西南财经大学概率论期末考试试题共7套

《概率论》期末 A 卷考试题

一 填空题(每小题 2分，共20 分)

1．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，则目标被击中的概率为（ ）.

2．设P(A)0.3,P(AB)0.6，则P(AB)( ).

0,x03．设随机变量X的分布函数为F(x)asinx,0x，则a（ ），

21,x2P(X6)（ ）.

24．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则E(X1)( ).

5．若随机变量X的概率密度为pX(x)16ex236，则D(X2)（ ）

6．设X与Y相互同服从区间 (1,6)上的均匀分布，P(max(X,Y)3)（ ）. 7．设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为

X Y 1 2 pi•

0 a 1

11 1261 b 3则 a( ), b( ).

aex2y8．设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)0a（ ）

x0,y0，则

其它9．若随机变量X与Y满足关系X23Y，则X与Y的相关系数XY（ ）. 10.设二维随机变量(X,Y)~N(1,2,3,4,0)，则D(2X5Y)（ ）.

二．选择题（每小题 2分，共10 分)

1

1．设当事件B和C同时发生时事件A也发生，则有（ ）.

(a)P(A)P(BC)(c)P(A)P(B)P(C)1(b)P(A)P(B)P(C)1

(d)P(A)P(BC)2．假设事件A和B满足P(A|B)1，则（ ）. (a) B是必然事件 （b）P(BA)0 (c) AB (d) P(A|B)0 3．下列函数不是随机变量密度函数的是( ).

 0x2xsinx ，(a)p(x)2 (b) p(x)0 其它0 ，0x1其它

3x 0xsinx ，(c) p(x) (d) p(x) 其它0 ，020x1其它

4．设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则概率P(XEX)（ ）.

(a)111e (b)2e1 (c)e2 (d)2e2 225．若二维随机变量（X,Y）在区域D{(x,y)/0x1,0y1}内服从均匀分布，则P(X1YX)=（ ）. 2111 (c) (d) 428 (a) 1 (b)

三、解答题（1-6小题每题9分，7-8小题每题8分，共70分）

1.某工厂有甲、乙、丙三车间，它们生产同一种产品，其产量之比为5：3：2, 已知三

车间的正品率分别为0.95, 0.96, 0.98. 现从全厂三个车间生产的产品中任取一件，求取到一件次品的概率。

2．设10件产品中有3件次品，从中不放回逐一取件，取到合格品为止.（1）求所需取件次数X的概率分布 ；（2）求X的分布函数F(x).

3．设随机变量X的密度函数为f(x)A(1x) 0x1.（1）求参数A；（2）求

0 其他1（2）求P(X) X的分布函数F(x)；

3 2

 0xsinx ，4．设随机变量X的密度函数为f(x)求Y23X的密度fY(y). 2，

 其它0 ，5．设二维随机变量（X,Y）在区域D{(x,y)|0x1,0y2x}内服从均匀分布，求（X,Y）的联合密度函数f(x,y)与两个边缘密度函数fX(x),fY(y)，并判断X与Y是否。

6．设随机变量X1,X2,X3,X4的数学期望均为0，方差均为1，且任意两个变量的协方差均为

1.令YX1X2,ZX3X4，求Y与Z的相关系数.. 27．设X与Y相互且同服从参数为2的指数分布，求ZXY的密度函数

fZ(z).

8某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为2的泊松分布。若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互的。求一年中售出700辆以上汽车的概率。 （附：(1)0.8413, (1.11)0.8665, (2)0.9772, (2.23)0.9871）

《概率统计》期末 A 卷考试题

参

一 填空题(每小题 2分，共20 分)

1．0.94 ； 2．P(BA)0.3； 3．a1,P(X4． E(X1)5 ； 5．则D(X2)18； 6．P(max(X,Y)3)21)； 622111； 7．a,b； 8．a2； 251229． XY1； 10.D(2X5Y)112

二．选择题（每小题 2分，共10 分)

1．(b) 2．(b) 3．(c) 4．(d) 5．(b)

三、解答题（1-6小题每题9分，7-8小题每题8分，共70分）

1．解 设Ai(i1,2,3)分别表示取到的产品由甲、乙、丙生产，且设B表示取到一件次品，则由全概率公式

3

3P(B)P(Ai)P(B|Ai)i1

0.50.05+0.30.040.20.020.04112342．解（1）X~7771； 10301201200 x17 1x2（2） F(x)1014 2x3

15119120 3x41 x43． 解 （1）A2；

0 x（2）F(x)02xx2 0x1

1 x1（3）P(X1)1F(1)1(2143339)9 12y4．解 f2y1sin() 23y2Y(y)fX(3)|3|3320 其他5．解 （1）因SD1，故（X,Y）的联合密度函数为

f(x,y)1 (x,y)D0 (x,y)D （2）fx)2x 0x11y 0y2X(0 其他 ， fY(y)2 0 其他因为f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X与Y不。

