面积法证明余弦定理

以下资料引自：

张景中、彭翕成所著《绕来绕去的向量法》和《仁者无敌面积法》。

面积解释

如图9，以△ABC的三边为边长向外作三个正方形，ACB90，CNIH交AB于K。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证EABCAH(最好是将CAH看作是

EAB旋转而成)，进而可得SACDESAHNK；同理SBFCGSKNIB，所以直角三角形斜边上的正方

形面积等于两直角边上两正方形面积之和。

2此处还有一个副产品：SACDESAHNK等价于ACAK*AB，无需用到相似，轻松可得射

影定理。

图9 图10

假若不是直角三角形呢？如图10，△ABC的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，而且两两相等，SBFMJSBLPEaccosB，SMGCJSCHNKabcosC，SKNIASLADPbccosA，则

b2c22bccosAaccosBabcosC2bccosAa2，轻松可得余弦定理。

例1：证明余弦定理。

勾股定理只是对于直角三角形成立，很有必要将之推广到一般三角形的情形，这样在使用的时候才方便。在第一章中已经介绍了面积法证明余弦定理了，下面再介绍三种面积证法。

证明勾股定理主要用到平移，而证明余弦定理则可能需要用旋转。

余弦定理证明1：如图1，将△ABC绕点B旋转一个较小角度得到△DBE，则

ABCDBE；由面积关系得SAECD1AC*DEsinSABDSDBCSCBESABE，即2

1111AB*DBsinDB*CBsin(B)CB*EBsinAB*EBsin(B)2222，

12111bsinc2sinac(sinBcoscosBsin)a2sin222即2

1ac(sinBcoscosBsin)2222，化简得bc2accosBa。

图1 图2

如果认为证法1较麻烦，也还有简单的证法。

余弦定理证明2：只要注意到SBIHCSFHGEabcosC，ABCEDGAEFBDI，立马

222可得cab2abcosC。

余弦定理证明3：如图3，在△ABC中，设三边长度为a，b，c，在AB边上取点E，

b2a2abAEBDCDCEc；c；c ；使得在AB边上取点D，使得易得△AEC∽△CDB∽△ACB，

由SABCSAECSEDCSDBC得

11b2ab1ab21a2ababsinCsinC()sin(CAB)sinC22cc2c2cc，

222化简得cab2abcosC。

图3

在作者所著《从数学教育到教育数学》一书中，还介绍了几种用面积法证明余弦定理的证法，有兴趣的读者可查阅。

在以上三种证法当中，证法2无疑是最美妙的，完全达到无字证明的境界。所谓无字证明，是指不用或用少量文字说明就能解释一些数学定理。国外研究者甚多，称之为proof without words。

向量数量积

我们现在要强调向量数量积的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。而abba，所以ab又可以等于：b的长度与a在b方向上的投影的乘积。通俗说来，就是a与b，谁往谁身上靠都可以！

22一些资料都指出了(ab)ab2ab暗藏余弦定理，但没有进一步的研究。在实数

222(ab)ab2ab。在向量运算中，如何构造图形说明运算中，我们容易构建图形说明

2(ab)2ab2ab呢？

22如图1，以△ABC三边的三边为边长向外作三个正方形，三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，由abba得BABCBA*BLBJ*BC，即SBFMJSBLPEaccosB，同理

SCJMGSCHNKabcosC，

SAKNISADPLbccosA，则

b2c22bccosAaccosBabcosC2bccosAa2。

注意到J、C、A、L四点共圆，这说明向量数量积还暗藏圆幂定理。所以说，别小看

abba，不是简单交换顺序那么简单，中间值得研究的东西多着呢！

图1

面积法与勾股定理

以下资料引自： .................................................................................................................................................................. 1 面积解释 .............................................................................................................................................................................. 1 向量数量积 .......................................................................................................................................................................... 4 面积法与勾股定理 .............................................................................................................................................................. 5 1面积法的源起 ................................................................................................................................................................... 5 2勾股定理的拼摆证法 ..................................................................................................................................................... 10 3勾股定理的分割证明 ..................................................................................................................................................... 15 4 赵爽弦图的应用 ............................................................................................................................................................ 18

