物理与工程Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．２ ２０１４ 欧拉运动学方程的另一种推导方法 李文略 （湛江师范学院基础教育学院，广东湛江 ５２４０３７） 摘 要 欧拉运动学方程的推导，关键是确定本体坐标系与空间坐标系之间的转换关系．通过 引进方位矢量可以较轻易地得到反映两坐标系转换关系的转换张量，从而能清晰直观 地推导出欧拉运动学方程，而这是有别于传统的推导方法的． 关键词 欧拉运动学方程；方位矢量；转换张量 Ａ ＮＥＷ ＤＥＲＩＶＡＴＩＯＮ ＯＦ ＥＵＬＥＲ ＫＩＮＥＭＡＴＩＣ ＥＱＵＡＴＩＯＮＳ Ｌｉ Ｗｅｎｌｕｅ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｂａｓｉｃ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｚｈａｎｊｉａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈａｎｊｉａｎｇ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ ５２４０３７） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ Ｅｕｌｅｒ ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｓｔｅｐ ｉｓ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｂｏｄｙ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｓｐａｃｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｔｅｍ．Ｉｔ ｉｓ ｅａｓｉｅｒ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ ｔｅｎｓｏｒ ｔｈａｔ ｒｅｆｌｅｃｔｓ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｔｗｏ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｓｙｓｌ ｅｍｓ ｂｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ａｚｉｍｕｔｈ ｖｅｃｔｏｒ．Ｔｈｅｒｅｂｙ，Ｅｕｌｅｒ ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｃａｎ ｂｅ ｃｌｅａｒｌｙ ａｎｄ ｉｎｔｕｉｔｉｏｎａｌｌｙ ｄｅｄｕｃｅｄ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｗａｙ ｔｏ ｍａｋｅ ｉｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ Ｅｕｌｅｒ ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ａｚｉｍｕｔｈ ｖｅｃｔｏｒ；ｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ ｔｅｎｓｏｒ 欧拉运动学方程的推导，关键是确定本体坐 与转轴的方向相一致，可定义矢量（Ａｕ）为坐标系 标系相对于空间坐标系的方位，也就是这两坐标 ，的方位矢量．规定 的正负与矢量Ｕ之间构成右 系之间的转换关系．