6．解

2YZ3

7．解 fZ(z)f(x)fzx)dx4ze2z z0XY(0 z0



4

8．解 设Y表示售出的汽车数，由中心极限定理，可得

P(Y700)1P(Y700)1( 1(1.11)0.8665700730)730

07~08 附“标准正态分布函数值”：(2.0)0.977, (3.08)0.999, (0.5)0.6915

一．填空题：(共6小题，每小题3分，共18分)

1．设A,B是两个随机事件，P(A)0.5,P(AB)0.2,.则P(AB)= . 2．若二维随机变量（X,Y）在区域D{(x,y)/0x1,0y1}内服从均匀分布，则P(X1YX)= . 2 3．设X~N(2,9),Y~N(2,6)，且X与Y相互，则P{XY4}= . 4. 若随机变量X与Y的相关系数为Corr(x,y)1，且DXDY2,则 2D(XY) .

5．设（X，Y）~N（1, 2； 4, 9； 0.5），则Cov(2X，3Y)=___________ ． 6.设随机变量X的概率密度为

xf(x)4,2x2;

其他,0,则P{-1二．选择题：(共10 小题，每小题2 分，共 20分)

1．若事件A与B既相互又互不相容，则min{P(A),P(B)}（ ）.

1(a) 0 (b)P(A) (c)P(B) (d)

22．设A,B为两个随机事件，且P(B)0，P(A|B)1则有（ ）.

(a) P( AB)P(A) (b) P(AB)P(A)

(c) P(AB)P(A) (d) P(AB)P(B)3．设X服从泊松分布，且E(X6)0E , 则D(23X)（ ）.

2(a) 9 (b)3 (c)18 (d)27

5

4．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则概率P(XEX)（ ）.

(a) 1e2 (b)e1 (c)e2 (d)

225. 设随机变量X服从正态分布N(u1,1)，随机变量Y服从正态分布N(u2,2)，且

12P{|Xu1|1)P{|Yu2|1)，则必有（ ）

（a）12 （b）12 （c）u1u2

（d）u1u2

6.设随机变量X服从N(0,1), 其概率密度为(x), 则YX的分布密度为（ ）.

(a) p(y)(y) (b) p(y)1(y) (c) p(y)(y) (d) p(y)1(y)

7．对于两个随机变量X与Y，若E(XY)EXEY，则（ ）.

(a)D(XY)DXDY (b)D(XY)DXDY(c)X与Y相互 (d)X与Y不相互2222

8．设（X ，Y）～ N(1，2，1，2，0) ，E(XY)= （ ）．

(a)1424 (b)0 (c) (1212)(2222) (d) (1212)(2222)

9. 设

X1,X2,,Xn相互同分布，EXi0,DXi6 (i1,2,,n)令

1nXXi, 则由切比雪夫不等式，有P(X3)≤ ( ).

ni11212 (b) 1 (c) (d) 3n3n3n3n三．计算题：(共 6小题，每小题9 分，共 分)

(a) 1

1．设某产品的合格率为80% 。检验员在检验时合格品被认为合格的概率为97%，次品被认为合格的概率为2%。（1）求任取一产品被检验员检验合格的概率；（2）若一产品通过了检验，求该产品确为合格品的概率。

12axx 0x2．设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)2

0 其它（1）求常数a ；

（2）求X的分布函数F(x) ；

6

1 (3 ) 求概率P(X2).

73．设在三次试验中事件A发生的概率分别为0.01，0.02及0.03，求在三次试验中A发生的次数X的数学期望与方差。

4. 设（X,Y）在区域D(x,y)/0x1,0y1中服从均匀分布。求 （1） 求（X,Y）的联合密度；

（2） 求边缘密度fX(x),fY(y)并判断X与Y是否相互？ （3） 求概率P(Y2X).

5. 设X与Y相互，且X在（0，1）上服从均匀分布，Y服从参数为λ=1的指数分布，求Zmax(X,Y)的概率密度p(z).

6．设二维连续型随机变量（X,Y）的联合密度函数为 f(x,y)求X与Y的协方差Cov(X,Y).

xy 0x,y1,

0 其它四．应用题：(共1 小题，，共8 分)

某人要测量A、B两地之间的距离，限于测量工具，将其分成1200段进行测量。设每段测量误差（单位：千米）相互，且均服从（-0.5，0.5）上的均匀分布。试求总距离测量误差的绝对值不超过20千米的概率。

（参）

一．填空题

(1)．0.3 (2).

11 (3). (4).6 .（5）18 42二．选择题

（1）a （2）c （3）c （4）b （5）a （6）c （7）b （8）c （9）d （10）d

三．计算题

1．(1) P(B)0.78; (2)P(A1B)0.80.970.995.

0.780 x013x2 0x 2． （1）a = 21 (2 ) F(x)7x2211 x2(3) P(x2)3 .

1795 98 7

EX0.010.020.030.06DX0.010.990.020.980.030.970.0586

4. (1)f(x,y)1 (x,y)D其它

0 (2) f)1 0x10 其它 ，f)1 0y1X(xY(y0 其它; X与Y (3) P(Y2X)34 5． 因为Z的分布函数为F(z)0 z0z(1ez) 0z1，故Z的概率密度为1ez z10 z0p(z)1ezzez 0z1

ez z16.

