圆锥曲线最值及离心率

考点一. 定义法求最值

1.设P是抛物线y24x上的一个动点，F是焦点．

，的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值； （1）求点P到点A(11)（2）若B点的坐标为（3，2），求|PB|+|PF|的最小值．

（x4)(y5)1上运动,求|PA| +d的最小值。 （3）点p到y轴的距离为d，A在圆

（4）直线l:x-y+4=0,P到y轴距离d,P到l距离D，求d+D最小值。

220)，准线是x1．由抛物线的定义知：点P到直线x1解：（1）抛物线的焦点为F(1，的距离等于点P到焦点F的距离．连结AF交抛物线于P点．故最小值为221，即为5；

（2）自B作BQ垂直准线于Q交抛物线于P，此时，PQ，那么PF111PBPF≥PBPQBQ4，即最小值为4． 11（3）抛物线的准线为 x=-1 ，把P到y轴的距离再往左延伸一个单位，就是P到准线的距离，P到准线的距离=P到焦点F（1，0）的距离，所以 |PA|+d=|PC|+|PF|-2，由于 A 在抛物线的外侧，所以，当A、P、F共线时，最小值为 |AF|-1=√(9+25)-2=34-2。 （4）过P作l垂线交于A，过P作Y轴垂线交于B,延长交准线于C。 则d+D=PAPBPAPC-1PAPF-1AF11042152-1。 2x2y22.（1）已知点P是椭圆+=1的动点，定点A（1，1），则|PA|+|PF2的最小值、最大

123值分别为

解：由椭圆定义知：|PA|+|PF2|=|PA|-|PF1|+2a而-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|，又由椭圆方

x2y2程+=1，∴a=23,c=3,∴F1(-3,0),∴|AF1|=17,∴43―17≤|PA|+|PF2|≤1231

43+17.

14x2y21上一动点P,M(-1,0),N(1,0),求（2）已知最小值。 PMPN43解：PMPN2a4

PN4PM14141119=( )(PMPN)(5)(54)。PMPNPMPN44PMPN44 x2y2 3.(1)已知点F1 F2是双曲线―=1左右焦点，定点A（3，2），P是双曲线上动点，求

412|PA|+|PF2|最小值。

解：P在双曲线右支，根据定义可知|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=|PF1|-2a,∴|PA|+|PF2|=|PA|+|PF1|-2a,∴求|PA|+|PF2|最小值转化为求|PA|+|PF1|的最小值。∵ 两点之间线段最短，∴|PA|+|PF1|的最小值为|AF1|, ∴|PA|+|PF2|最小值为|AF1|-2a=53-4.

y266，当APF2周长最小时，求S1的左支上一点，A0， APF2的（2）已知P为x82值。

解：周长=PAPF2AF2AF当P为AF11PF1PF2AF2AF1AF22a，中点时，周长取最小，即P（-311,36）96。 ，则S=（666）222考点二。参数方程求最值

x2y2（1）已知椭圆+ =1内一点A（0，2），点M为椭圆上一动点，求|AM|最大值.

32x2y23y222222

解：设点M（x,y）,∴＋ =1,∴x=3―,∴ |AM|=(y―2)＋x=(y―2)

32213y21222

＋3―=-y―22y＋5 =-(y＋22)＋9 (-2≤y＜2),∴当y=-2时，|AM|

222取得最大值8，|AM|取得最大值22.

2

x2y21上的点到直线l:xy30距离的最小值。 （2）求椭圆4x2cosx2y21，所以可设0解：设P(x0,y0)为椭圆上任一点，因为，则点P到直4ysin0线l距离为d|2cossin3|2|5sin()3|2,(arctan2)，

则dmax|53|2610|53|610。 ,dmin222考点三。平移切线法求最值

（1）求抛物线yx2上的点到直线l:4x3y80距离的最小值。

解：（切线平移法）设与直线l平行的直线l的方程为：4x3yb0，则直线l平移到与抛物线相切时的切点Q即抛物线上到直线l最近的点，直线l与l的距离即所求最小距离。

4x3yb0421612b0b由，则由△。则抛物线3x4xb023yx4|8|43。 yx2上的点到直线l:4x3y80距离的最小值为d53考点四. 利用函数求最值

x22

（1）已知一定点A(3,0),P是双曲线-y=1上任意一点，求|PA|最小值.

