河南省南阳市高三上学期期中质量评估数学(理)试题

2017年秋期期中考试三数学试题（理）及答案

一、选择题：

1.已知集合A{x|y3xx1}，B{x|lgx1}，则A∩B=（ D ） A． [1,3] B．(1,3] C．（0，1] D．（0，3]

2.复数z满足z|z|84i，则z=( A )

A.34i B.34i C.43i D.43i 3.设命题p：x0,xlnx0，则p为（ D ）

A．x0,xlnx0 B．x0,xlnx0

C．x00,x0lnx00 D．x00,x0lnx00

4.设{an}为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1=（ B A．18 B．20 C．22 D．24

5.若x,y是正数，且

1x4y1，则xy有（ A ） A．最小值16 B．最小值

116 C．最大值16 D．最大值116 6.在△ABC中，a8，b10，A45，则此三角形解的情况是（ B ）

A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解

7.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x0时，g(x)ln(1x)，

）

函数

x3(x0)2f(x)，若f(2x)f(x)，则实数x的取值范围是( D )

g(x)(x0)A．(－2,1)B．(－∞，－2)∪(1，2)∪(2，＋∞) C．(－1,2)D．(－2，－2)∪(－2，0)∪(0,1) 8.已知yf(x)是定义域为Axxsin函数，则这样的函数共有（ A ）个.

A.6 B.27 C.64 D.81

k,kN且k4，值域为B,e,3的4xkx2,x09.若函数f(x)x1有且只有2个不同的零点，则实数k的取值范围是

lnx,x0( C )

A．(－4,0)

C． (－∞，0]D．(－∞，0) 10.已知

O

是ABC所在平面内的一定点，动点

P

满足

B．(－4,0]

OPOA(ABABACAC),(0,)，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ A ）

A.内心 B.垂心 C.外心 D.重心

n111.已知有穷数列an中，n=1,2,3,,729.且an(2n1)(1).从数列an中依次取出

a2,a5,a14,.构成新数列bn，容易发现数列bn是以-3为首项，-3为公比的等比数列.记

数列an的所有项的和为S，数列bn的所有项的和为T，则（ A ） A.ST B.ST C.ST D.S与T的大小关系不确定

12.4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是（ B ） A.-1 B.0 C.1 D.2

二、填空题：

13.已知sincos21,则tan= ．2或 5214.在ABC中，AB7,AC25.若O为ABC的外心，则AOBC15.下列结论：①“a1”是“a③函数y

．288

x ②存在a1,x0,使得alogax；a”的充要条件；2tanx的最小正周期为；④任意的锐角三角形ABC中，有sinBcosA成

1tan2x2立。其中所有正确结论的序号为 ．①②④

16.已知k0,b0,且kxbln(x2)对任意的x2恒成立，则为 ．1 三、解答题：

xxf(x)ee 17.(本题满分10分）已知函数，其中e是自然对数的底数．

b的最小值k（1）证明：f(x)是R上的偶函数；

x（2）若关于x的不等式mf(x)em1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围.

xx【解答】解：（1）∵f(x)ee，

xx∴f(x)eef(x)，即f(x)是R上的偶函数；…………………………3分

x（2）若关于x的不等式mf(x)em1在（0，+∞）上恒成立，

xxx即m(ee1)e1

∵x＞0，∴exex10，

ex1即mx在（0，+∞）上恒成立，………………………………5分 xee1

设t=e，（t＞1），则mx

1t在t(1,)上恒成立，………………7分 2tt11t111∵t2t13，当且仅当t2时等号成立，

(t1)1t1∴m1．………………………………………………………………10分 318.(本题满分12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6S314，a610a4，

a4a3．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}中，bnlog2an，求数列{anbn}的前n项和Tn．

【解答】解：（1）由S6S314得a4a5a614，又a610a4，

∴a54，………………………………………………2分

又数列{an}成等比数列，设公比q，则

44q10 q∴q2或

11（q与a4a3矛盾，舍），………………………………4分 22n52n3；………………………………6分 ∴q2，an42n3（2）bnlog2ann3，∴anbn(n3)2，