传统的推导方法是通过寻找 手关系，Ｊ；【与Ｕ为方位矢量（Ａｕ）的两个参数． 并确定方向余弦矩阵来确定坐标系的转换关系， 文献Ｅ５３基于欧拉转动定理以及方位矢量的 从而推导出欧拉运动学方程的ｌ＿】 ］．笔者分别以 定义，定义了转换张量 “欧拉运动学方程”为篇名和关键词在知网搜索了 Ａ 一ｌｃｏｓＡ＋（１一ｃｏｓＡ）ｕｕ—ｆｉｓｉｎＡ （１） 国内近三十年的文献，除了文献Ｅ４７用向量回转法 式中：Ｊ为二阶单位张量，西是用矢量Ｕ构造的升张 推导出欧拉运动学方程之外，没有发现有用其他 量．并推导出了用转换张量Ａ 描述新旧坐标系 方法推导该方程的了．文献Ｅ５３定义了方位矢量和 转换张量，并用转换张量表示新旧坐标系的转换 之间的转换关系式，为 关系．受此启发，笔者将应用转换张量确定坐标系 Ｚ 一以 ＊ ，， ，一Ａ ，，＊ （２） 之间的转换关系，从而推导出欧拉运动学方程． 式中：以 是转换张 的转置张量．文中用＊号 表示点乘． １用转换张量表示新旧坐标系的转换关系 为了下文推导的简洁，将转换张量的定义式 （１）用张量的解析形式写出 设坐标系Ｚ 为旧坐标系，坐标系Ｚ 为新坐标 系，两坐标系的坐标原点相同．根据欧拉转动定 收稿日期：２０１３－ｌ１－１２ 理，新坐标系 ，的方位可以由旧坐标系绕过原点 作者简介：李文略，男，讲师，主要从事基础物理课程的教学与研 的轴转动一个有限的角度 而得到．设单位矢量Ｕ 究，ｐｈｙｓｉｃｓ２（）（］Ｏ９ｅｄ＠１２６．ｃｏｒｎ 物理与工程Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．２ ２０１４ Ａ 一 ｉ ；］ ｃ。ｓ ＋ｃ 一ｃ。ｓ ， ｝ｃ“ ，“ ，“ — ｒ“ “ （１一ｃｏｓ），）＋ｃｏｓ２ “ “ （１一ｃｏｓ ）＋甜 ｓｉｎＸ ｌ “ Ｏ “ Ｊ “ “ （１一ｃｏｓ；ｔ）一 ｓｉｍ］ 一）ｃ，Ｉｌ Ｈ Ｍ （１一ｃｏｓ ）一“ ｓｉｎ “ Ｍ （１一ｃｏｓ１）＋ｃｏｓＸ （１一ｃｏｓ ）一“ ｓｉｎ２ Ｍ （１一ｃｏｓＡ）＋ ’ｓｉｎ２ １）（ 、 “ “ （１一ｃｏｓ２）＋ｃｏｓ），ｌ ｌ “ ｐ（１一ｃｏｓＡ）＋ ｓｉｎ；ｔ “ ’“ 上式中的矩阵为转换张量在坐标系Ｚ 中的伴随矩 阵．矩阵中元素的上标“Ｊ”指明单位矢量“所在的 坐标系，下标指明单位矢量“在所在坐标系下的 分量．例如 表示的是单位矢量Ｈ在坐标系 ， 中３７轴的分量． ２欧拉运动学方程的推导 设作定点转动刚体的固定点为０点，以０点 为坐标系原点建立两个坐标系：一个固定在空间 的坐标系，称为空间坐标系Ｚ （０一ＸＹＺ）；一个是固 定在刚体上的坐标系，称为本体坐标系 一（０一 ｘｙｚ）．初始时空间坐标系 与本体坐标系 重合，０ ～ 一一 刚体定点转动的方位可以用本体坐标系Ｚ 相对空 间坐标系 的取向来表明．根据欧拉转动定理，本 体坐标系 的方位可以通过空间坐标系Ｚ 按下面 三个次序的连续转动来获得（图１）．转动的次序可 用以下方式表示 Ｈ２ 图１ 空间坐标系的三次绕轴转动 （Ｙ１，Ｙ２轴未画出） 空向坐标系 二坐标系 一０坐标系 二 （Ｏ－ＸＹＺ） （【 ｌＹｌ ｚＩ） （ ２Ｙ２ ２） 本体坐标系 （３） 空间坐标系Ｚ 绕ＯＺ轴旋转 角到达坐标系 （０一ｚ Ｙ ｚ ）的位置，再绕ｚ 轴转动 角至坐标 系）（ｚ（０一．３Ｃ ｚ ｚｚｚ）的位置，最后绕ｚ：轴转动 角到 达本体坐标系 （０一ｘｙｚ）的位置．三个角度坐标： 为进动角， 为章动角， 为自转角，统称为欧拉 角．要唯一确定刚体的方位，欧拉角的取值范围 为：Ｏ≤￣＜２ｒｒ，０≤ ≤７ｃ，０≤￣＜２ ７ｒ． 根据方位矢量的定义，可知坐标系 相对于 空间坐标系Ｚ 的方位矢量为（Ｃｕ ）．