E(XY)dxxyf(x,y)dy 10dx1

0xy(xy)dy13EX10dx10x(xy)dy712, 由对称性得EY712

故Cov(X,Y)EXYEXEY13(712)21144

四 解 设Xi表示第i段上的测量误差，则

Xi~U(-0.5,0.5),i=1,2,,…,1200, 要求的概率为

1200P(Xi20)

i1因为Xi（i=1,2,…, 1200）同分布，且 EX1i=0, DXi=

12, i=1,2,…,1200 从而由中心极限定理知1200X近似服从N(0,100),故

ii11200 1200P200Xi0Xi1`i20i1P10102010

=(2)(2) =2Φ（2）-1=0.9

8

2008~2009 一．填空题：(共 10小题，每小题 2分，共20 分)

1．设A与B是两个随机事件，P(A)0.3,P(A ( ).

2．设A,B是两个随机事件，P(A)P(B)B)0.6,则P(AB)（ ）.

11,P(AB),则P(A|B) 233．设一批产品的次品率为0.1，若每次抽两个检查，直到抽到两个都为次品为止，则

抽样次数恰为3的概率是（ ）.

0,x04．设随机变量X的分布函数为F(x)asinx,0x，则a（ ），

21,x2P(X6)（ ）.

5．若随机变量X的概率密度为pX(x)16ex236，则D(23X)（ ）

6．设随机变量X的密度函数为f(x)（ ）.

2x00x1其他，若P(Xk)1，则k 47.设X表示10次重复射击中命中目标的次数，若每次射中目标的概率为0.6，则X的数学期望为（ ）.

8．若已知随机变量X与Y相互且概率分布分别为X~221与0.10.910Y~，则随机变量Zmax(X,Y)的概率分布为（ ）

0.60.49．设X1,X2,100,X100为来自于正态总体X~N(1,0.01)的简单随机样本，则

100(Xi1)2所服从的分布是（ ）.（分布要写出参数）.

i110．设总体X服从参数为2的泊松分布，X1,X2,,Xn为来自于总体X的样本，

1n则当n时，XXi依概率收敛于（ ）.

ni1

9

二．选择题（每小题 2分，共10 分)

1．下列选项不正确的是（ ）.

(a)A(BC)(AB)(AC) (b)A(BC)(AB)C

(c) (AB)CA(BC) (d) A(BC)(AB)(AC)2．设随机事件A与B相互且满足P(AB)P(BA)（ ） .

(a) 0.2 (b) 0.3 (c) 0.4 (d) 0.5 3．下列函数不是随机变量密度函数的是( ).

1，则P(A)4 0x2xsinx ，(a)p(x) (b) p(x)20 其它0 ，0x1其它2

3x 0xsinx ，(c) p(x) (d) p(x) 其它0 ，00x1其它

4．设a,b,c,d是不为0的数，随机变量X与Y的相关系数为，若令

X1aXb,Y1cYd，则X1与Y1的相关系数1（ ）.

(a)  (b) acacac (c) (d) 

|ac||ac||ac|5．设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,,Xn是抽自于总体X的样本，

1n则样本均值XXi的方差为（ ）.

ni1(a) 1111 (b) (c) (d) 2n4n42三．解答题(每题9分，共分)

1．某工厂有甲、乙、丙三车间，它们生产同一种产品，其产量之比为5：3：2, 已知

三车间的正品率分别为0.95, 0.96, 0.98. 现从全厂三个车间生产的产品中任取一件，求取到一件次品的概率。

2．设10件产品中有3件次品，从中不放回逐一取件，取到合格品为止.（1）求所需取件次数X的概率分布 ；（2）求X的分布函数F(x).

3．设某种电子产品的使用寿命为服从指数分布的随机变量X，且知该产品的平均使用寿命为2000小时。（1）求一件这种产品使用1000小时就坏了的概率；（2）求E(X).

10

2

4．设3次重复试验中事件A发生的概率均为P(A)1，以X表示在3次试验中A3出现的次数，以Y表示前两次试验中A出现的次数。求(X,Y)的联合分布律。

5．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数是f(x,y)（1）求条件密度函数fX(y|Xx)； （2）求概率P(Y3x，0x1,0yx

0，其他11|X). 846．设随机变量X1,X2,X3,X4的数学期望均为0，方差均为1，且任意两个变量的相关系数均为

1.令YX1X2,ZX3X4，求Y与Z的相关系数.. 2四．应用题（10分）

一所学校有100名住校生，设每人以80%的概率去图书馆自习，且每个同学是否去图书馆自习相互。如果要保证上自习的同学都有座位的概率达到99%，问该校图书馆至少应设多少座位？（(2.33)0.99）.