Tn=﹣2×2﹣2﹣1×2﹣1+0+…+（n﹣3）×2n﹣3，

2Tn=﹣2×2﹣1﹣1×20+0+…+（n﹣3）×2n﹣2，

相减得Tn=2×2﹣（2+2+…+2

﹣2

﹣1

0

n﹣3

）+（n﹣3）×2

n﹣2

=

11n﹣2n﹣2

﹣（2﹣）+（n﹣3）×2 22=（n﹣4）×2n﹣2+1，

n2即Tn(n4)21 …………………………………………………………12分

B、C所对的边分别为a,b,c，19.(本题满分12分）在△ABC中，角A、且cacosBbnisA

（1）求A；

（2）若a22，求△ABC的面积的最值．

【解答】解：（1）由题意知，cacosBbsinA， 由正弦定理得，sinCsinAcosBsinBsinA，

∵sin(AB)sinC，

∴化简得，sinBcosAsinBsinA， ∵sinB0，∴cosAsinA，则tanA1，

由0＜A＜π得，A4；…………………………………………6分

（2）∵a22，A4，∴由余弦定理a2b2c22bccosA得，

8b2c22bc，因为b2c22bc，故可得bc842（当且仅当b=c时取等号），

∴△ABC的面积S12bcsinAbc222 24∴△ABC的面积的最大值是222．没有最小值。 ………………………………12分

20.(本题满分12分）已知函数f(x)exk，kR. x(1)如果对任意x0，f(x)0恒成立，求k的取值范围； (2)若函数f(x)有两个零点，求k的取值范围；

(3)若函数f(x)的两个零点为x1,x2，证明：x1x22. 解：（1）对x0，f(x)0恒成立

kxex，对x0恒成立

xx令g(x)xe，则g'(x)(x1)e，

易知：g(x)在(,1)上递减，在(1,0)上递增。

11g(x)ming(1)，k的取值范围是(,).……………4分

ee

x（2）f(x)有两个零点，等价于yk与yg(x)xe有两个不同的交点，

由 （1）知，k(,0).……………6分

1e

（3）证明：由（2）知：不妨设x11x20， 则x1e1k0，x2e令h(x)(x2)ex2xx2k0，即g(x1)g(x2)k

xex，x(1,0)

h'(x)(x1)(exex2)0，即h(x)为增函数 h(x)h(1)0，即xex(x2)ex2

因为x2(1,0)，故g(x2)g(x22) 由g(x1)g(x2)，得g(x1)g(x22)

由（1）知g(x)在(,1)上递减，

故x1x22，即：x1x22……………………12分

,kR）21.(本题满分12分）讨论函数f(x)(k1)(xx)x（在定义域上的（0，）单调性.

2解：f(x)(k1)(x1)2x,x0

1332①当k1时，f(x)0,f(x)在（0，）上递增；

22又，f(x)k(x1)(x1)

②当k0时，f(x)0，f(x)在（0，）上递减；

③当0k1时，方程f(x)0的判别式4k(2k)0，该方程有两根

x11k(2k)1k(2k)，且0x1x2，则当x变化时，f(x)和f(x)的,x21k1k变化情况如下表：

x （0，x1） x1 0 极小值 （x1，x2） x2 0 极大值 (x2,)  减函数 f'(x) f(x)  减函数  增函数 所以f(x)在(0,x1)上递减，在(x1,x2)上递增，在(x2,)上递减。

22.(本题满分12分）已知函数fx（1）求函数fx的极值；

（2）若m1，试讨论关于x的方程fxxm1x的解的个数，并说明理由.

212xmlnx. 2

mx2m解：（1）依题意得，f'(x)x，x(0,)

xx当m0时，f'(x)0，故函数f(x)在(0,)上单调递增，f(x)无极值；…………2分

当m0时，令f'(x)0，xm或xm（舍）

当x(0,m)时，f'(x)0，函数f(x)在(0,m)上单调递减； 当x(m,)时，f'(x)0，函数f(x)在(m,)上单调递增。 故函数f(x)有极小值f(m)m(1lnm). …………5分 2综上所述：当m0时，f(x)无极值；

当m0时，f(x)有极小值

m(1lnm)，无极大值。 …………6分 212xm1xmlnx，x0，问题等价22（2）令Fxfxxm1x于求Fx函数的零点个数.

易得F'(x)xm1m(x1)(xm) xx30，2当m1时，F'(x)0，函数F(x)为减函数，因为F(1)F(4)ln40，所以F(x)有唯一零点； …………

8分

当m1时，则当0x1或xm时，F'(x)0，而当1xm时，F'(x)0， 所以，函数F(x)在(0,1)和(m,)上单调递减，在(1,m)单调递增， 因为F(1)m10，F(2m2)mln(2m2)0，所以函数F(x)有唯一零点. 22综上，若m1，函数F(x)有唯一零点，即方程方程fxxm1x有唯

一解. …………12分