4平面向量线性运算 习题 难

平面向量线性运算 习题

一、选择题（共14小题；共70分）

1. 在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，下列结论中错误的是 (  )

⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣⃗⃗⃗⃗⃗ A. ∣𝐴𝐵𝐴𝐷∣ 一定成立 ⃗⃗⃗⃗⃗ 一定成立 C. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +⃗⃗⃗⃗⃗ B. 𝐴𝐶𝐴𝐷 一定成立 ⃗ 一定成立 ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ D. ⃗𝐵𝐷𝐴𝐷−⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵

2. 设 𝑎 是非零向量，𝜆 是非零实数，下列结论正确的是 (  )

A. 𝑎 与 −𝜆𝑎 的方向相反 C. 𝑎 与 𝜆2𝑎 的方向相同

B. ∣−𝜆𝑎 ∣≥∣𝑎 ∣ D. ∣−𝜆𝑎 ∣=∣𝜆∣𝑎

⃗ +𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 ∣𝑚3. 在平面上有 𝐴，𝐵，𝐶 三点，设 𝑚⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵⃗ =𝐴𝐵⃗⃗ ∣=∣𝑛⃗ ∣，则有 (  )

A. 𝐴，𝐵，𝐶 三点必在一条直线上 B. △𝐴𝐵𝐶 必为等腰三角形且 ∠𝐵 为顶角 C. △𝐴𝐵𝐶 必为直角三角形且 ∠𝐵 为直角 D. △𝐴𝐵𝐶 必为等腰直角三角形

⃗ =(sin𝛼,1)，且 𝑎⃗ ，则 tan𝛼 等于 (  ) 4. 若 𝑎 =(2cos𝛼,1)，𝑏 ∥𝑏

A. 2

B. 2

1

C. −2

D. −2 1

5. 在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，下列结论错误的是 (  )

⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗ A. 𝐴𝐵𝐷𝐶0 ⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 𝐴𝐵6. 下列命题：

⃗ ∣≥∣𝑎⃗ +𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ；④ ∣𝑎 ① ⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵0；②相反向量就是方向相反的向量；③ 𝐴𝐵𝑂𝐴−𝑂𝐵 +𝑏 −⃗ ∣．其中正确命题的个数是 (  ) 𝑏

⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ B. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷−𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ D. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷+𝐶𝐵

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知 𝑂 是平面上的一定点，𝐴，𝐵，𝐶 是平面上不共线的三个动点，若动点 𝑃 满足 𝑂𝑃𝑂𝐴+⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )，𝜆∈(0,+∞)，则点 𝑃 的轨迹一定通过 △𝐴𝐵𝐶 的 (  ) 𝜆(𝐴𝐵A. 内心

B. 外心

C. 重心

D. 垂心

⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点 𝑃 与 △𝐴𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑃𝐶8. 已知 △𝐴𝐵𝐶 的三个顶点 𝐴，𝐵，𝐶 及平面内一点 𝑃 满足 𝑃𝐴的关系为 (  ) A. 𝑃 在 △𝐴𝐵𝐶 内部 C. 𝑃 在边 𝐴𝐵 所在直线上

B. 𝑃 在 △𝐴𝐵𝐶 外部

D. 𝑃 是边 𝐴𝐶 的一个三等分点

⃗ 均为非零向量，下列说法不正确的是 (  ) 9. 向量 𝑎 ，𝑏

⃗ 同向，则向量 𝑎⃗ 与 𝑎A. 若向量 𝑎 与 𝑏 +𝑏 的方向相同

⃗ 同向，则向量 𝑎⃗ 与 𝑏⃗ 的方向相同 B. 若向量 𝑎 与 𝑏 +𝑏

⃗ 反向，且 ∣𝑎⃗ ∣⃗ 与 𝑎C. 若向量 𝑎 与 𝑏 ∣>∣ +𝑏 的方向相同 ∣𝑏∣，则向量 𝑎⃗ 反向，且 ∣𝑎⃗ ∣⃗ 与 𝑎D. 若向量 𝑎 与 𝑏 ∣<∣ +𝑏 的方向相同 ∣𝑏∣，则向量 𝑎

10. 设 𝑀 为平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 对角线的交点，𝑂 为平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 所在平面内任意一点，则

⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 (  ) 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A. 𝑂𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 2𝑂𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 3𝑂𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 4𝑂𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑡𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ∣≥∣𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，则 △𝐴𝐵𝐶 一定为 (  ) 11. 已知 △𝐴𝐵𝐶，任意的 𝑡∈𝐑，有 ∣𝐵𝐴

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 答案不确定

⃗ 满足 ∣⃗ ∣⃗ ∣12. 若非零向量 𝑎 ，𝑏 +𝑏∣𝑎∣=∣∣𝑏∣，则 (  )

⃗ ∣A. ∣2𝑎 ∣>∣ +𝑏∣2𝑎∣ ⃗ ∣⃗ ∣C. ∣ +2𝑏∣2𝑏∣>∣∣𝑎∣ A. 平行四边形

B. 菱形

∣𝑎∣

⃗ ∣B. ∣2𝑎 ∣<∣ +𝑏∣2𝑎∣ ⃗ ∣⃗ ∣D. ∣ +2𝑏∣2𝑏∣<∣∣𝑎∣ C. 矩形

∣𝑏∣

⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 且 ∣⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∣=∣⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，则四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 为 (  ) 13. 四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵𝐴𝐷−⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵𝐴𝐷+𝐴𝐵