一．填空题：(共 10小题，每小题 2分，共20 分)

1． P(BA)（ 0.3 ）； 2．P(A|B)2； 33． 0.0099 ； 4．a1，P(X6)1 25．D(23X) 162

6．k3； 227. E(X)38.4； 8．Z~221

0.10.99．(100). 10．2.

二．选择题（每小题 2分，共10 分)

11

1．(c) 2．(d) 3．(c) 4．(d) 5 .(b).

三．解答题(每题9分，共分)

1．解 设Ai(i1,2,3)分别表示取到的产品由甲、乙、丙生产，且设B表示取到一件次品

则由全概率公式

3P(B)P(Ai)P(B|Ai)i1

0.50.05+0.30.040.20.020.04112342． 解（1）X~77711030120120； 0 x17 1x2（2） F(x)1014 2x3

15119120 3x41 x43．解 由题设X~e(),且1E(X)12000. (1) P(X1000)F(1000)1e100020001e12

(2) E(X2)D(X)(EX)28106 4．解

Y 0 1 2 X

08

27 0 0 148 27 27 0 2 0 4227 27

3 0 0 127

12

1,0yx5．解（1）当0x1时，x；

其他0,（2）P(Y6．解

111|X).。 842YZ

23四．应用题（10分）

解 设去上自习的学生数为X，则X~B(100,0.8)，由中心极限定理，X近似服从

正态分布N(80,16)。又设图书馆应有作位n个，则由题意，有

P(Xn)0.99

可得

(n80n80)0.99 2.33  n.32 44故该学校至少应设90个座位。

2010年《概率论》期末 A 卷考试题

一 填空题(每小题 2分，共20 分)

1．已知事件A与事件B ，事件 A发生的概率为0.6，事件B发生的概率为0.2，

则A, B中至少有一件发生的概率为（ ）.

2．设P(A)P(B)0.9,P(AB)0.2，则P(AB)P(AB)( ).

xx0aeb,0x13．设随机变量X的分布函数为F(x)，则a（ ），

(x1)1x1ae1，P(X)（ ）. b（ ）

34．设随机变量X服从参数为2的指数分布，则E(X1)( ).

25．若随机变量X的概率密度为pX(x)16ex236，则D(X2)（ ）

6．设X与Y相互同服从区间 (1,6)上的均匀分布，P(min(X,Y)3)（ ）. 7．设二维随机变量（X,Y）的联合分布律如下，且X与Y相互。

13

X Y 1 2

0 0.15 0.15 1 a b

则a( ), b( ).

8．设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为f(x,y)cx2yx0其它，则

c（ ）

9．若随机变量X与Y满足关系X12Y，则X与Y的相关系数XY（ 10.设二维随机变量(X,Y)~N(1,2,1,1,1)，则D(2X5Y)（ ）.

二．选择题（每小题 2分，共10 分)

1．设0P(A)1,0P(B)1,P(A|B)P(A|B)1,，则有（ ）.

(A) P(A|B)P(A) (B)BA (C)AB (D)P(AB)P(A)P(B) 2．假设事件A和B满足P(A|B)1，则（ ）. （A）A是必然事件 （B）B是必然事件 （C）AB （D）P(B)P(A) 3．下列函数是随机变量密度函数的是( ).

(A)f(x)sinx2 ， 0x2 (B) f(x)exx00 ， 其它0其它

2(C) f(x)x1 ， 0x10x10 ， 其它 (D) f(x)x0其它

4．设X~N2,且P(0X4)0.6，则PX0（ ）

（A）0.3 （B）0.4 （C）0.2 （D）0. 5 5．设X~N01, Y~N12,X,Y相互，令ZY2X,

则Z~（ ）

）. 14

（A）N(2,5) ; (B) N(1,5); (C) N(1,6) ; (D) N(2,9)

三、解答题（1-6小题每题9分，7-8小题每题8分，共70分）

1.市场上有甲乙丙三家工厂生产的同一品牌的产品，已知三家工厂的市场占有率分别为

111,,, 且三家工厂的次品率分别为 2%,1%,3%，试求市场上该品牌产品的次品442率。

2．一盒中有6个球，在这6个球上标注的数字分别为-3，-3，1，1，1，2，现从盒中任取

1 球，试求.（1）取得球上标注的数字X的概率分布 ；（2）求X的分布函数F(x). 3．设随机变量X的概率密度函数为：

1xe,x 2求：(1)X的概率分布函数，（2）X落在（-5,10）内的概率；

f(x)4．设随机变量X具有概率密度函数

fX(x)x8,0,0x4;其他，

求：随机变量YeX1的概率密度函数.

5．设二维随机变量(X,Y)在矩形区域：axb,cyd上服从均匀分布，求(X,Y)的联合概率密度及边缘概率密度。随机变量X与Y是否相互？

6．设随机变量X,Y的概率分布列为

Y X 0 0.1 0 0.2 1 0 0.1 0 2 0.2 0.2 0.2 0 1 2

求XY,XY求和的协方差 7．设随机变量X与Y的密度函数如下，且它们相互

1,fX(x)0,0x1;其它ey, fY(y)0,y0 y0求随机变量ZXY的概率密度函数。

8设一批产品的次品率为0.1,从中有放回的取出100件,求取出的次品数X与10之差的绝对值小于3的概率.