1面积法的源起

利用面积关系来说明数学中的某些恒等式、不等式，或证明某些定理，这是一个古老而又年轻的方法。

说它古老，是因为：早在三千多年前，在几何学还没形成一门系统学科时，人们已经会用这种方法来解决某些问题了。

说它年轻，是因为：直到今天，人们并没有给它足够的重视，因为这种方法的潜力远没有得到发挥。它广泛的、五花八门的用途，虽然已经逐步被各种竞赛教材所吸收，但还很少在正式的教科书、教学参考书和各种学生读物中得到系统的阐述。

几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要。翻开任何一本关于数学史的通俗读物，差不多都记载着这样的故事：在古埃及，尼罗河每年定期泛滥。洪水带来了尼罗河肥沃的淤积泥土，这让人们在干旱的沙漠地区种植农作物提供了很好的条件。随之也带来了一个问题，因为洪水在带来肥沃土壤的同时，也抹掉了田地之间的界限标志。洪水消退后，人们要重新画出田地的界限，这就必须丈量和计算田地的面积。年复一年，这就积累了最基本的几何知识。

这样看来，从一开始，几何学就和面积结下不解之缘。英文中的“几何”——“Geometry”，这个单词的字头“Geo-”，便含有土地的意思。

利用面积关系证明几何定理，最早的例子是勾股定理的证明。勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，历史悠久，证法繁多。千百年来对它的探讨从未停止过，人们不断提出新的证法，其中有著名的数学家，也有业余的数学爱好者；既有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。

图1-1和图1-2都是勾股定理的经典证明。图1-1取自趙爽（三国时代人，生活于公元3世纪）注《周髀算經》（1213年宋版），此证法一般被称为赵爽弦图证法；图1-2取自徐光启、利玛窦合译的《几何原本》，该证法一般被称为欧几里得证法。

图1-1 图1-2

2002年8月20-28日，世界数学家大会在北京召开。大会所使用的会标就是赵爽弦图(图3)。

图3 图4

勾股定理相当重要，被称为是几何学的基石。经过不断探索研究，据说到现在，已经有400多种证法了，无疑成为数学中证法最多的定理。

勾股定理被发现之后，数学家们除了不断寻找新证法，也在寻找应用。

勾股定理的一个直接应用就是希波克拉底发现了月牙定理。如图4，直角三角形的面积等于两个月牙面积之和。

就是这么一个简单的图形，掀起了很大的风波，误导了很多数学爱好者。

月牙形是曲线形，直角三角形是直线形，直线和曲线是如此地不同，因此很容易使人产生错觉，似乎直线形的面积是不可能等于曲线形的面积的。然而正是希波克拉底的这个月牙图形，证明了直线形的面积是完全可能等于曲线形的面积的。这在当时，数学发展的初期，对开阔大家的眼界，有着极大的意义。同时，月牙图形的出现也让很多数学研究者，包括希波克拉底在内，陷入了一个死胡同，他们“坚信”化圆为方问题是可以实现的。其实，希波克拉底只是解决了化月牙形为方这一特殊情况，而该方法很难推广解决直线形图形和曲线形图形等面积转化的一般情况。

古代数学，不管是东方还是西方，都擅长用几何图形来说明问题。这可看作是无字证明（without words proof）的源头。很大程度上，是由于当时代数研究很不系统，缺乏能够方便使用的符号工具。图5是月牙定理的图形证明，多个小图片连在一起，生动再现了面积转化的过程，十分直观。如果利用现代信息技术，譬如用超级画板作成动画形式，或以gif格式的动态图片展示，则更有趣了。

图5

面积割补的证明大多可以如此处理。图6和图7也是将多幅小图片连在一起，构成勾股定理的动画证明。这两种证明多次用到了等底等高平行四边形面积相等。

图6

图7

而化圆为方问题实质上等价于用直尺圆规作出线段π的问题。1882年，法国数学家林德曼证明了π是超越数，而尺规作图所能完成的线段是代数数，所以化圆为方问题是尺规作图所不能完成的。

但假若不受尺规作图的限制，化圆为方问题并非难事。如图8，将一个半径为R的圆作一滚动，得到的正方形面积与之相等。设正方形的边长为a，根据射影定理可得

a2R*RR2。

图8

勾股定理证明很多，但多数来之不易， 可谓是古今中外数学爱好者集体智慧的结晶。很多的巧证，都是冥思苦想而成。本书中，我们会给出两种批量生成勾股定理证明方法，

一种是拿两个三角形拼摆，另一种则需借助计算机（见24章），所得证法之多，让人惊讶。

2勾股定理的拼摆证法

如图9，以△ABC的三边为边长向外作三个正方形，ACB90，CNIH交AB于K。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证EABCAH(最好是将CAH看作是

