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一元二次不等式知识点归纳

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解一元二次不等式的步骤: ① 将二次项系数化为“+”:A=② 计算判别式

,分析不等式的解的情况:

>0(或<0)(a>0)

ⅰ. >0时,求根<,

ⅱ. =0时,求根==,

ⅲ. <0时,方程无解,

③ 写出解集。 【典型例题】 例1. 解不等式 (1) (3)

(2)

解:(1)因为。

所以,原不等式的解集是。

(2)因为。

所以,原不等式的解集是(3)整理,得

因为所以不等式

从而,原不等式的解集是例2. 解关于x的不等式

无实数解, 的解集是。

.

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分析:此不等式为含参数k的不等式,当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同,故应先从讨论判别式入手。 解:(1)当所以不等式

的解集是:

有两个不相等的实根。

(2)当有两个相等的实根,

所以不等式,即;

(3)当所以不等式

解集为

无实根

例3. 若不等式对于x取任何实数均成立,求k的取值范围。

解:∵

2

(∵4x+6x+3恒正),

2

∴原不等式对x取任何实数均成立,等价于不等式2x-2(k-3)x+3-k>0对x取任何实数均成立。 ∴

=[-2(k-3)]-8(3-k)<0

2

k-4k+3<0

2

1∴k的取值范围是(1,3)。

小结:逆向思维题目,告诉解集反求参数范围,即确定原不等式,待定系数法的一部分 例4. 已知关于x的二次不等式:a

+(a-1)x+a-1<0的解集为R,求a的取值范围。

分析:原不等式的解集为R,即对一切实数x不等式都成立,故必然y= a向下,且与x轴无交点,反映在数量关系上则有a<0 且

<0。

+(a-1)x+a-1的图象开口

解:由题意知,要使原不等式的解集为R,必须,

a<-。

.

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∴a的取值范围是a∈(-,-)。

说明:本题若无“二次不等式”的条件,还应考虑a=0的情况,但对本题讲a=0时式子不恒成立。(想想为什么?)

例5. 已知关于x的二次方程x+2mx+2m+1=0。

(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围。 (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围。 命题意图:本题重点考查方程的根的分布问题。

技巧与方法:设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用函数性质加以。

解:(1)条件说明抛物线f(x)=x+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得

2

2

∴。

(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组

:

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