（附：(1)0.8413, (1.11)0.8665, (2)0.9772, (2.23)0.9871）

15

一 填空题(每小题 2分，共20 分)

1．0.68 ； 2． 0.5； 3．a4． E(X1)21111,b,P(X)； 22321 ； 5．则D(X2)18； 296．P(min(X,Y)3)； 7．a0.35,b0.35； 8．c6；

259． XY1； 10.D(2X5Y)9

二．选择题（每小题 2分，共10 分)

1．(A) 2．(D) 3．(B) 4．(C) 5．(C)

三、解答题（1-6小题每题9分，7-8小题每题8分，共70分）

1．解 设Ai(i1,2,3)分别表示取到的产品由甲、乙、丙生产，且设B表示取到一件次品

则由全概率公式

P(B)P(Ai)P(B|Ai)i13

0.020.25+0.010.250.030.50.0225312．解（1）X~1132013（2） F(x)5612； 16x33x1

1x2x2x0

1xe23． 解 (1). F(x)11ex2x0（2）P(5X10)F(10)F(5)(111015e)e 22 16

ln(y1)4．解 f1 0ye41Y(y)fX[ln(y1)]|y1|8(y1) 0 其他5．解 （1）因SD(ba)(dc)，故（X,Y）的联合密度函数为

f(x,y)1(ba)(dc) (x,y)D 0 (x,y)D1（2）fx)ba axb ， f1 cydX(Y(y)0 其他dc

0 其他因为f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X与Y。 6．解

EX10.320.41.1,

EX210.340.41.9,

D(X)EX2(EX)21.91.210.69;

EY10.120.61.3,EY210.140.62.5D(Y)EY2(EY)22.51.690.81.

Cov(,)Cov(XY,XY)2D(X)Cov(X,Y)Cov(X,Y)2D(Y)2D(X)2D(Y)0.6920.812

7．解 fZ(z)f(zx)dx0z0X(x)fY1ez0z1

ez(e1)z18．解 X~B(100,0.1),由中心极限定理，可得

P(|X10|3)P(7X13)(131000.11000.10.9) -(71000.11000.10.9)(1)(1)2(1)1=0.6826

概率统计（1）

附“标准正态分布函数值”：(2.0)0.9772, (3.08)0.999, (0.5)0.6915

,

17

一．填空题：(共 8小题，每小题 3分，共24 分)

1．设P(B)0.5,P(AB)0.7，则P(AB) .

2. 已知随机变量X服从正态分布N（1，2），F(x)为其分布函数，则F(x)= .

3 若随机变量X的概率密度为pX(x)12ex24，则E(X) . 2100, x1004设随机变量X概率密度为p(x)x2，以Y表示对X的四次重复

0, x100观察中事件{X≤200}出现的次数，则P{Y=2}= .

5.若二维随机变量（X,Y）在区域D{(x,y)/0x1,0y1}内服从均匀分布，则

P(X1YX)= . 26．若随机变量X与Y相互，且X服从正态分布N1,9,Y服从正态分布N2,4，则X2Y服从________分布.

7．设随机变量X与Y相互且均服从二项分布B(10, 0.2), 则由切贝雪夫不等式有

P{XY2}( )

8. 设X~N(0,4),Y~N(1,5)，且X与Y相互，则ZXY的分布函数Fz(z)（ ）。 。

二．选择题：(共 小6题，每小题 2分，共12 分)

1．若当事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（ ）.

(a)P(C)P(A)P(B)1 (b)P(C)P(A)P(B)1

(c)P(C)P(AB) (d)P(C)P(AB)2． 设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)aF1(x)bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）

(a) a32,b (b) a2,b2 553313 (c) a1,b3 (d) a,b

22223．设随机变量X服从正态分布N(,)，则随着σ的增大，概率P(X)（ ）.

（a）单调增大 （b）单调减少 ( c) 保持不变 （d）可能增加也可能减少

4.设随机变量X服从N(0,1), 其概率密度为(x), 则YX的分布密度为（ ）.

18

2

(a) p(y)(y) (b) p(y)1(y) (c) p(y)(y) (d) p(y)1(y)

5．对于两个随机变量X与Y，若E(XY)EXEY，则（ ）.

(a)D(XY)DXDY (b)D(XY)DXDY(c)X与Y相互 (d)X与Y不相互2

6. 设X服从泊松分布，且E(2X)4, 则 P(X1) .

(a) 0 (b)e2 (c)e4 (d)e1

三．计算题：(共7小题，每小题 8分，共56 分)

1．袋中装有5个白球，3个黑球。（1）从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率；（2）从中有放回连续取三次，求取到两次白球1次黑球的概率。

2. 已知随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 P

（1）求X的分布函数F(x) 及E(（2）求P(1X3).

