2017-2018概率论与数理统计期末试题(A)答案

中国矿业大学(北京) 2017-2018 学年 第1 学期

2的无偏估计，则c_______

12(n1)___________

《概率论与数理统计》试卷（ A 卷）答案和评分标准

9、设随机变量X和Y相互，且都服从正态分布N(0,32)，而X1,X2,X9和

一、填空题（每小题3分，共30分）

Y1,Y2,,Y9分别来自正态总体X和Y的简单随机样本，则统计量

1、设A,B为两个事件，P(A)0.4,P(B)0.8,P(AB)0.5，则

P(B|A____0.75__________ )Y=X1+X2++X9Y2+Y212++Y2服从____t(9)________分布

92、设随机变量X在(3,3)上服从均匀分布，关于t的方程4t24XtX20有10、设总体X~N(,2)，抽取容量n16的样本x1,x2,,xn，经计算得均值

实根的概率为______

12_________ x5.2,样本标准方差s2,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为

3、设随机变量X的概率密度函数为fX(x)，则随机变量Y3eX的概率密度函数

_____(4.134,6.266)____________

y二、(10分)设工厂A和工厂B的产品次品率分别为1%和2%．现从A和B的产为f(y)_____fXln31y,0yY___________

品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品属于工0,其他厂A生产的概率．

4、如果随机变量X在(0,10)上服从均匀分布，现在对X进行4次重复观测，解：设事件A表示产品来自工厂A，事件B表示产品来自工厂B，事件C表示抽取至少有3次观测值大于5的概率为____

5到的产品是次品，则

16__________ 5、设随机变量X服从参数为(0)的泊松分布，且E[(X1)(X2)]1，则

P(C|A)1%，P(C|B)2%，P(A)60%，P(B)40% 5分

______1_________

从而P(A|C)P(A)P(C|A)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)60%1%60%1%40%2%37 5分

6、设随机变量X,Y相互，且都服从参数2的指数分布，则

P{max{X,Y}2}_____(1e1)2_________

7、设随机变量X的方差为2.5，由切比雪夫不等式估计概率

P{|XE(X)|7._

___52 45_______ n18、设总体X~N(,2)，X 1,X2,,Xn是该总体X的一个样本，c(Xi1Xi)2为

i1

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………..………………………….… …………………………………….

三、(12分)学生完成一道作业的时间X是一个随机变量，单位为小时．它的概率

密度函数为

12cxx,0xf(x)2

其他0,时被积函数不为零 2分

（1）确定常数c；（2）写出X的分布函数；（3）试求出在20分钟以内完成一道

0,z0zfXY(z)e(zx)dx0z1 3分

01e(zx)dxz10……：…号线…学… … … … … … …… … …：……名…姓… …… … … 订… … … ……：…级… .…年………业 ……专 …… …… …… …… …… …… …… …… …… 装… … … … … …… ……：：…线院号…………学学…… …… …… …… …… ……… … … ……：…名……作业的概率．

…线解：（1）由概率密度函数的性质

……1……12f(x)dx0cx2xdxc1…248 ……解得c21 4分

…………（2）由f(x)21x2x,0x12，则

……0,其他……………x0…0封…F(x)xf(t)dtx21t2t3x20x1…2 4分 0dt7x2…...……1x12 ……….……（3）P(X1)F(117……33) 4分 …………四、(10分)设X,Y是两个相互的随机变量，其概率密度函数分别是…………………………f1,0x1X(x)…….0,其他 fey,y0Y(y) .0,其他……密….求随机变量ZXY的概率密度函数．

……..….……解：由卷积公式

………线f……XY(z)fX(x)fY(zx)dx 3分

………………易知仅当……0x1……zx0 即 0x1xz

…………………………即f0,z0zXY(z)1e0z1 2分 ez(e1)z1五、(10分)设(X,Y)具有概率密度为f(x,y)6xy2,0x1,0y1, 0,其它（1）求边缘概率密度fX(x),fY(y)，并判断X,Y是否； （2） 求条件概率密度fXY(xy)．

解：（1）f1206xydy2x0x1X(x)f(x,y)dy

0其他1fy)f(x,y)dx6xy2dx3y200y1Y( 0其他显然，f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X,Y相互 6分（2）当0y1时，fy)f(x,y)2x,0x1XY(xfy)0,x取其他值 4分 Y(

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.… ….… …… …… …… …… ………… …… …… …… ….… .… ………… ：…………号…线学……线… …… …… …… … … …… ………… …… ……：……名……姓………… ………… … … …… … 订…… 封… ……… ……：…...…级……年………业………专…… … …… … … …… … … …… … … …… … … …装 … 密. …… ..… .…：……院…………学……………………………………

六、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

则

P(X84)1P(X84)1PX9084901

f(x,y)3x,0yx10,其他 33220.97724分

（1）求随机变量(X,Y)的协方差cov(X,Y)； 八、(10分)设总体X的概率密度函数为f(x,)2ex3,x0,（2）求随机变量(X,Y)的相关系数． x

0,其他.解：（1）E(XY)xyf(x,y)dxdy1dxx3x2ydy13其中为未知参数且大于零，X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，

0002x4dx310 （1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量．

E(X)dxxf(x,y)dy1dxx3x2dy31x3dx3

0004

解：（1）由于

E(Y)dxyf(x,y)dy10dxx03xydy3210x3dx38

E(X)2x2x0xx3edxx2edx0exd0x， 则cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)3160 5分

（2）E(X2)令X，解得的矩估计量为=X1ndxx2f(x,y)dy1x130dx03x3dy30x4dx5

nXi 5分

i1E(Y2)dxy2f(x,y)dy1dxx3xy2dy1x41（2）似然函数为

000dx5

2nn,n)D(X)E(X2)E2(X)333L()f(x)2exi3,xi0(i1,2,i,

5480

i1i1xi0,其他.2nD(Y)E(Y2)E2(Y)1319 当2,,n)5x时，

L()exi8320i0(i1,2i1x3i，两边取对数

nCov(X,Y)3 lnL()2lnlnx3D(X)D(Y)195分 ii1xi

七、(8分)一个复杂的系统由100个相互起作用的部件所组成，在整个运行

期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少必须84个部件正dlnL()n212nn1的最大似然估计量为=2n 5分 常工作，求整个系统起作用的概率．

令

di1x0ii1xi，解得

n1i1X解：设X表示正常工作的部件个数，则X~B(100,0.9)，由棣莫弗-拉普拉斯定理，

i

X-1000.9 1000.90.1近似服从N(0,1)分布， 4分

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