安徽省淮北市师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．
1．（5分）集合M={﹣2，0，1，2}，N={x|x﹣x＞0}，则M∩N=（） A． {﹣2，1，2} B． {0，2} C． {﹣2，2} D．[﹣2，2]
2．（5分）数列3，5，9，17，33，…的通项公式an等于（）
nnn A． 2 B． 2+1 C． 2﹣1
D．2
n+1
2
3．（5分）在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（） A． 30° B． 60° C． 60°或120° D．30°或150° 4．（5分）不等式2x﹣y＞0表示的平面区域（阴影部分）为（）
A． B． C． D．
5．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（） A．
6．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}中，
成等差数列，则
=
B．
C． a＞b
2
D．a＞2b
2
（） A． ﹣1或3 B． 3 C． 27 D．1或27 7．（5分）已知a，b∈R，且ab≠0，则在下列四个不等式中，不恒成立的是（） A． C．
8．（5分）在△ABC中，若﹣sinAsinB＜sinA+sinB﹣sinC＜﹣sinAsinB，则△ABC的形状是（） A． 钝角三角形 B． 直角三角形 C． 锐角三角形 D．不能确定
2
2
2
B． D．
9．（5分）{an}为等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，S6＞S7＞S5，则下列结论中不正确的是（） A． d＜0 B． S11＞0 C． S12＜0 D．S13＜0
10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值
是最大值为12，则 A．
的最小值为（） B．
C．
D．4
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．） 11．（ 5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a4=3，a6=11，则S9=．
12．（5分）若2x+y=2，则9+3的最小值为．
x
y
13．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=的最小值是．
14．（5分）已知点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，则m的取值范围是．
15．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+
=
，则A=．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（12分）已知函数f（x）=
17．（12分）在△ABC中角B为钝角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足2bsinA=（1）求角B的值．
（2）若b=19，a+c=5，求a、c的值．． 18．（12分）解关于x的不等式：（ax+2）（x﹣1）＞0，（a∈R）
19．（13分）函数f（x）=sinx（x＞0）的零点按由小到大的顺序排成数列an （1）求数列an的通项公式；
n
（2）设bn=3an，若数列bn的前n项和为Tn，求Tn．
，若a＞b＞1，试比较f（a）与f（b）的大小．
a．
20．（13分）若关于x的方程x+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S． （1）设z=2a﹣b，求z的取值范围； （2）若点（a，b）∈S，求y=
的取值范围．
2
21．（13分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：
①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； ②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船． 问哪种方案更合算？
安徽省淮北市师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．
2
1．（5分）集合M={﹣2，0，1，2}，N={x|x﹣x＞0}，则M∩N=（） A． {﹣2，1，2} B． {0，2} C． {﹣2，2} D．[﹣2，2]
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 求解一元二次不等式化简集合N，然后直接利用交集运算求解． 解答： 解：∵M={﹣2，0，1，2}，
2
N={x|x﹣x＞0}={x|x＜0或x＞1}，
则M∩N={﹣2，0，1，2}∩{x|x＜0或x＞1}={﹣2，2}． 故选：C．
点评： 本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
2．（5分）数列3，5，9，17，33，…的通项公式an等于（）
nnn A． 2 B． 2+1 C． 2﹣1
考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 探究型．
D．2
n+1
分析： 研究数列中各项的数与项数的关系，利用归纳法得出结论，再根据所得的结论比对四个选项，选出正确答案．
12345
解答： 解：∵3=2+1，5=2+1，9=2+1，17=2+1，33=2+1，…
n
∴an=2+1 故选B
点评： 本题考查数列的概念及简单表示法，解题的关键是研究项与序号的对应关系，由归纳推理得出结论．
3．（5分）在△ABC中，a=，b= A． 30° B． 60°
考点： 正弦定理． 专题： 解三角形．
，B=45°，则A等于（） C． 60°或120° D．30°或150°
分析： 由正弦定理可得sinA=解答： 解：由正弦定理可得