1111 24881) X112axx 0x3．设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)2

0 其它（1）求常数a ；

（2）求X的分布函数F(x) ；

1 (3 ) 求概率P(X2).

732x 1x1f(x)4．设连续型随机变量X的概率密度为 ，试求随机变量20 其它Y3X的概率密度fY(y)

5. 设随机变量Z在区间（1，4）内均匀分布，令 X求D(XY)

19

0 当Z20 当Z3, Y

1 当Z21 当Z3

6. 设（X,Y）在曲线yx与yx所围成的区域D中服从均匀分布。求

（1） 求（X,Y）的联合密度；

（2） 求边缘密度求边缘密度pX(x),pY(y)并判断X与Y是否相互；

（3） 求概率P(X).

7. 设X与Y相互，且X 与Y均服从参数为λ=1的指数分布，求ZXY的概率密度p(z)及概率P(XY1)

212四．应用题：(共1 小题，共 8分)

银行为支付某日即将到期的债卷须准备一笔现金。已知这批债卷共发放了6000张，每张须付本息1万元。设持卷人（假设一人一卷）在到期日到银行领取本息的概率为0.6.问银行于该日应准备多少现金，才能以99.9%的把握满足客户的兑换

一．填空题 (1) 0.2 (2)

12ee(x1)24 (3) 2 (4)

13 (5) (6) N (-3 ,25) (7) 0.2

481(8).32z(t1)218dt

二．选择题

（1）b （2）a （3）c （4）c （5）b （6）d

三．计算题 1． (1) P(A)2．

0 x01 0x12167E（1）， 3F(x) 1x2X196478 2x31 x35315225; (2)P(B) C8228512

（3）P(1X3)7 8 20

0 x011953x2 0x (3) P(x2) 3．（1）a = 21 (2 ) F(x)7x 2279811 x232(3y) 2y4 4. (1) fY(y)fX(3y)12

0 其它D(XY)DXDY2Cov(X,Y) 5．.

DXDY2(EXYEXEY)211EXP(X1),EYP(Y1),E(XY)P(X1,Y1)333其中

21122D(X)D(Y)33339故 D(XY)6．(1) p(x,y)2212122() 9933396 (x,y)D

0 其它 (2) pX(x)xx2(0x1), pY(y) (3) P(Xyy(0y1)

11) 2120 z0z7. 因为Z的分布函数为F(z)z(1e) 0z1，故Z的概率密度为

1ez z10 z0p(z)1ezzez 0z1

ez z1四 解 设到期日有X张债卷来银行兑换，银行应准备y万元.

显然 X~B(600,0.6).而因为n=600较大，故X近似服从正态分布N(360,144). 由题意，求y,使得P(Xy)0.999 即 （y360)0.999.查表得 12y3603.03y397(万元）. 12概率论期末测验复习方案

21

概率论练习题

一. 是非题:(正确填√,错误填×)

1.多次反复试验下,终究会发生的事件是必然事件.( )

2.掷一枚骰子，只考虑出现奇数点还是偶数点，则样本空间的元素只有两个。（ ） 3.设A=数学书，B=外文书，C=书皮是红色的，则ABC=不是红皮书的外文数学书。（ ） 4.事件A与B互不相容，则A与B是对立事件。（ ） 5.若AB，则一定有P(AB)P(B)。（ ）

6.古典概型中，基本事件的等可能性是一个必不可少的条件。（ ） 7.若A与B，B与C，则A与C。( ) 二．选择题（只有一个结果正确，将字母填入括号中） 1.一付扑克牌52张（无王），从中任取3张，事件{恰有两张花色相同}的概率为：（ ）

22222222221C13C13C13C13C13C13C13C13C134C13C39A：3 B： C： D： 333C52C52C52C522.设A，B为二随机事件，把下面四个概率用等号或不等号连接，则有（ ）必成立。 A

：

P(A)P(AB)P(AB)P(A)P(B) B：

P(A)P(AB)P(AB)P(A)P(B)

C：P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(B) D：P(AB)P(A)P(B)P(AB) 3．如果A ,B为任意事件，下列命题正确的是 ( )。

A：若A ,B互不相容，则A,B也互不相容 B：若A ,B相互，则A,B也相互 C：若A,B相容，则A,B也相容 D： ABAB 4. 某人独射击时中靶率为

3，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率是( ) 43A: B: 4331 C: 44213 D: 4421 435. 设随机变量X的密度为f(x)C，则C ( ) 1x2121A:2 B: C: D:

2ke(3x4y)6. 设X,Y的密度为f(x,y)0x0,y0，则k ( )

其它A: 6 B:12 C: 7 D: 25

7.设R.V.X~N(3,1)，R.V.Y~N(2,1)，且X和Y相互，令ZX2Y7， 则Z~（ ）分布。

22

A:N(0,5) B:N(0,3) C:N(0,46) D:N(0,)

8. 设R.V.X的期望EX10，方差DX4，利用切贝谢夫不等式，估计：

451PX103（ ） A: B: C:1 D:

