中国矿业大学(北京) 2017-2018 学年 第1 学期
2的无偏估计,则c_______
12(n1)___________
《概率论与数理统计》试卷( A 卷)答案和评分标准
9、设随机变量X和Y相互,且都服从正态分布N(0,32),而X1,X2,X9和
一、填空题(每小题3分,共30分)
Y1,Y2,,Y9分别来自正态总体X和Y的简单随机样本,则统计量
1、设A,B为两个事件,P(A)0.4,P(B)0.8,P(AB)0.5,则
P(B|A____0.75__________ )Y=X1+X2++X9Y2+Y212++Y2服从____t(9)________分布
92、设随机变量X在(3,3)上服从均匀分布,关于t的方程4t24XtX20有10、设总体X~N(,2),抽取容量n16的样本x1,x2,,xn,经计算得均值
实根的概率为______
12_________ x5.2,样本标准方差s2,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为
3、设随机变量X的概率密度函数为fX(x),则随机变量Y3eX的概率密度函数
_____(4.134,6.266)____________
y二、(10分)设工厂A和工厂B的产品次品率分别为1%和2%.现从A和B的产为f(y)_____fXln31y,0yY___________
品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品属于工0,其他厂A生产的概率.
4、如果随机变量X在(0,10)上服从均匀分布,现在对X进行4次重复观测,解:设事件A表示产品来自工厂A,事件B表示产品来自工厂B,事件C表示抽取至少有3次观测值大于5的概率为____
5到的产品是次品,则
16__________ 5、设随机变量X服从参数为(0)的泊松分布,且E[(X1)(X2)]1,则
P(C|A)1%,P(C|B)2%,P(A)60%,P(B)40% 5分
______1_________
从而P(A|C)P(A)P(C|A)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)60%1%60%1%40%2%37 5分
6、设随机变量X,Y相互,且都服从参数2的指数分布,则
P{max{X,Y}2}_____(1e1)2_________
7、设随机变量X的方差为2.5,由切比雪夫不等式估计概率
P{|XE(X)|7._
___52 45_______ n18、设总体X~N(,2),X 1,X2,,Xn是该总体X的一个样本,c(Xi1Xi)2为
i1
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………..………………………….… …………………………………….
三、(12分)学生完成一道作业的时间X是一个随机变量,单位为小时.它的概率
密度函数为
12cxx,0xf(x)2
其他0,时被积函数不为零 2分
(1)确定常数c;(2)写出X的分布函数;(3)试求出在20分钟以内完成一道
0,z0zfXY(z)e(zx)dx0z1 3分
01e(zx)dxz10……:…号线…学… … … … … … …… … …:……名…姓… …… … … 订… … … ……:…级… .…年………业 ……专 …… …… …… …… …… …… …… …… …… 装… … … … … …… ……::…线院号…………学学…… …… …… …… …… ……… … … ……:…名……作业的概率.
…线解:(1)由概率密度函数的性质
……1……12f(x)dx0cx2xdxc1…248 ……解得c21 4分
…………(2)由f(x)21x2x,0x12,则
……0,其他……………x0…0封…F(x)xf(t)dtx21t2t3x20x1…2 4分 0dt7x2…...……1x12 ……….……(3)P(X1)F(117……33) 4分 …………四、(10分)设X,Y是两个相互的随机变量,其概率密度函数分别是…………………………f1,0x1X(x)…….0,其他 fey,y0Y(y) .0,其他……密….求随机变量ZXY的概率密度函数.
……..….……解:由卷积公式
………线f……XY(z)fX(x)fY(zx)dx 3分
………………易知仅当……0x1……zx0 即 0x1xz
…………………………即f0,z0zXY(z)1e0z1 2分 ez(e1)z1五、(10分)设(X,Y)具有概率密度为f(x,y)6xy2,0x1,0y1, 0,其它(1)求边缘概率密度fX(x),fY(y),并判断X,Y是否; (2) 求条件概率密度fXY(xy).
解:(1)f1206xydy2x0x1X(x)f(x,y)dy
0其他1fy)f(x,y)dx6xy2dx3y200y1Y( 0其他显然,f(x,y)fX(x)fY(y),所以X,Y相互 6分(2)当0y1时,fy)f(x,y)2x,0x1XY(xfy)0,x取其他值 4分 Y(
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.… ….… …… …… …… …… ………… …… …… …… ….… .… ………… :…………号…线学……线… …… …… …… … … …… ………… …… ……:……名……姓………… ………… … … …… … 订…… 封… ……… ……:…...…级……年………业………专…… … …… … … …… … … …… … … …… … … …装 … 密. …… ..… .…:……院…………学……………………………………
六、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
则
P(X84)1P(X84)1PX9084901
f(x,y)3x,0yx10,其他 33220.97724分
(1)求随机变量(X,Y)的协方差cov(X,Y); 八、(10分)设总体X的概率密度函数为f(x,)2ex3,x0,(2)求随机变量(X,Y)的相关系数. x
0,其他.解:(1)E(XY)xyf(x,y)dxdy1dxx3x2ydy13其中为未知参数且大于零,X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本,
0002x4dx310 (1)求的矩估计量;(2)求的最大似然估计量.
E(X)dxxf(x,y)dy1dxx3x2dy31x3dx3
0004
解:(1)由于
E(Y)dxyf(x,y)dy10dxx03xydy3210x3dx38
E(X)2x2x0xx3edxx2edx0exd0x, 则cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)3160 5分
(2)E(X2)令X,解得的矩估计量为=X1ndxx2f(x,y)dy1x130dx03x3dy30x4dx5
nXi 5分
i1E(Y2)dxy2f(x,y)dy1dxx3xy2dy1x41(2)似然函数为
000dx5
2nn,n)D(X)E(X2)E2(X)333L()f(x)2exi3,xi0(i1,2,i,
5480
i1i1xi0,其他.2nD(Y)E(Y2)E2(Y)1319 当2,,n)5x时,
L()exi8320i0(i1,2i1x3i,两边取对数
nCov(X,Y)3 lnL()2lnlnx3D(X)D(Y)195分 ii1xi
七、(8分)一个复杂的系统由100个相互起作用的部件所组成,在整个运行
期间每个部件损坏的概率为0.10,为了使整个系统起作用,至少必须84个部件正dlnL()n212nn1的最大似然估计量为=2n 5分 常工作,求整个系统起作用的概率.
令
di1x0ii1xi,解得
n1i1X解:设X表示正常工作的部件个数,则X~B(100,0.9),由棣莫弗-拉普拉斯定理,
i
X-1000.9 1000.90.1近似服从N(0,1)分布, 4分
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