EAB旋转而成)，进而可得SACDESAHNK；同理SBFCGSKNIB，所以直角三角形斜边上的正方

形面积等于两直角边上两正方形面积之和。

2此处还有一个副产品：SACDESAHNK等价于ACAK*AB，无需用到相似，轻松可得射

影定理。

图9 图10

假若不是直角三角形呢？如图10，△ABC的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，而且两两相等，SBFMJSBLPEaccosB，SMGCJSCHNKabcosC，SKNIASLADPbccosA，则

b2c22bccosAaccosBabcosC2bccosAa2，轻松可得余弦定理。

若将图10加以变化，深入探究，还会有新的收获。

如图11，从点D出发向斜边AB作垂线段。显然可以从图11中抽取出图12，由作图可知DKAB，易证ABCDLC，BCLC；由面积关系得Sa2b2c2。

BCLSACDSALBD化简即得

图11 图12

这一证明应该引起我们的重视和反思。勾股定理研究的是直角三角形三边之间的关系，这一关系与直角三角形的三边上是否存在正方形无关，而长期以来我们却不自觉地由数的方（平方）联想到形的方（正方）。去掉正方形，从图11中抽取出图12，图形显得简洁多了，其本质可看作是将△ABC绕点C旋转90得到。

如果我们用动态的眼光看图12，则会得到更多的证明。

考虑到看图的习惯，首先将图12转变成图13的形式，其本质是一样的。如图13，将Rt△ABC旋转90得到Rt△CDE，由SECBSACDSBEAD222得abc。（注意：此处涉及凹

四边形面积计算，若一时不习惯，可多走一步：延长AB交DE于K，则

SBEADSEADSEBD111ED*(AKBK)ED*ABc2222）

将图13中的Rt△CDE平移EC，得到图14，由SCDBSCADSCADB222得abc。

图13 图14

将图14中的Rt△CDF再平移一点，得到图15，由SEFBSFADBSEADB222得abc。

图15 图16

将图13中的Rt△CDE平移CA，得到图16。则SABESABDSADBE222，即abc。

将图13中的Rt△CDE平移EA，得到图17。图17就是通常所说的总统证法，也可看作是赵爽弦图证法的取半。

图17 图18

图18是赵爽弦图，此图其实包含了勾股定理的两种证法。把图18中外部的正方形

1AB24*AF*BF(AFBF)22去掉得到图19。对于图19，常规的证明是，化简得

AB2AF2BF2。从另一个角度来看，因为

SCDGSABG1SABCD2，所以

111CH*DGAG*BFAB2222222，即ABAFBF。这一证明的好处就是无需用到平方和公式，

小学生都能接受。

对

SABD于

ADG图

BDG19

ABG，

ADG我

FDG们

ABG还

SADF可

SABG以，即

这样分析。

SSSSSS111AB2AF*DGAG*BF222222，即ABAFBF。

图19 图20

将图19中的Rt△AGD平移一点，得到图20，由STACSa2b2c2。

BRSSTASSTSCSBRSSTARB得

将图20中的Rt△RST再平移一点，使得S与C重合，得到图13。这就说明欧几里得证法和赵爽弦图证法本质上都可以看作是两个直角三角形拼摆而成，东西方两种经典的证明由此联系，合为一体。

这说明，证明勾股定理并不需要花心思构造太复杂的图形。拿两个完全一样的直角三

角形拼摆，再根据面积关系就能简单证明了，而且证法是多种多样的。

直角三角形的三边符合勾股定理，这本是一个天然的性质，却需要另外一个自我才能证明。就好像有人寄东西给你，当你去邮局取时，自己却不能证明自己的身份，此时身份证就成了你的另一个自我。

下面再给出勾股定理的两种拼摆证法。

12111ca(ba)abb2222，所以a2b2c2。 如图21，2a2b2BB'A'Dbc，C'B'CB如图22，作，，由SAB'BA'S222abc所以。

AB'C121a21b2cbcSABA'22b2c得，

图21 图22

3勾股定理的分割证明

图23——25都是勾股定理经典的分割证明。这些证明无需文字说明，一看即明。

图23

图24 图25

勾股定理的证法繁多，让人目不暇接。那到底这些证法怎么想出来的呢？这真的称得上是数学考古的难题。因为只有极少数证法在数学史上有极简略的记载，大多数证法的作者是谁，都已经无法考究，更何况还原当初作者的想法。