994三． 填空题：

1．随机试验E的____________称为E的随机事件，其________________称为E的样本空间。 2．抛一硬币两次，观察正反面，样本空间为_______________________。 3．加法公式P(AB)________________,

若P(A)0,乘法公式P(AB)____________。 4．设A，B互不相容，则P(AB)___________。

5．设A，B互相，则P(AB)____________。 6．A1,A2,...,An两两互不相容，是指:_________________。 7．若A1,A2,...,An相互，则P(A1A2...An)_________________________。8．贝叶斯公式是P(B|A)_________________。 9.离散型随机变量X的分布律是PXiaNi0,1,,N，则a_______。

10.连续型随机变量X的概率密度是f(x)Caxb0其它，则C_______。

11.连续型随机变量X的概率密度是f(x)e3xx00x0，则_______。

12.若X~N(,2)，则X的概率密度是___________________。 13.

X~N(1,9)，PX13______,PX16______,PX19_____。

14．若X~N(0,1)，当0.05时，上分位点Z________。 15．RV..X是定义在__________________________。 16．设X的期望为EX，方差为DX，YXEXDX，则EY_______,

DY__________。

则

23

17．设DX4,DY1，XY四．计算题：

1，则DX3Y___。 31．随机的抛两枚硬币，求事件A={两面均不相同}的概率。

2．三个学生证混放在一起，现将其随意发给这三名学生，试求事件A={没有一名学生拿到自己的学生证}的概率。

3.一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不放回,求第二次抽取的是次品的概率。

4．已知P(A)P(B)0.6，P(A|B)0.5，求：P(AB)

5．假设患肺癌的人中吸烟的占90%，不患肺癌的人中吸烟的占30%。若患肺癌率为0.5%，求在吸烟人中患肺癌的概率。

6．对目标进行2次射击，每次击中目标的概率都是0.6，设X是击中目标的次数，求X的分布律。

7.铆钉100个装一盒,次品率为0.05,求盒中废品个数不超过5个的概率。

8.一个花店出售红玫瑰花。按历史记录分析，日销售量X（朵）服从泊松分布(6)。问在每日进货时至少要进多少朵红玫瑰花，才能以0.999的概率满足顾客的需要。 9.某公共汽车站每隔5分钟发车一辆，乘客在此时间间隔内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间X不超过3分钟的概率。

10.设X服从参数为0.6的0-1分布，求它的分布函数FXX

1x2e x0111．设随机变量X的分布函数Fx 0x1 ，求X的概率密度。

21x1x112e12.设某工厂生产的灯泡寿命为X（小时），知X~N(160,)，若要求

2P120X2000.80，问允许最大为多少？

13．设随机变量X具有分布律： X pk 2 0.2 20 0.2 2 0.3 3 0.3 试求：（1）Y2X1 （2）YX的分布律。 14．设随机变量X的概率密度为fX(x)2x00x1，求Y3X1的概率密度其它fY(y)。

24

15．设X,Y在单位园上服从二维均匀分布。（1）求PX,YG，

Gx,y|0yY 1 1x2 （2）求X,Y关于X的边缘概率密度函数fX(x)

（1） 求X,Y关于X及Y的边缘分布律。 （2） （2）求α,β的值

17.一台试验仪器由5个不太可靠的元件组成，已知元件故障互相。第k个元件产生故障的概率为pk0.201.(k1),k1,2,3,4,5。

16.设(X,Y)的联合分布律是如下，且X,Y相互,

2 X 1 2 3 PXi 3 182 181 18 6 18  求仪器中产生故障的元件个数的均值与方差。 18.

设

PYj X,Y的概率密度是

2f(x,y)00x1,xy1 其他 (1)求：fXx及fYy. (2)求：EX及EY (3)求：CovX,Y，XY

19．将1硬币连掷100次，试用中心极限定理求正面出现次数在35次至60次之间的概率。 20．已知男子身高X~N(170,8)问公共汽车门应多高，才能使男子碰头的概率小于0.05 21.设X和Y是两个相互的随机变量，在0,1上服从均匀分布。求： （1）(X,Y)的联合概率密度f(x,y) （2）ZXY的概率密度函数fZ(z) 附录:10.8413，1.280.97，1.290.9015，1.0.9495,

21.650.9505,20.9772，2.300.93，2.310.96， 2.320.98，2.330.9901，30.9987

5k5e0.734974k!k4，

5k5e0.559507k5k!，

5k5e0.384039k6k!，

6k6e0.99752k1k!，

6k6e0.98265k2k!，

6k6e0.00140k15k!，

6k6e0.00051 k16k! 概率论练习题答案

一．1. (×) 2.（√）3.（√）4.（×）5.（√）6.（√）7. (×)

25

二．1．（ D ） 2. （ C ） 3.（ B ）4. ( C ) 5. ( D )6. ( B )7.（A ）8.（ A ） 三．1．每1可能结果 基本事件的集合S 2． SHH,HT,TH,TT 3． P(A4

．

B)P(A)P(B)P(AB)， P(AB)P(A)P(B|A) P(AB)P(A)P(B)

5

．

P(AB)P(A)P(B) ...An)PAi

i1n6．AiAj,ij,i,j1,2,......,n 7． P(A1A28．P(B|A)P(AB)P(B)P(A|B) P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)9.

aNN12x 10.