4x252-1，解：设P（x,y)（x2）， 则|PA|=(x-3)+y，又因为y=带入得|PA|=x-6x+8， 44222当x=124时最小,带入得|PA|=。 552

2

2

（2）若点P在抛物线y=x上，点Q在圆(x-3)+y=1上 ，求|PQ|最小值. 解

：

P

（

y2,y),

(x-3)2+y2=1圆心O(3,0),

|PO|2=(x-3)2+y2=x2-5x9min=1151011,P(,), 所以|PQ|最小值是-1。 24223

(3)若点P在抛物线y=2x上，点Q(

2

2,0) ，求|PQ|最小值. 322244解：|PO|2=(x-)2+y2=(x-)22xx2x(x0)min最小值为：333992,P(0,0)。3 离心率

一、利用曲线的范围，建立不等关系

x2y2例1已知椭圆221(ab0)右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂

ab 直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围.

yOPF2AxF1

x2y2例2已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0),若椭圆上存

ab在一点P使

ac,则该椭圆的离心率的取值范围为

sinPF1F2sinPF2F121,1.

4

二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系 例3已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足

率的取值范围是（ ）

的点P总在椭圆内部，则椭圆离心

Ａ．(0,1) Ｂ．(0,] Ｃ．(0,

三、利用点与椭圆的位置关系，建立不等关系

1222,1) ) Ｄ．[22x2y2例4已知ABC的顶点B为椭圆221(ab0)短轴的一个端点，另两个顶点也

ab在椭圆上，若ABC的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0),求椭圆离心率的范围.

yBCOFAMx

四、利用函数的值域，建立不等关系

5

x2y2例5椭圆221(ab0)与直线xy10相交于A、B两点，且OAOB0（ O

ab为原点），若椭圆长轴长的取值范围为5,6，求椭圆离心率的范围.



五、利用均值不等式，建立不等关系.

例6 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范

围；

xy

解 设椭圆方程为2＋2＝1 (a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.

ab在△PF1F2中，由余弦定理可知， 4c＝m＋n－2mncos 60°＝(m＋n)－3mn ＝4a－3mn≥4a－3·

2

2

2

2

2

2

2

2

m＋n2＝4a2－3a2＝a2

2

2

c11

(当且仅当m＝n时取等号)．∴2≥，即e≥.

a42

1又0x2y2例7 已知F1、F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，椭圆上一点P使

abF1PF290，求椭圆离心率e的取值范围.

解析1：令pF1m,PF2n，则mn2a 由PF1PF2 mn4c 4cmn2222222mn2c212a 即e2

2a22又0e12e1 2六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系

解析2：不妨设短轴一端点为B

6

则SF1PF2btan45b≤SF1BF22212cbbc 22c21b≤c b≤c ac≤ce2≥

2a22222故

2≤e＜1 2七、利用实数性质，建立不等关系

解析3：设Px,y，由PF1PF2得

yy1，即y2c2x2，代入xcxca2c2b2x2y22222x0cb得 ， 1x222cab 即cac，e2222c2e1  又e12a2八、利用曲线之间位置关系，建立不等关系

解析4：PF1PF2P点在以F1F2为直径的圆上 又P在椭圆上，

x2y2P为圆xyc 与 221 的公共点.由图可知

ab222 bcabca222 acca2222yPF1OF2x2e1 2 说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.

九、利用F1PF2最大位置，建立不等关系

x2y2解析4：椭圆221(ab0)当P与短轴端点重合时∠F1PF2最大

ab 无妨设满足条件的点P不存在 ，则∠F1PF2<90 00c2sinOPF1sin450 又0e1 a2yBPF2x2e1. 所以若存在一点P 则 27

F1O