福建省厦门一中2017届高三上学期开学数学试卷(理科)-Word版含解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．若集合A={x|2x＞x2}，B={y|y=2x，x∈A}，则集合A∩B等于（ ） A．（0，2） B．（0，4） C．（1，2） D．（0，+∞）

2．x，y满足约束条件已知a＞0， ，若z=2x+y的最小值为1，则a等于（ ）

A． B． C．1 D．2

3．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x﹣x3的极大值点为b，极小值为c，则ad=（ ） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2

4．下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（ ） A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 5．已知D为△ABC的边AB上的一点，且A．

B．

C．

D．

=

+λ•

，则实数λ的值为（ ）

6．已知A，B为中心在原点，焦点在x上的双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的渐近线方程为（ ） A．2x±y=0 B． C．x±y=0 D． 7．若log2（a+4b）=log2a+log2b，则a•b的最小值是（ ） A．16 B．8 C．4 D．2

8．已知抛物线C：y2=16x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（ ） A．6 B．8 C．10 D．12

9．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下： a∧b=

a∨b=

若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（ ）

A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2 10．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（x）+x•f'（x）＞0（f'（x）是f（x）的导函数），则不等式（x﹣1）f（x2﹣1）＜f（x+1）的解集为（ ） A．B．D．（﹣1，2） （1，2） C．（1，+∞） （﹣∞，2）

11．设实数x，y满足，则xy的最大值为（ ）

A． B． C．12 D．14

12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2） C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2） D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 13．已知函数f（x）=

，则不等式f（x）≥x2的解集为 ．

14．在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是 ．

15．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn=an﹣，若﹣1＜Sk＜2，则正整数k的值为 ．

16．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一会有30%改

选A菜，用an（n∈N*）表示第n个星期一选A菜的人数，如果a1=428，则a8的值为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若点M为BC的中点，且求AM=AC，求

的值．

=

．

18．已知首项为的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=an•log2an，数列{bn}的前n项和Tn，求满足不等式值．19

≥

的最大n

20．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

（Ⅰ）将T表示为x的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望． 21．已知点M（0，2），椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的焦距为2

，椭圆E上一点G

与椭圆长轴上的两个顶点A，B连线的斜率之积等于﹣．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点M的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的直线方程．

22．已知函数f（x）=ex+ae﹣x﹣2x是奇函数． （Ⅰ）求实数a的值，并判断f（x）的单调性； （Ⅱ）设函数g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0恒成立，求实数b的取值范围．

2016-2017学年福建省厦门一中高三（上）开学数学试卷

（理科）

参与试题解析

1.C．2．B 3．D．4．B．5．D．6 C．7.A．8．C．9．C．10．B．11．A 12．A．

13． [﹣2，2] ．14． 6 .15． 2 ． 16．

【解答】解：根据题意可得：设{an}为第n个星期一选A的人数，{bn}为第n个星期一选B的人数，

根据这星期一选B菜的，下星期一会有an+1=an×+×

，

改选A菜，

∴an+1=an+150，

变形为：an+1﹣300=（an﹣300）， ∵a1=428，∴a1﹣300=128，

∴数列{an﹣300}是一个等比数列，首项为128，公比为， 可得a8﹣300=128×

=1．∴a8=301．

故答案为：301．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． 【解答】（本题满分为10分） 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵

，

∴2acosB=ccosB+bcosC，利用正弦定理可得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA， ∵sinA≠0， ∴

．…

∵0＜B＜π， ∴

．…．

（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得：AC2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac， 在△ABM中，由余弦定理得

．…

∵AM=AC， ∴

∴由正弦定理得 18．

【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q，由题知a1=， 又∵S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列， ∴2（S2+a2）=S1+a1+S3+a3，

变形得S2﹣S1+2a2=a1+S3﹣S2+a3，即得3a2=a1+2a3， ∴q=+q2，解得q=1或q=， 又由{an}为递减数列， ∴q=，

∴an=a1qn﹣1=（）n；

（Ⅱ）由于bn=anlog2an=﹣n•（）n， ∴则

两式相减得：

，

，

．…

．

=，

∴∴由

≥

．

．

，解得n≤4．

∴n的最大值为4． 19．

【解答】（Ⅰ）证明：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点， ∴AD=BD=DC， 又∠BAC=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，

∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，

又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD ∴AE⊥平面BCD．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）结论AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF． 由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD．

如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，

由（Ⅰ）知AB=BD=DC=AD=2，BE=ED=1． 由图1条件计算得则AE=

，BC=2

，EF=

， ），F（，

，0，0），C（

，2，0）．

则E（0，0，0），D（0，1，0），A（0，0，则

，

易知，平面AEF的一个法向量为=（0，1，0）．

设平面ADC的法向量为=（x，y，z）， 则

，即

，x=﹣1，

，1）， ＞=

=

，

．

令z=1，得y=

即=（﹣1，∴cos＜，

即平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值为（Ⅲ）解：设∵∴∴由解得

==（

，0，﹣=λ（=（，得∈[0，1]．

，其中λ∈[0，1]． ）， ，0，﹣

），

）， ，

∴在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC且AM：AF=3：4．

20．

【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当x∈[100，130）时，T=500x﹣300=800x﹣39000， 当x∈[130，150）时，T=500×130=65000， ∴T=

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤x≤150． 由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，

所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7． （Ⅲ）依题意可得T的分布列如图， T 45000 53000 61000 65000 p 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400． 21．

【解答】解：（Ⅰ）设G（x0，y0），则

，由条件知，

，

即得．…

又

∴a=2，b=1， 故椭圆E的方程为

．…

，

（Ⅱ）当l⊥x轴时不合题意，故设直线l：y=kx+2，P（x1，y1），Q（x2，y2）． 将l：y=kx+2代入x1+x2=﹣从而

，x1+x2=

得（1+4k2）x2+16kx+12=0，△=16（4k2﹣3）＞0．

，

．

又点O到直线PQ的距离，

∴△OPQ的面积．…

设，则t＞0，．

当且仅当t=2即时取等号，且满足△＞0．…

．…

∴当△OPQ的面积最大时，l的方程为

22．已知函数f（x）=ex+ae﹣x﹣2x是奇函数． （Ⅰ）求实数a的值，并判断f（x）的单调性； （Ⅱ）设函数g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0恒成立，求实数b的取值范围．

【考点】分段函数的应用．

【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性，求出a的值，求出函数的导数，判断函数的单调性即可；

（Ⅱ）求出g（x）的表达式，通过讨论b的范围，结合函数的单调性从而确定b的范围即可．

【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=ex+ae﹣x﹣2x是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）， 即e﹣x+aex+2x=﹣（ex+ae﹣x﹣2x），解得a=﹣1， 因为f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，所以

当且仅当x=0时，等号成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．… （Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x） =e2x﹣e﹣2x﹣4x﹣4b（ex﹣e﹣x﹣2x）

=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）xg'（x） =2e2x+2e﹣2x﹣4b（ex+e﹣x）+（8b﹣4）

=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+4（b﹣1）] =2[ex+e﹣x﹣2][ex+e﹣x﹣2（b﹣1）]．…

①当2（b﹣1）≤2即b≤2时，g'（x）≥0，等号仅当x=0时成立， 所以g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增． 而g（0）=0，所以对任意x＞0，g（x）＞0， ②当b＞2时，若x满足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2， 即

而g（0）=0，因此当

综上知，b的取值范围是（﹣∞，2]．…

时，g'（x）＜0，

时，g（x）＜0，不符合题意，

，