，再由大边对大角可得A＞B=45°，从而求得A的值． =
，∴sinA=
．∵B=45°，a＞b，再由大边对
大角可得A＞B，
故B=60°或120°， 故选，C．
点评： 本题考查正弦定理的应用，以及三角形中大边对大角，是一道基础题． 4．（5分）不等式2x﹣y＞0表示的平面区域（阴影部分）为（）
A． B． C． D．
考点： 二元一次不等式（组）与平面区域． 专题： 不等式的解法及应用．
分析： 根据二元一次不等式表示平面区域的性质即可得到结论． 解答： 解：不等式对应的直线方程为y=2x，斜率为2，排除A，B， 不等式2x﹣y＞0，表示的平面区域在直线2x﹣y=0的下方， 故选：D
点评： 本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，根据直线定边，点定域的性质是解决此类问题的 基本方法． 5．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）
A． B． C． a＞b
2
D．a＞2b
2
考点： 不等关系与不等式．
专题： 计算题．
分析： 通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确． 解答： 解：对于A，例如a=2，b=
此时满足a＞1＞b＞﹣1但
故B错
故A错
对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但
2
2
对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b＜1∵a＞1∴a＞b故C正确 对于D，例如a=
此时满足a＞1＞b＞﹣1，a＜2b故D错
2
故选C
点评： 想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．
6．（5分）已知各项均为正数的等比数列{an}中，（） A． ﹣1或3 B． 3 C． 27
考点： 等比数列的通项公式；等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列．
成等差数列，则=
D．1或27
分析： 已知各项均为正数的等比数列{an}，设出首项为a1，公比为q，根据成等差数列，可以求出公比q，再代入所求式子进行计算；
解答： 解：∵各项均为正数的等比数列{an}中，公比为q， ∵
成等差数列，
2
2
∴a3=3a1+2a2，可得a1q=33a1+2a1q，解得q=﹣1或3， ∵正数的等比数列q=﹣1舍去， 故q=3， ∴
=
=
=
=27，
故选C；
点评： 此题主要考查等差数列和等比数列的性质，是一道基础题，计算量有些大，注意q=﹣1要舍去否则会有两个值； 7．（5分）已知a，b∈R，且ab≠0，则在下列四个不等式中，不恒成立的是（） A． C．
B． D．
考点： 基本不等式．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： A．∀a，b∈R，a+b≥2ab； B．ab＜0时不成立； C．由（a+b）≥4ab，可得
2
2
2
2
2
22
；
2
D．由a+b≥2ab，可得2（a+b）≥（a+b），解答： 解：A．∀a，b∈R，a+b≥2ab，因此正确； B．ab＜0时不成立；
C．（a﹣b）≥0，可得（a+b）≥4ab，∴D．∵a+b≥2ab，∴2（a+b）≥（a+b），∴
2
2
2
2
2
2
22
2
．
，成立；
．
故选：B．
点评： 本题考查了重要不等式与基本不等式的应用，考查了变形的能力，属于基础题．
8．（5分）在△ABC中，若﹣sinAsinB＜sinA+sinB﹣sinC＜﹣sinAsinB，则△ABC的形状是（） A． 钝角三角形 B． 直角三角形 C． 锐角三角形 D．不能确定
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 已知不等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理化简，求出cosC的范围，进而确定出C为钝角，即可做出判断．
222
解答： 解：将﹣sinAsinB＜sinA+sinB﹣sinC＜﹣sinAsinB，利用正弦定理化简得：﹣
222
ab＜a+b﹣c＜﹣ab，
222
由余弦定理得：cosC=可得：﹣
ab＜2abcosC＜﹣ab，
，即a+b﹣c=2abcosC，
222
∵ab≠0，∴﹣＜2cosC＜﹣1，即﹣＜cosC＜﹣，
∴C为钝角，
则△ABC为钝角三角形， 故选：A．
点评： 此题考查了余弦定理，余弦函数的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
9．（5分）{an}为等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，S6＞S7＞S5，则下列结论中不正确的是（） A． d＜0 B． S11＞0 C． S12＜0 D．S13＜0
考点： 等差数列的性质． 专题： 常规题型．
分析： 由已知条件
知A正确；由S11=11a6
＞0知B正确；由S12=
=＞0，知C错误；由
S13==13a7＜0，知D正确，
解答： 解：由已知条件
即a6＞0，a7＜0，a6+a7＞0， 因此d＜0，A正确； S11=11a6＞0，B正确； S12=
=
＞0，故C错误；
S13==13a7＜0，故D正确，
故选C．
点评： 解答本题要灵活应用等差数列的通项公式、性质、前n项和公式求解．
10．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值
是最大值为12，则 A．
的最小值为（） B．
C．
D．4
考点： 基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域． 专题： 不等式的解法及应用．
分析： 已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本
不等式解答．