在初等数学的探究中，重复发现是不可避免的。重复发现时的想法或动机可能与最初发现者有所不同，但如果真实记录下来，若干年后，可能也能给人一点启发。

本书作者注意到：绝大多数分割法证明勾股定理，都是在以直角三角形三边为边，向外作三个正方形之后再分割，图23～图25皆是如此。作者曾思考：可能是正方形朝内，会造成图形重叠，所以一般都是朝外。但正方形朝内，行不？

图26中的三个正方形都是朝三角形内部。初看起来，难以证明勾股定理，而探究后发现，存在简单证明。如图27，受欧几里得证明的启发，过C作垂线交AB、ED于J、K。易证EACBAF，或将△BAF看作是△EAC顺时针旋转90得到，所以SSAJKESAFGCEACSBAF，

。同理可得SDBCSABISHBI，SJBDKSIBCH。所以SABDESAFGCSIBCH。

图26 图27

这说明：正方形重叠的担忧是多余的。若把图27中的两个小正方形换转一下方向，可得图28，证明一样，图形显得更自然。究其本质，图28或是一些资料提供的图29，是相通的。

图28 图29

如果认为图27的证明需要用文字，不如图29“无字胜有字”，我们也可以稍加变化，得到图30的无字证明。

图30

此探究最大的意义不在于提供几种新证法，而是想说明：当我们遇到一些感觉上不太合理的约束时，是否想想，这个规定，一定要照做么？否则，又会怎样？

4 赵爽弦图的应用

赵爽弦图是经典的勾股定理构图，值得深入探究。在古代中国的数学典籍中，就有用赵爽弦图来解方程的记载。

x1x2a求解x1x2b。

aa24baa24bx1x2(x2x1)2a24bx1x222解:如图31，设，则，从而，。

图31 图32

例1:有一个长方形，长与宽的比是5:2，对角线长为29，求这个长方形的面积。

2222(5x)(2x)295x2x初中解法: 设长方形的长和宽为、，则，解得x29，那么

(5x)(2x)10x2290。

小学解法:用四个完全一样的长方形拼成弦图形式(图32)，此时图中出现了一个边长为29的正方形ABCD，

SABCD292。注意到条件DD2:AD25:2，把DD2看成5份，AD2看成2

份，那么长方形AD1DD2面积是5*210个面积单位。直角ABC是5个面积单位，正方形

A1B1C1D1是:(52)*(52)9个面积单位，正方形ABCD是:5*4929个面积单位。一个面积

2单位是:292929。所以长方形AD1DD2面积是29*10290。

例2:如图33，从一个正方形的木板上锯下宽为0.5的长方形木条后，剩下的长方形面积为5，问锯下的长方形木条面积是多少?

2初中解法: 设正方形边长为x，则x50.5x，解得x2.5，S2.5*0.51.25。

小学解法: 如图34，中间小正方形的边长等于原长方形长与宽之差:0.5，那么整个大

225*40.520.254.5正方形面积等于，原长方形长与宽之和为4.5，所以长为2.5，宽为2，

锯下的长方形面积为: 2.5*0.51.25。

图33 图34

例3:用同样大小的长方形纸片摆成如图35所示，已知纸片的宽是12，求图中阴影部分面积。

图35

解：显然我们需要求出纸片的长。而从第一行和第二行容易看出5个长等于3个长加

312*182S(1812)*3108。 23个宽，也就是2个长等于3个宽，所以纸片长为，

例4:如图36，正方形边长为10，线段AB的端点在这个正方形的两条邻边上。在点A下面3处作水平线，在点B左边2处作垂直线，分别与对边相交得到C，D。求四边形ABCD

的面积。

图36 图37 图38

可以采用设未知数的方法。如图37，设立未知数，则

1111SABCD100xy(10y)(x3)(8y)(13x)(y2)(10x)532222。

仔细观察之后，我们发现还有更简单的解法。如图38，将四边形ABCD进行分割，发现四边形ABCD比正方形的其余部分多出一个矩形面积，这个矩形长、宽分别为3、2，面积为6，所以SABCD(1006)/253。