D. 正方形

⃗ ⃗ 𝑎𝑏

⃗ 都是非零向量，若向量 𝑝14. 已知向量 𝑎 ，𝑏 =∣⃗ ∣+∣⃗ ∣，则 (  )

A. 0≤∣𝑝 ∣≤√2 C. 0<∣𝑝 ∣≤√2 B. 0≤∣𝑝 ∣≤2 D. 0<∣𝑝 ∣≤2

二、填空题（共4小题；共20分）

15. 与非零向量 𝑎 共线的单位向量可表示为 ．

⃗ ，若 ∣𝑂𝐴⃗ ∣= ． ⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=12，∣𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=5，且 ∠𝐴𝑂𝐵=90∘，则 ∣𝑎16. 已知 𝑂𝐴 ，𝑂𝐵 −𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ =3⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 𝜆= ． 17. 点 𝐶 在线段 𝐴𝐵 上，且 𝐴𝐶𝐴𝐵5

⃗ ≠0⃗ ∣⃗ ∣⃗ 所在直线的夹角是 ． ⃗ ，𝑏⃗ ，且 ∣𝑎18. 若 𝑎 ≠0 ∣=∣ −𝑏 与 𝑎 +𝑏∣𝑏∣=∣∣𝑎∣，则 𝑎

三、解答题（共2小题；共26分）

⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (𝜆∈𝐑)． 19. 已知点 𝐴(2,3)，𝐵(5,4)，𝐶(7,10)．若 𝐴𝑃

（1）试求 𝜆 为何值时，点 𝑃 在第一、三象限的角平分线上；

（2）试求 𝜆 为何值时，点 𝑃 在第三象限内．

20. 某船在静水中的速度为 6 km/h，水流速度为 3 km/h，则它必须朝哪个方向开，才能保证船沿与

水流垂直的方向前进?船实际前进的速度为多少?

第一部分 1. A 2. C 3. C 4. A 5. C

⃗ =(sin𝛼,1)，且 𝑎⃗ ，则 1⋅2cos𝛼=1⋅sin𝛼， 【解析】𝑎 =(2cos𝛼,1)，𝑏 ∥𝑏

所以 tan𝛼=2．

⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ， 【解析】因为 𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗ 所以 𝐴𝐵0，A正确；

⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ，B正确； 因为 𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ −𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C错误； 因为 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷=−𝐶𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗ 所以 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷+𝐶𝐵0，D正确． 6. B 7. C

⃗⃗⃗⃗⃗ −⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )，即 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )， 【解析】由原等式，得 𝑂𝑃𝑂𝐴=𝜆(𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 是 △𝐴𝐵𝐶 的中线 𝐴𝐷（𝐷 为 𝐵𝐶 的中点）所对应向量 ⃗⃗⃗⃗⃗ 根据平行四边形法则，知 𝐴𝐵𝐴𝐷 的 2 倍，所以点 𝑃 的轨迹必过 △𝐴𝐵𝐶 的重心． 8. D

9. D 10. D

【解析】依题意知，点 𝑀 是线段 𝐴𝐶 的中点，也是线段 𝐵𝐷 的中点， ⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴+𝑂𝐶𝑂𝐵+𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 所以 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵+𝑂𝐶11. B

12. C

⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形．因为 ∣⃗⃗⃗⃗⃗ 13. C 【解析】因为四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵𝐷𝐶𝐴𝐷−⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，所以 ∣𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ∣，即对角线相等，所以平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形． ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣𝐴𝐶𝐴𝐵𝐴𝐷+𝐴𝐵14. B 第二部分 15. ±

⃗ 𝑎⃗ ∣∣𝑎3

16. 13 17. −2 18. 30∘

⃗ ， ⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑏【解析】设 𝑂𝐴 ，𝑂𝐵⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则 𝑎 −𝑏𝐵𝐴

⃗ ∣⃗ ∣因为 ∣𝑎 ∣=∣ −𝑏∣𝑏∣=∣∣𝑎∣， ⃗ ∣所以 ∣𝑂𝐴∣𝑂𝐵∣𝐵𝐴∣⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣∣⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=∣∣⃗⃗⃗⃗∣． 所以 △𝑂𝐴𝐵 是等边三角形， 所以 ∠𝐵𝑂𝐴=60∘．

⃗ ，且在菱形 𝑂𝐴𝐶𝐵 中，对角线 𝑂𝐶 平分 ∠𝐵𝑂𝐴． ⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎又因为 𝑂𝐶 +𝑏⃗ 所在直线的夹角为 30∘． 所以 𝑎 与 𝑎 +𝑏

第三部分

⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ， 19. （1） 因为 𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 所以𝑂𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ +𝜆𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝐵 =(5,4)+𝜆(5,7)

=(5+5𝜆,4+7𝜆)(𝑂为坐标原点).根据题意，得 5+5𝜆=4+7𝜆，解得 𝜆=2，

所以当 𝜆=2 时，点 𝑃 在第一、三象限的角平分线上． 𝜆<−1,5+5𝜆<0,

4 （2） 根据题意，得 { 解得 {

𝜆<−7.4+7𝜆<0,所以 𝜆<−1．

所以当 𝜆<−1 时，点 𝑃 在第三象限内．

20. 船沿与与河岸成 60∘ 角且指向上游的方向前进，船实际前进的速度为 3√3 km/h．

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