单位矢量Ｈ。 在坐标系Ｚ 中三个分量为：“ ”一０，“ ”一０， ”一１．代入式（３）中，可得空间坐标系Ｚ 与坐标 系 之间的转换张量为 ｒ ｃｏｓ￣ ｓｉｎｅ ｏ７ Ａ ，ｌ一］ｃ１ Ｉ—ｓｉｎ￣ｂ ｃ。ｓ ０ Ｉ）（ ’ （４） ｌ ｏ ０ １Ｊ 坐标系Ｚ 相对于坐标系 的方位矢量为 （Ｏｕ ）．单位矢量Ｕ 在坐标系 ：中三个分量为： “ 。 ＝＝＝１， ＝＝＝０，“ 一０．代人式（３）中，可得坐标 系 与坐标系 之间的转换张量为 厂１ Ｏ Ｏ ］ Ａ ｌ，２一Ｚ２ ｌ ０ ｃｏｓＯ ｓｉｎＯ ｌ Ｚ （５） ＿０ 一 ｉｎ 。 ６ｌＪ 坐标系Ｚ 相对于坐标系Ｚ：的方位矢量为 （ Ｈ。）．单位矢量“。在坐标系 中三个分量为： Ｍ 一０，Ｍ 一０，“ 一１．代入式（３）中，可得坐标 系Ｚ。与本体坐标系 之间的转换张量为 ｒ ｃｏ ｓｍ ｏ７ 以２，６一 ６ ｌ—ｓｉｎ ｏ ０ ｌ（６） ｌ ０ ０ １Ｊ 由式（２）中的第一个等式，可得空间坐标系 与本体坐标系 的转换关系为 物理与工程Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．２ ２０１４ Ｚ 一Ａ ， ＊Ｚ 一 一， ＊Ｚ ＝＝＝Ｚ ， —Ｚ ， Ｚ ＊ ｆ ，ｚ ， １．２ （７） Ａ １，２＊Ｘ２ ｇ，１一）ｃ２ １，２］ｃ ＊）ｃ２ ｇ，１ Ｚ２ ｌ，。 ，ｌ＝＝＝以２，６＊ ｌ，。 ，ｌ 一 一由式（７），可知空间坐标系Ｚ 与本体坐标系Ｚ 之间 的转换矩阵为 一 一 ｓｃ ｉｎ９ 匠 ：０ ｓｉ量ｎ０ ｏ莒ｓ￣ｎ ｒ ｃｏｓ￣ｃｏｓ９一ｓｉｎ￣ｃｏｓ０ｓｉｎｑ￣ ｓｉｎ￣ｃｏｓｃｐ＋ｃｏｓ￣ｃｏｓ０ｓｉｎｑ￣ ｓｉｎ０ｓｉｎ ］ 一ｌ—ｃｏｓＣｓｉｎ９一ｓｉｎ￣ｃｏｓ０ｃｏｓ９一ｓｉｎＣｓｉｎ９＋ｃｏｓ￣ｃｏｓＯｃｏｓ９ ｓｉｎＯｃｏｓ９ Ｉ （８） Ｌ ｓｉｎ￣ｂｓｉｎ０ 一ｃｏｓ￣ｓｉｎ０ ｃｏｓ０ ｊ 空间坐标系 和本体坐标系Ｚ 用单位基矢量 将式（８）、式（９）代入式（７）中，并进行一般的 的矩阵形式写出 矩阵运算，可以得到空间坐标系与本体坐标系坐 Ｚ 一（ｆ，Ｉｊ『， ），Ｚ６一（ｆ ，Ｊ ，忌 ） （９） 标系单位基矢量之间的转换关系为 －ｋ—ｆ，一 （ｉ ｓｉ ｎ０ｓｉｓ。ｉｎｓ ￣ｎｇ＋．ｃ。ｏ ｓ兰９ ｃｊ＋， ｓｉ； ｉｏｎＯｃｏｓ９＋ ｃｏｓ０ ｎｓ ￣ｃ。ｏｓ Ｏｓｉｎ圣９ ）Ｊ二一 （ ｓ，（ ｃｏｉｓｎＣｓｉｎ９ ｃ＋一 ｓｉｏｎｓ￣ｃｏｓ０ｃｏｓ９ｇ））ｃ＋一 ｝ｋ ＇，ｓｉｏｎｓＣｓｓｉｎ０ ｃｊ （ １０） 现在寻找单位矢量 在本体坐标系 中的 解析表示．单位矢量ｌｌ 在坐标系Ｚ 和本体坐标系 一 ｛ ｝ 一ｌ 一ｆ ＣＯＳ￣Ｏ 一一－，， ’ ｓｌ ｎ｛ｏ （１４） “ 一 ｚ｛ ｝一ｚ ｛ ；｝一 ｚ ｛ ｉ｝ｃ 刚体在空间中作定点转动的角速度∞可用欧 拉角表示出来．刚体三次绕轴转动的角速度分别 式中 、 、 分别表示单位矢量“ 在本体坐标系 为 “ 、 Ｈｚ、 ｌｌ。．根据角速度的矢量合成法则＇冈０ 中三个对应坐标轴上的分量； 是坐标系Ｚ。与 体做定点转动的角速度为 叫一 ｌｌ１＋ Ｈ２＋ ｌｌ３ （１５） 由图Ｉ可知：“ 一 ，“。一 ．将这两个关系、式 由式（６）可知伴随矩阵盈， 的具体形式，并将 （１０）的第三个等式和式（１４）代人式（１５）中，整理 得到角速度 为 － ｓｉｎ｛？ ｝ 一Ｚ （０ｃｏｓ９＋ＣｓｉｎＯｓｉｎ９）＋ １一（｝ｓｉｎ０ｃｏｓ￣～０ｓｉｎ９）＿＿ ｆｃｏ ｆ。。 ：一ｓｉ一 ｎｇｕ １１ （＆ｏｓ０＋ ） （１６） 一｛ｓｉｎ 斗Ｉ ｃｏ “ ｝ （１２） 上式改写为角速度叫在本体坐标系Ｚ 中的分量式 ｌ “ Ｊ ∞ 一￣ｓｉｎＯｓｉｎ９＋Ｏｃｏｓ９１ Ｕ 一 ｃｏｓ￣ｏ ， ， “ “ 一一一 ｓｌｎ￣‘ ｏ ， “ｚ＝：“ ：： ０ Ｕ （１３１） 一Ｃｓｉｎ０ｃｏ —Ｏｓｉｎ９｝ （１７） 将式（１３）代人式（１１）中取第二个等号关系，可得 一５２ｌｃｏｓ臼＋ ｊ 到单位矢量“ 在本体坐标系Ｚ。中的解析表达 式（１７）是用三个欧拉角 、 、 以及广义速度 、０ 和 表示的角速度∞在本体坐标系Ｚ 中的分量式， 物理与工程Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．２ ２０１４ 即为在本体坐标系；ｃ 中的欧拉运动学方程． 角速度∞在空间坐标系Ｚ 和本体坐标系 中 用矢量的解析形式写出 Ｌ叫 Ｊ ｆ— 意 ＿—一—ｃｓｏｉｎｓＣＯｓｉｎｓｑ￣ｉｎ＋。—Ｏｃｓｏｉｓｎ￣ ｃｏｓＯｃｏｓｑ￣ ｉｎ １ ｓｉｎ Ｏｃ。ｏ。ｓ ｐ －＋ Ｏｓｉ“ 一 ｓｉｎ ｓｉｎ ］Ｊ ＣｓｉｎＯｓｉｎｑ￣＋ ｃ。 （１９） 对式（１９）进行一般的矩阵运算，整理可得 依据方位矢量和转换张量的定义，通过确定三次 ６０ 一Ｏｃｏｓ￣４－ ｓｉｎＯｓｉｎＯ １ 定轴转动的转轴即能确定空间坐标系和本体坐标 ． 『 系之间的转换关系，从而推导出欧拉运动学方程， 一Ｏｓｉｎ￣一￣ｃｏｓＣｓｉｎＯ｝ （２０） 这要比用传统的方法形象直观． 一 ＋＠ｏｓＯ Ｊ 参 考 文 献 式（２Ｏ）即为角速度∞在空间坐标系 中分量式， 即为在空间坐标系 中的欧拉运动学方程．至此，将 ［１］李俊峰，张雄．理论力学［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２ＯｌＯ： 式 刚体定点转动的欧拉运动学方程已推导完毕． ４６－４８． 一 ［２］沈惠川。李书民．经典力学［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出 ， Ｚ 式 版社，２００６：３８—４１． ３结语 、三 Ｅ３３吴大猷．古典动力学［Ｍ］．北京：科学出版社，１９８３：５８ ５９． 一 代 人 ［４３尧国庆，邱声书．推导欧拉运动学方程的向量回转法［Ｊ］．大 确定方位矢量的两个参数，由式（３）即能确定 学物理。１９８５（７）：１２． 空间坐标系和本体坐标系之间的转换张量，从而 式 ［５］李洲圣，唐长红．三位空间张量分析的矩阵方法［Ｍ］．北京： 航空工业出版社，２０１０：３２—３４． 能确定这两坐标系的转换关系，这是推导欧拉运 ■ 动学方程的关键．根据欧拉定理，刚体定点转动后 一 冲 的方位，可以通过刚体三次连续定轴转动来确定．得 到 丁 ６ （上接第３６贞） ∞ 、．。．．．．．．．，．．．． 、，大规模也不等于无功功率．因此，认为无功功率是 Ｅ２３吴大正．电路基础［Ｍ］．５版．西安：西安电子科技大学出版 一端口网络内部与外部能量交换的最大规模的观 社，２００７：１６９－１７１． 点是有歧义的．有的教材将其解释为电感瞬时功 ［３３张维玲．电路分析基础［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００６： １０６—１０９． 率的最大值 ］，不具有普遍意义．教材＿５ 将无功功 ［４］秦曾煌．电工学（上）［Ｍ］．６版．北京：高等教育出版社， 率解释为“衡量由储能元件引起的与外部电路交 ２００３：１１３． 换的功率”其定义也不明确． Ｅｓ］邱关源．电路［Ｍ］．５版．北京：高等教育出版社．２００６： ２３３—２３８． 参 考 文 献 ■ ［１］单潮龙．电路［Ｍ３．北京：国防工业出版社，２００７：１５１—１５７