等轴椭圆与三角形的“心”

◎陈纪刚　(广东省佛山市罗定邦中学ꎬ广东　佛山　５２８３００)

　　等轴双曲线是一种特殊的双曲线ꎬ它有很多优美的性质.对应的ꎬ也有一种特殊的椭圆ꎬ它的短轴长与焦距相等.本文将讨论该类椭圆的相关性质.

定义:短轴与焦距相等的椭圆为等轴椭圆.

不妨设等轴椭圆的焦点在ｘ轴上ꎬ根据定义知ａ２＝２ｂ２＝２ｃ２ꎬ故可设等轴椭圆的方程为ｘ２＋２ｙ２＝２ｂ２(ｂ>０).椭圆交于点ＰꎬＱ.

性质１　若点Ｆ为△ＢＰＱ的内心ꎬ则对应的直线ｌ的方２＋６程为:ｙ＝ｘ－３ｂ.

２

设该椭圆的上顶点为Ｂ(０ꎬｂ)ꎬ右焦点为Ｆ(ｂꎬ０)ꎬ直线ｌ与

整理后可得ｔ２－２ｍｂｔ－３ｍ２ｂ２＝０ꎬ即可得ｔ＝３ｍｂ或－ｍｂ.

当ｔ＝－ｍｂ时ꎬ直线ｌ过点Ｂꎬ舍掉ꎬ∴ｔ＝３ｍｂꎬ即直线ｌ的方程为:ｘ＝ｍｙ＋３ｍｂ.可知直线ｌ过定点Ａ(０ꎬ－３ｂ).重新设直线ｌ的方程为:ｙ＝ｋｘ－３ｂ.

设直线ＢＰ的方程为ｙ＝ｎｘ＋ｂꎬ联立椭圆方程求得点Ｐ－４ｎｂ－２ｎ２ｂ＋ｂ

ꎬ的坐标为:.

２ｎ２＋１２ｎ２＋１

()

由点Ｐ与点Ａ(０ꎬ－３ｂ)可知ｋ＝－直线ｌ可表示为:ｙ＝－３ｎｂ＝０ꎬ

ｎ２＋１

.ｎ

证明　如图所示ꎬ易知ｋＢＦ＝－１.

ｎ２＋１

ｘ－３ｂ⇔ｎｙ＋(ｎ２＋１)ｘ＋ｎ

作为△ＢＰＱ的内心ꎬ点Ｆ到直线ＢＰ与直线ｌ的距离相｜ｎｂ＋ｂ｜ｎ２＋１ｎ２＋１

＝

｜ｎ２ｂ＋３ｎｂ＋ｂ｜ｎ２＋(ｎ２＋１)２｜ｎ２＋３ｎ＋１｜ｎ２＋(ｎ２＋１)２

.

等ꎬ即ｄＦ－ＢＰ＝ｄＦ－ｌ.

即

∵点Ｆ为△ＢＰＱ的内心ꎬ

∴ＢＦ是∠ＰＢＱ的角平分线ꎬ设∠ＰＢＦ＝∠ＱＢＦ＝θꎬ∴ｋＢＰｋＢＱ

π

＝ｔａｎπ－θ－

４

＝

⇔｜ｎ＋１｜

()

可知ｋＢＰ􀅰ｋＢＱ＝１.显然就有:

３π１－ｔａｎθ＋θ＝－＝ｔａｎ.４１＋ｔａｎθ

()

１＋ｔａｎθ

＝－ꎬ

１－ｔａｎθ

(ｎ＋１)２(ｎ２＋３ｎ＋１)２

两边平方得２＝２ꎬ

ｎ＋１ｎ＋(ｎ２＋１)２

２ｎ２＋１ｎ２＋１

－２－３－ｎ－ｎ

整理可得２＝ꎬ

ｎ＋１ｎ２＋１２

１＋

－ｎ－ｎ

(

设ＰꎬＱ的坐标分别为(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ

ｙ２－ｂｙ１－ｂ

􀅰＝１.ｘ２ｘ１

(

)

)

即得

ｋ－２(ｋ－３)２

＝.ｋ１＋ｋ２

２±６.２

化简得ｙ１ｙ２－ｂ(ｙ１＋ｙ２)＋ｂ＝ｘ１ｘ２.