例5：如图39，ABCD是等腰梯形，它的上底AD＝23，下底BC＝35，CDEF是正方形，求△ADE的面积。

图39 图40

解：欲求SADE，则需要知道三角形的底和高，底的长度已知，只要求出高即可。如图40，作EGAD。此时补全弦图，则容易看出DGEDHC，GEHC。又根据等腰梯

111HC(3523)6SADEAD*EG*23*669222形的性质，可以求得：，则。

例6:从勾股定理到正弦定理

222abc勾股定理的代数表示形式是，从数的“方”（平方）联想形的“方”（正方），

人们不难想到要以RtABC的各边作正方形ABDE，CBFG和ACHI，于是有

SABDESCBFGSACHI。这个图形太常见，太普通了，我们可以作点变化，适当加点东西，譬如

将EI，HG，FD三条线段连接起来（图41）。

图41 图42

在图41中，观察图形中的面积关系，很容易看出SABCSHCG。我们是不是可以猜想，

有更多的三角形面积相等呢？譬如SABC与SBDF是不是相等。根据直角三角形面积公式

S1ah2，由于ABDE是正方形，可以考虑两三角形分别以AB和BD为底边，作出对应的高

线CJ和FL即可，而这两条边的相等又可转化为证明CJBFLB（图42）。由于JBCLBF（与同角互余的两角相等），易证CJBFLB。同样地，可以证明SSABCABCSAIE。所以

SBDFSCGHSAIE。

如果作更多的垂线段（图43），可以证明RtGPF、RtCNG、RtBMC、RtFLB的面积都相等。图43看起来和“赵爽弦图”有点关系，但又不完全像，因为传统的“赵爽弦图”是在直角三角形斜边所在正方形中的。

其实，要证SABCSBDF，还有一种构图方法（图44），就是分别过点A和D作BC的平行线，分别过点B和E作AC的平行线，四条直线交于M、J、K和L。易证ABC与正方形AEDB中的四个三角形都全等，从而BJBCBF，从而SABCSDBJSBDF。同样地，可以证明SABCSAELSBDF。所以SABCSBDFSCGHSAIE。

图43 图44

需要指出的是，即使ABC不是直角三角形，刚才得出的三角形面积相等的结论也是成立的。证明的过程也一样，细心的读者会发现，在前面的证明过程中，根本没有用到

ACB90这一条件。进一步联系三角形全等的判定定理（SAS）：两边及其夹角可以确定

三角形，从而三角形的面积也是确定的，又因为三角形有三个角，那么由“两边及其夹角”计算面积的公式肯定有3种形式，不过这是高中才学的一个内容。

在例6的启发下，我们可以得到另外两种勾股定理的证明。

如图45，显然五边形ABFJE可看作是五边形HILCK平移HI得到。而SSCGJJDCSAKH，

SILB222，所以abc。

1(a2b)(2ab)a2b2c23ab4*ab2如图46，根据面积关系列方程，化简得a2b2c2。

图45 图46

例7:日本神庙中的题目

在日本古代，常将数学问题刻在神庙的梁柱上，这类问题通常文字很少，主要是用图像说话。图47就是一个例子，它是一个由五块正方形所搭成的庙宇平面图，T与S分别代表所在三角形与正方形的面积，试写出T与S的关系式。

图47 图48

我们首先作出图形，并加上标签。

如图48，点C是直线AB外一点，点D是AB上一点，以CD为边作正方形CDEF，G、H分别是C、E在AB线上的射影，分别以GC、EH为边作正方形GCIL、EHKL，再分别以IF、FL为边作正方形IFMN、FLPQ，求证：

SMFQSCDEF。

图中有一个极其重要的几何关系SGDCSHED，很多题目都用到。

解法1：设JGa，HKb，则

1(ab)(2a2b)2，所以SSIJKLF1a2b2(a2b2)4*ab2，

SIJKLMFQSILFSIJKLFSIJKLa2b2SCDEF。

解法2：如图49，设JGa，HKb，作LTIJ，FRLT，ISFR，则

SMFQSIFLSIFTSTFLSILT111*2a(ab)a(2a2b)(ab)(2a2b)a2b2SCDEF。 222

图49

其实，此题中还隐藏着其他的几何关系。譬如

SIFMNSFLPQ（5SHKLESJGCI）5SCDEF5SMFQ，其证明也不复杂。

IF2LF2(2a)2b2(2b)2a25(a2b2)。