课后限时集训(二十九)
(建议用时：60分钟) A组 基础达标
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4＝( ) A．4 B．－4 C．5 D．－5
10a1＋45d＝60，
C [法一：由题意得
a1＋6d＝7，
a1＝3，
解得2
d＝，3
2
∴a4＝a1＋3d＝5，故选C．
法二：由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝又∵a7＝7，∴a4＝5，故选C．]
10a1＋a10
＝60，∴a1＋a10＝12.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝( ) A．52 C．104
C [由a2＋a7＋a12＝24得3a7＝24， 即a7＝8， 13
∴S13＝
B．78 D．208
a1＋a13
2
＝13a7＝13×8＝104，故选C．]
1211*
3．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N)，则该数列的通项为( )
2an＋1anan＋21
A．an＝ nB．an＝
2 n＋1
C．an＝2 n＋2
2
3
D．an＝ nA [由已知式
an＋1anan＋2
an1111111111
＝＋可得－＝－，知是首项为＝1，公差为－an＋1anan＋2an＋1
nan
a1a2a1
11
＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.]
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，m≥2，m∈N，则m＝( )
A．3 C．5
B．4 D．6
*
C [∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，∴am＝Sm－Sm－1＝2. 又Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1.
又 Sm＝
ma1＋am2
＝
ma1＋2
2
＝0，
∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.]
5．(2019·银川模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A．6斤 C．9.5斤
B．9斤 D．12斤
A [依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A．]
二、填空题
6．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝________. 22 [ak＝a1＋(k－1)d＝(k－1)d，a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝7a1＋21d＝21d，所以k－1＝21，得k＝22.]
1
7．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝
2________.
10 [a2＋a4＋a6＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋25，由S100＝45得a1＋a3＋a5＋…＋
a99＝10.]
8．(2019·青岛模拟)若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则
a1－a2
＝________. b1－b2
4x－yx－ya1－a24 [由题意得a1－a2＝，b1－b2＝，所以＝.] 334b1－b23三、解答题
9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn. [解] (1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋
Snnkk－1
2
2
·d＝2k＋
kk－1
2
×2＝k＋k.
2
由Sk＝110，得k＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. (2)证明：由(1)得Sn＝则bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以Tn＝
n2＋2n2
＝n(n＋1)，
Snnn2＋n＋1
2
＝
nn＋3
2
.
10．(2019·长春模拟)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
[解] (1)设{an}的公差为d.由题意，得
a211＝a1a13，
即(a1＋10d)＝a1(a1＋12d)． 于是d(2a1＋25d)＝0.
又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2. 故an＝－2n＋27.
(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而Sn＝(a1＋a3n－2)
2＝(－6n＋56) 2＝－3n＋28n.
B组 能力提升
1．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是( ) A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列 C．公差为6的等差数列 C [an＝n＋a1－1，
∴a2n－1＝2n＋a1－2，a2n＝2n＋a1－1， ∴a2n－1＋2a2n＝6n＋3a1－4.
因此数列{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列，故选C．]
2．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，
D．公差为9的等差数列
2
2
nn
齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？( )
A．9日 C．16日
B．8日 D．12日
A [根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1＝103，公差d1＝13的等差数列，前n天共跑的里程为S＝na1＋
nn－1
2
d1＝103n＋n(n－1)＝6.5n2＋96.5n；驽马每日行程也构
nn－1
2
132
成一个首项b1＝97，公差d2＝－0.5的等差数列，前n天共跑的里程为S＝nb1＋d2
0.52
＝97n－n(n－1)＝－0.25n＋97.25n.两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n天相逢，则
2有6.5n＋96.5n－0.25n＋97.25n＝1 125×2，解得n＝9，即它们第9天相遇，故选A．]
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则正整数m的值为________． 5 [由题意知am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，则公差d＝am＋1－am＝1. 由Sm＝0得
2
2
ma1＋am2
＝0，解得a1＝－am＝－2，
则am＝－2＋(m－1)×1＝2，解得m＝5.]
4．(2019·武汉模拟)已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N)．
an
(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；
n
*
(2)设bn＝2an－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.
[解] (1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N)， ∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴
ann
*
an＋1an－＝2， n＋1n∴数列是等差数列，其公差为2，首项为2， ∴＝2＋2(n－1)＝2n.
(2)由(1)知an＝2n，∴bn＝2an－15＝2n－15， 则数列{bn}的前n项和Sn＝
*
2
annn－13＋2n－15
2
＝n－14n.
2
令bn＝2n－15≤0，n∈N，解得n≤7.
∴n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n＋14n.
2
n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(7
2
－14×7)＋n－14n＝n－14n＋98.
22
14n－n，n≤7，∴Tn＝2
n－14n＋98，n≥8.
2
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