２

求解可得ｋ＝当ｋ＝

设直线ｌ的方程为:

２

ｘ＝ｍｙ＋ｔꎬｘ１ｘ２＝ｍｙ１ｙ２＋ｍｔ(ｙ１＋ｙ２)＋ｔꎬ

２

代入可得:

点ꎬ所以舍去.

(１)

∴ｋ＝

２－６时ꎬ验证可知对应的直线ｌ与椭圆没有交２

(ｍ２－１)ｙ１ｙ２＋(ｍｔ＋ｂ)(ｙ１＋ｙ２)＋ｔ２－ｂ２＝０.联立直线与椭圆方程得:(ｍ２＋２)ｙ２＋２ｔｍｙ＋ｔ２－２ｂ２＝０.

２＋６.２

－２ｔｍｔ２－２ｂ２

可得ｙ１＋ｙ２＝２ꎬｙ１􀅰ｙ２＝２.

ｍ＋２ｍ＋２代入(１)式得:

(ｍ２－１)(ｔ２－２ｂ２)(ｍｔ＋ｂ)２ｍｔ２

－＋ｔ－ｂ２＝０.２２

ｍ＋２ｍ＋２

数学学习与研究　２０１９􀆰４

对应的直线ｌ的方程为:ｙ＝

是否存在相应的直线ｌ使得点Ｆ为△ＢＰＱ的外心、垂心和重心呢?答案是不一定的.

(下转１０３页)

２＋６ｘ－３ｂ.２

　　　关的分类讨论ꎻ第二ꎬ三角形中的分类讨论ꎻ第三ꎬ圆中的分类讨论.以下题为例:

如图所示ꎬ在△ＡＢＣ中ꎬＡＢ＝６ꎬＡＣ＝４ꎬＰ是ＡＣ的中点ꎬ过Ｐ点的直线交ＡＢ于点Ｑꎬ若以ＡꎬＰꎬＱ为顶点的三角形和以ＡꎬＢꎬＣ为顶点的三角形相似ꎬ则ＡＱ的长为(　　).

　　　　　　　　　　　ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ解题技巧与方法　１０３低解题难度ꎬ而且有助于提升我们的解题效率.同时ꎬ化归在数学解题中十分常见ꎬ主要功能是:将我们原本陌生的知识转换成较为熟悉的内容ꎬ将复杂、难以理解的知识转换为简单的内容ꎬ将抽象、难以理解的知识转换成形象具体的内容ꎬ以此降低解题难度.以下题为例:在三角形ＡＢＣ中ꎬ若三边ａꎬｂꎬｃ满足ｃ２＝ａ２＋ｂ２ꎬ则三角形ＡＢＣ是直角三角形ꎬ现为何种三角形?为什么?

在请你研究:若ｃｎ＝ａｎ＋ｂｎ(ｎ>２的自然数)ꎬ问三角形ＡＢＣ

Ａ.３　　　Ｂ.３或

１

解析:∵ＡＣ＝４ꎬＰ是ＡＣ的中点ꎬ∴ＡＰ＝ꎬＡＣ＝２ꎬ

２①若△ＡＰＱ∽△ＡＣＢꎬ则②若△ＡＰＱ∽△ＡＢＣꎬ则

ＡＱＡＰ２ＡＱ４＝ꎬ即＝ꎬ解得ＡＱ＝.ＡＣＡＢ６４３ＡＰＡＱ２ＡＱ

＝ꎬ即＝ꎬ解得ＡＱ＝３ꎻＡＣＡＢ４６

４３４　　　Ｃ.３或　　　Ｄ.３４３

五、结束语

综上所述ꎬ数学思想方法作为数学课程的精髓ꎬ其在数学解题中无处不在ꎬ需要我们深度挖掘.要想提升我们的考试成绩ꎬ需要注重日常积累ꎬ活学活用数学思想方法ꎬ从解题中总结规律ꎬ从而不断提升解题能力.

