是学生内化和巩固知识、形成技能技巧、发展智力的重要手段，是学生学习过程中的重要环节。根据教材内容，围绕本节的教学重点，我安排了以上练习，目的有三：(1)巩固新知；(2)从层次上逐层深化、拾级而上，为往后学习三角函数图象的变换打下一定的基础；(3)通过学生自主画图培养学生动手能力。]

3，0）、（,1）、（，0）、

22Ⅳ.课时小结

先请学生谈谈作正弦函数图象的基本思路，并对研究正、余弦函数图象的方法进行概括，教师再补充完善：

1、 正、余弦函数是可以刻画自然世界中某些周而复始现象的函数； 2、 利用正弦线可以准确画出正弦函数的图象；

3、 五点作图法大致反映正、余弦函数在[0，2]上的图象特征，作简图很实用； 4、 我们可以借助正、余弦函数图象进一步研究其函数的性质

[设计意图：采用师生共同总结的办法，这样可检查学生对教材内容是否有一个全面、系统、完整的印象，又是对学生概括能力的培养。最后再回到正、余弦曲线与实际生活的联系中，鼓励学生做善于思考乐于实践的有心人。] Ⅴ.课后作业

1、教科书第34页练习题1、2

2、每人编一道运用五点法或平移变换法作图的三角函数题，同学之间相互解答。 3、课后探究:

上网查阅资料，了解正、余弦图象的实际应用，结合图象试着研究其相关性质

[设计意图：课外作业练习是新授内容的补充和延续。它是以学生独立练习为主要内容的活动。通过练习，一可以巩固所学知识，二可以为下面学习正弦函数、余弦函数的性质做好铺垫。] Ⅵ板书设计

正弦函数、余弦函数的图象

ycosx ysinx 一、定义： (xR) 余弦函数 正弦函数 平移 作余弦函数图象 二、画图 作正弦函数图象 cosxsin(x) 正弦线 2 描点法

五点作图法

ysinxx[0,2]

平移

xR