九年级数学阅读理解问题

【阅读给定材料，理解基本概念，解答相关问题】 1. 阅读下列材料：

在给定的锐角△ABC中，作正方形DEFG，使D、E落在BC边上，F、G落在AC、AB边上，作法如下：

①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形DˊEˊFˊGˊ（如图）；②连接BFˊ并延长交AC于点F；③过F点作FE⊥BC于点E；④过F点作FG∥BC交AB于点G；⑤过G点作GD⊥BC于点D。 解答下列问题：

（1）证明上述所求作的四边形DEFG为正方形；

（2）在△ABC中，如果BC=6+3，∠ABC=45º，∠BAC=75º，求上述正方形的边长。

2. 我们知道，用尺规不能三等分角，借助如图所示的双曲线y1，便可以三等分一个x角了。

（1）请你按照下面的步骤做出∠AOB的三等分线OM（图中OA与双曲线的交点为P）； ①以P为圆心，以2OP为半径作弧交双曲线于R（R在∠AOB内部）；②过点P作x轴的

平行线，过点R做y轴的平行线，两直线相交于点M；再过点P作y轴的平行线，过点R做x轴的平行线，两直线相交于点N；③连接OM。

（2）设点P、R的横坐标分别为p、r，求直线OM 的解析式，并判断点N是否在直线

OM上（说明理由）；

（3）证明：直线OM是∠AOB的三等分线。

3. 如图，△ABC的面积为14，点D、E、F分别位于AB、BC、CA上，且AD=2，BD=5，AF=FC，

如果四边形DBEF的面积等于△ABE的面积。 （1）求证：四边形ADEF为梯形； （2）求△ABE的面积。

下面给出题（1）不完整的证明，请在横线上将证明过程补充完整；题（2）自行解答。

（1）证明；因为四边形DBEF的面积等于△ABE的面积，

故 。设A、F到D、E的距离分别为hA、hB，故 。 又点A、F在A、F的同侧，故AF∥DE。

下面用反证法证明四边形ADFE的另一组对边FE与AD不平行；

假设FE∥AD，结合AC∥DE，得到

BDBEAF5,这与 相矛DAECFC2盾。故FE与AD不平行，而DE∥AF，所以四边形ADEF为梯形。

【阅读特殊信息，观察分析联系，归纳发现规律】

4. （格点问题）用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方

形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形。设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x。

①②③④

（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式。 答：S= 。 多边形的序号 多边形的面积S 各边上格点的个数和x ① 2 4 ② 2.5 5 ③ 3 6 ④ 4 8 „ „ „ （2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点。此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是：S= 。 （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n个格点时，猜想S与x有怎样的关系？答：S= 。

5. 如图所示的四个图被称作平面图。

⑴数一数每个图形中各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少个互不重叠的区域，将结果填入下表 图 顶点个数（A） 边数（N） 区域数（M） 甲 乙 丙 丁 ⑵观察上表，推断平面图的顶点A、边数N、区域数M之间的关系式； ⑶现已知某一个平面图有1001个顶点和1001个区域，试根据中推断出的关系式，确定这个图案有多少条边。

2

6. 已知一次函数y1＝2x，二次函数y2＝x＋1.

（Ⅰ）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在表格中：

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y1=2x 2 y2=x+1

（Ⅱ）观察第（Ⅰ）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的

同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立；

2

（Ⅲ）试问，是否存在二次函数y3＝ax＋bx＋c，其图象经过点（－5，2），且在

实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立，若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由. 【阅读例题解法，掌握思路技巧，求解类似问题】 7. 阅读下列材料；

如图，矩形ABCD的面积为36，以此矩形的对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系，设A的坐标为（x，y），其中x＞0，y＞0。

（1）求出y与x之间的函数关系式，求出自变量x的取值范围；

（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圆的面积S，用下列方法解答后面的问题；

k2k2k22k0,a0),故a22k, 方法：因a2(a)2k(k为常数，且aaa2kk2当a0时，即ak时，a2取最小值2k。

aa2问题：当点A在何位置时，矩形ABCD的外接圆的面积S最小？并求出S的最小值； （3）如果直线y=mx+2（m＜0）与x轴交于点P，与y轴交于点Q，那么是否存在这样的实数m使得P、Q与（2）中求出的点A构成△PAQ的面积是矩形ABCD面积的

1？若6存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

【阅读-解题过程，辩明是非依据总结思想方法】 8. 阅读下列材料，按要求解答问题。

（1） 观察下面两块三角尺，它们有一个共同的性质：∠A=2∠B，由此思考：

对于图（1），作CD⊥AB于点D，显然c=2b，AD=0.5b，BD=c-0.5b。

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又∵a=c·BD，b=c·AD， 22

∴a-b=c（BD-AD）=c[（c-0.5b）-0.5b]=c（c-b）=c（2b-b）=bc。

22222

对于图（2），∵a=b+c，b=c，∴也有a-b=bc。

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这两块三角尺都具有性质a-b=bc。

在一个三角形中，如果一个内角等于另一个内角的二倍，我们称这个三角形为倍角三角形。上面前两个三角形都是特殊的倍角三角形，对于任意的倍角三角形，前边的性质仍然成立吗？暂时把我们的设想作为一种猜想：

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如图（3），在△ABC中，若∠CAB=2∠ABC，则a-b=bc。

在上述由三角尺的性质到“猜测”这一认知过程中，用到了下面四种数学思想方法中的那一种？请把正确的序号填在括号内（ ）

（A）分类的思想方法；（B）转化的思想方法；（C）由特殊到一般的思想方法；（D）数形结合的思想方法。

（2）这个猜想正确吗？请证明。