解答： 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分， 当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12， 即4a+6b=12，即2a+3b=6，而故选A．
=
，
点评： 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．） 11．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a4=3，a6=11，则S9=63．
考点： 等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 依题意，利用等差数列的性质可得a4+a6=a1+a9=14，从而可求得S9的值． 解答： 解：在等差数列{an}中，∵a4=3，a6=11， ∴a4+a6=a1+a9=14，
∴S9=
=63，
故答案为：63．
点评： 本题考查等差数列的性质与求和公式的应用，属于中档题．
12．（5分）若2x+y=2，则9+3的最小值为6．
考点： 基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 不等式的解法及应用．
xy
分析： 由题意，9＞0，3＞0，可得9+3≥2解答： 解：由题意，9＞0，3＞0， ∴9+3≥2∵2x+y=2， ∴2
≥6，
x
y
x
y
xyxy
=2，从而可得结论．
=2，
当且仅当2x=y=1，
即x=，y=1时，9+3的最小值为6．
故答案为：6．
点评： 本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式、指数运算性质是关键．
xy
13．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=的最小值是5．
考点： 函数的最值及其几何意义．
专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用．
分析： 由题意作出其平面区域，z=距离，从而可得．
解答： 解：由题意作出其平面区域，
可看成阴影内的点到点A（﹣7，0）的
z=则由故z=
可看成阴影内的点到点A（﹣7，0）的距离， 解得，x=﹣3，y=3；
=5，
故答案为：5．
点评： 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．
14．（5分）已知点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，则m的取值范围是﹣7＜m＜24．
考点： 二元一次不等式（组）与平面区域． 专题： 数学模型法．
分析： 点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧，
那么把这两个点代入3x﹣2y+m，它们的符号相反，乘积小于0，求出m的值． 解答： 解：因为点（3，1）和点（﹣4，6）在直线3x﹣2y+m=0的两侧， 所以，（3×3﹣2×1+m）[3×（﹣4）﹣2×6+m]＜0， 即：（m+7）（m﹣24）＜0，解得﹣7＜m＜24 故答案为：﹣7＜m＜24．
点评： 本题考查二元一次不等式组与平面区域问题，点与直线的位置关系，是基础题．
15．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=，则A=．
考点： 同角三角函数基本关系的运用；正弦定理． 专题： 三角函数的求值．
分析： 由条件利用正弦定理，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式、诱导公式求得cosA的值，可得A的值．
解答： 解：△ABC中，由1+=2sinCcosA， 求得cosA=，∴A=故答案为：
．
，
=，可得1+=，化简可得 sin（A+B）
点评： 本题主要考查正弦定理，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（12分）已知函数f（x）=
，若a＞b＞1，试比较f（a）与f（b）的大小．
考点： 函数单调性的判断与证明． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系探讨出函数的单调性，最后比较大小．
解答： 解：f′（x）=减，
∵a＞b＞1，∴f（a）＜f（b）
=＜0，∴函数f（x）=在（1，+∞）递
点评： 本题主要考查函数的单调性，利用单调性比较两个函数值的大小，属于基础题．
17．（12分）在△ABC中角B为钝角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足2bsinA=a． （1）求角B的值．
（2）若b=19，a+c=5，求a、c的值．．
考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 集合．
分析： （1）已知等式利用正弦定理化简，求出sinB的值，根据B为钝角，求出B的度数即可；
（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把各自的值代入求出a与c的值即可．
解答： 解：（1）已知等式2bsinA=a， 利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，
∵sinA≠0，∴sinB=∵B为钝角， ∴B=
；
，
（2）∵b=，a+c=5，B=
2
2
2
，
2
∴由余弦定理得：b=a+c﹣2accosB=（a+c）﹣2ac﹣2accosB， 即19=25﹣2ac+ac，即ac=6①， 与a+c=5②，
联立①②，解得：a=2，c=3；a=3，c=2．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键． 18．（12分）解关于x的不等式：（ax+2）（x﹣1）＞0，（a∈R）
考点： 一元二次不等式的解法．
专题： 计算题；不等式的解法及应用．
分析： 对a讨论，分a=0，a＞0，a＜0再分a=﹣2，a＞﹣2，a＜﹣2，判断两根的大小，再由二次不等式的解法，即可得到解集．
解答： 解：1）当a=0时，不等式变为x﹣1＞0，则x＞1；