【参考文献】

[１]李贞凌.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[Ｊ].学周刊ꎬ２０１７(２７):１０５－１０６.

[２]林雪.关于转化思想方法在高中数学解题中的应用探讨[Ｊ].中国校外教育:上旬ꎬ２０１６(５):７１.

[３]赵建雄.浅谈化归思想方法在中学数学教学解题中的应用[Ｊ].甘肃科技纵横ꎬ２００７(６):１８４.

４

∴ＡＱ的长为３或.故选Ｂ.

３

四、转化与化归思想

转化与化归思想不只是一种常用的解题思想ꎬ也是一种应用广泛的思维策略.在解题过程中应用化归思想方法ꎬ收集已知与未知量ꎬ将其转换成简单易解的问题ꎬ不但能降

(上接１０１页)

　　性质２　不存在直线ｌ使得点Ｆ为△ＢＰＱ的外心.２ｂ为半径的圆为(ｘ－ｂ)２＋ｙ２＝２ｂ２.

为保证点ＰꎬＱ存在ꎬ

∴Δ＝１６ｔ２－４×３(２ｔ２－２ｂ２)>０ꎬ即ｔ∈(－３ｂꎬ３ｂ).

设点ＰꎬＱ的坐标为(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ(ｘ２ꎬｙ２).４ｔ２ｔ２－２ｂ２

可得ｘ１＋ｘ２＝－ꎬｘ１ｘ２＝ꎬ

３３

２

２

证明　外心指外接圆的圆心ꎬ设以点Ｆ为圆心ꎬ以ａ＝联立椭圆的方程得ｙ２＝－２ｂｘ＋ｂ２ꎬ代回圆的方程解得性质３　不存在直线ｌ使得点Ｆ为△ＢＰＱ的重心.证明　设点ＰꎬＱ的坐标为(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ(ｘ２ꎬｙ２).０＋ｘ１＋ｘ２

ì＝０ꎬï３ï

根据重心的计算公式í

ｂ＋ｙ１＋ｙ２ïï＝ｂꎬî３可得ｘ１＋ｘ２＝０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｂ.显然这样的直线并不存在.

性质４　若点Ｆ为△ＢＰＱ的垂心ꎬ则对应的直线ｌ的方

４

ｂ.３

可得ＰＱ的中点Ｍ的坐标为(０ꎬｂ).

ｘ＝０或４ｂ.显然这样的直线ｌ是不存在的.

２ｔ２＋２ｂ２

ｙ１ｙ２＝ｘ１ｘ２＋ｔ(ｘ１＋ｘ２)＋ｔ＝ｔ－.

３其中ｙ１＋ｘ２＝ｘ１＋ｘ２＋ｔ＝－

４

ｂ或ｔ＝ｂ(舍).３

ｔ.３

满足ｋＰＦ􀅰ｋＢＱ＝－１ꎬ整理得ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝ｂ(ｙ１＋ｘ２).

代入上面的韦达定理可得３ｔ２＋ｂｔ－４ｂ２＝０ꎬ解得ｔ＝－

∴直线ｌ的方程为:ｙ＝ｘ－

４ｂ.３

程为:ｙ＝ｘ－

【参考文献】

[１]龙宇ꎬ孙琼.向量与三角形的“心”[Ｊ].中学数学研究ꎬ２０１５(７):４１－４２.

证明　若点Ｆ为△ＢＰＱ的垂心ꎬ则有直线ｌ的斜率为ｋ＝１ꎬ设直线ｌ的方程为:ｙ＝ｘ＋ｔ.

联立椭圆方程得３ｘ＋４ｔｘ＋２ｔ－２ｂ＝０.

数学学习与研究　２０１９􀆰４

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