C1ba 11.

3

12.f(x)1e22213.PX130.683

 PX160.9, PX190.997 14．Z0.051.5 15. 实验E的样本空间S上的实单值函数。16．0 ，1 17. 9 四．计算题： 1. 解：P(A)21121 2．解：P(A) 22232131022111211121163. 解：设A={第一次取到正品}，B={第二次取到正品}，由全概公式：

P(B)P(BS)P(BABA)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

4．解：P(AUB)P(A)P(B)P(B)P(A|B)0.60.60.60.50.9.

5．解：设A={吸烟}，B={患肺癌}，则P(A|B)0.9，P(A|B)0.3，P(B)0.005，

P(B|A)

P(AB)P(B)P(A|B)0.0050.90.015P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.0050.90.9950.36．解：X~B2,0.6,PXkC20.60.4kk2k,k0,1,2

7.解：设X是盒中的废品个数,则X~B100,0.05,因n100较大,p0.05较小,np5适中，用泊松分布(查表)做近似计算：

26

5k5P(X5)1e10.3840390.615961

k6k!8．解：因X~6，设每日进n朵红玫瑰花可满足需要，即PXn0.999，或

6k6e0.00051,得n15 1PXn0.999,PXn0.001,由于(查表)k16k!130x5x339.解：X的概率密度为f(x)5，则P0X3f(x)dx|

05050其他1x2e x000x1 11．解：fxF'(x)010.解：FXx0.4111xex1212.解：因X~N(160,)，标准化：

2x00x1 x1120160X160200160404040P210.80，或

40400.90，查表1.29，得31.007751

13．解：（1） Y2X1 pk （2）

5 0.2 1 0.2 3 0.3 5 0.3 YX2 pk 14

．

解

：

0 0.2 用

分

4 0.5 布

9 0.3 函

数

法

，

先

求

y1y1FYyPYyP3X1yPXFX，

33y13FYy02y1fXtdt91y11y44y，

由

此

27

2(y1)1y4 fYyFYy90其他1x2y21115．解：（1）由已知f(x,y)，PX,YGf(x,y)dxdy

222G0xy1（2）当x1时，fX(x)f(x,y)dy1x22dy1x21x2，

221x当x1时，fX(x)0dy0，fX(x)0x1x1

16. 解：(详见下页表中的计算)（1）先由分布律的性质（将表中第2列除1外的数相加得第5行第1列，再用1减它得第5行第3列）可求得Y的分布律；再由X及Y的性（将表中第2列的第2、3、4行分别除第5行得第4列）可求得X的分布律； （2）由边缘分布律及性得17

．

解

：

设

产

生

122121， 339639故

障

的

元

件

个

数

为

X，

0XkX0,1,2,3,4,5,P(Xi)1pkk 1,k1,2,3,4,5 pkY X 1 1 2 PXi E(Xk)pk,D(Xk)pk(1pk),X又

3 1822 1813 1861PYj  183（2）DX6 18  91 18261 18331 186Xk15k，

X1,X2,X3,X4,X5相互

（

51）

122  183(1pk)

EXpk0.20.30.40.50.62i1

pi15k0.20.80.30.70.40.60.50.50.60.41.16

18.

解

：

(1)

fXx2(1x)00x1其它，

28

2yfYy0EY0y1其它(2)

EXxfXxdxx21xdx0113，

yfYydy10y2ydy112(3)CovX,YEXYEXEY,3361122,D(X)E(X)E(X),618EX2xfXxdx20x221xdxD(Y)E(Y2)E2(Y)1CovX,Y1,XY 18DXDY21219．解：设X是100次中出现正面的次数，则X~B(100,)，由中心极限定理，

X~N(1000.5,(1000.50.5)2)，标准化并再查附表知其等于P35X60

近似351000.5X1000.5601000.50P1000.50.51000.50.51000.50.52[1(3)]0.9795。

20. 解：设车门高为h，由题意P(Xh)0.05,或1P(Xh)0.05，

P(Xh)0.95，

标准化：P(X170h170h170)0.95，0.95，查附录表中知

888h1701.5，解出h183.2184，81.50.9505，由z的单调增加性，

即车门高度应为184时满足条件。

121．解：（1）fx,yfX(x)fY(y)00x1,0y1

其它z00zdyz0z1（2）用卷积公式：fz(z)fX(zy)fY(y)dy10

dy2z1z2z102z

29

2009——2010

30

31

一．填空题

1.1/6 2. 6/7 3.20/23 4.3/8 5.9/16 6.1/2 7.5/2 8.≤1/4 9、10小题不做 二．解答题

1. (1)X 0 1 2

P 1/4 3/5 3/20 (2)3/5 2.

3.

4.

5.

32

6.

7.

33