2）当a＞0时，方程（ax+2）（x﹣1）=0的两个根为﹣，1且﹣＜1， 则x＞1或x＜﹣； 3）当a＜0时，（x
）（x﹣1）＜0，
a=﹣2时，即有（x﹣1）2＜0，则x∈∅， a＜﹣2时，则﹣＜1，则﹣＜x＜1，
﹣2＜a＜0，则﹣＞1，则1＜x＜﹣． 综上，a=0时，解集为（1，+∞）， a＞0时，解集为（1，+∞）∪（﹣a=﹣2时，解集为∅，
a＜﹣2时，解集为（﹣，1）， ﹣2＜a＜0，时，解集为（1，﹣）．
点评： 本题考查二次不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．
19．（13分）函数f（x）=sinx（x＞0）的零点按由小到大的顺序排成数列an （1）求数列an的通项公式；
n
（2）设bn=3an，若数列bn的前n项和为Tn，求Tn．
考点： 数列的求和．
专题： 计算题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
分析： （1）求出函数的零点，得到数列{an}是等差数列，即可求数列{an}的通项公式；
n*
（2）求出bn=3an，其中n∈N的通项公式，利用错位相减法即可求数列{bn}的前n项和Tn．
•
解答： 解：（1）由y=sinx=0得，x=nπ，即x=nπ，n∈N，
它在（0，+∞）内的全部零点构成以π为首项，π为公差的等差数列， 则数列{an}的通项公式an=nπ．
nn
（2）∵bn=3an=nπ•3，
23n﹣1n
则数列{bn}的前n项和Tn=π（1•3+2•3+3•3+…+（n﹣1）•3+n•3）①
23nn+1
则3Tn=π（1•3+2•3+…+（n﹣1）•3+n•3）②
）；
①﹣②得，﹣2Tn=π（3+3+3+…+3﹣n•3则Tn=π（
）．
23nn+1
）=π（﹣n•3
n+1
），
点评： 本题主要考查等比数列的应用及数列求和，根据错位相减法是解决本题的关键．
20．（13分）若关于x的方程x+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S． （1）设z=2a﹣b，求z的取值范围； （2）若点（a，b）∈S，求y=
考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系． 专题： 函数的性质及应用．
2
的取值范围．
分析： （1）令f（x）=x+ax+b，根据题意可知f（0）＞0，f（1）＜0，f（3）＞0，进而求得b＞0，a+b+1＜0，3a+b+9＞0，画出可行域，进而分别求得z的最大和最小值，答案可得．
2
（2）令x=2a﹣b∈（﹣11，﹣2），则y=x++2014，根据导数的符号求得函数y在（﹣11，
﹣7）上是增函数，在（﹣7，﹣2）上是减函数，从而求得函数y的值域．
2
解答： 解：（1）设f（x）=x+ax+b，则由题意可得f（x）的零点一个在区间（0，1）内，另一个在区间（1，3）内，
故有，即 ，由线性规划的知识画出可行域：以a为横轴，
b纵轴，
再以z=2a﹣b为目标，点（a，b）对应的区域S如图阴影部分所示， 易得图中A，B，C三点的坐标分别为（﹣4，3），（﹣3，0），（﹣1，0），（4分）
（1）令z=2a﹣b，则直线b=2a﹣z经过点A时z取到下边界﹣11，经过点C时z取到上边界﹣2，
又A，B，C三点的值没有取到，所以﹣11＜z＜﹣2． （2）若点（a，b）∈S，则2a﹣b∈（﹣11，﹣2）， y=+2014+
．
+2014，令y′=1﹣
=0，求得x=7（舍去），或 x=﹣7，
=
=（2a﹣b）
令x=2a﹣b∈（﹣11，﹣2），则y=x+
由于在（﹣11，﹣7）上，y′＞0，∴函数y在（﹣11，﹣7）上是增函数， 在（﹣7，﹣2）上，y′＜0，∴函数y是减函数． ∴当x=﹣7时，ymax=2000；当x=﹣11时，y=2013﹣故函数y的范围为（
，2000]．
；当x=﹣2时，y=
，
点评： 本题主要考查了一元二次方程根据的分布，以及线性规划的基本知识，利用导数研究函数的单调性，由单调性求函数的值域，考查了学生对基础知识的综合运用，属于中档题．
21．（13分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：
①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； ②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船． 问哪种方案更合算？
考点： 函数模型的选择与应用． 专题： 应用题． 分析： （1）由入纯收入等于n年的收入减去n年总的支出，我们可得（fn）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98，化简可得到纯收入关于使用时间n的函数解析式，然后构造不等式，解不等式即可得到n的取值范围．
（2）由（1）中的纯收入关于使用时间n的函数解析式，我们对两种方案分析进行分析比较，易得哪种方案更合算． 解答： 解：（1）由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数的关系为f（n），
2
则f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98=40n﹣2n﹣98， 由f（n）＞0，
得10﹣
又∵n∈N*， ∴3≤n≤17．
即从第3年开始获利． （2）①年平均收入为
40﹣2×14=12，
当且仅当n=7时，年平均获利最大，为12万元/年． 此时，总收益为12×7+26=110（万元）．
2
②f（n）=﹣2（n﹣10）+102，∵当n=10时，f（n）max=102（万元）． 此时，总收益为102+8=110（万元）．
由于这两种方案总收入都为110万元，而方案①只需7年、而方案②需要10年，故方案①更合算．
点评： 函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．根据函数图象或性质，对两个函数模型进行比较，分析最优解也是函数的主要应用．
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