备战高考数学一轮复习(热点难点)专题18恒成立问题你会多少(new)

考纲要求：

1.理解不等式恒成立的基本概念,会根据不等式恒成立处理求参数范围的简单问题. 2。通过自主学习与合作探究的教学过程，进一步提升学生自主学习的数学能力.

3.通过本内容的教学，使学生掌握不等式恒成立与最值的关系，进一步了解数学各内容之间一种完美结合与渗透之美。 基础知识回顾： 恒成立：关于x的不等式f(x)≥0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。

若函数f(x)在区间D上存在最小值f(x)min和最大值f(x)max，则: ①不等式f(x)a在区间D上恒成立f(x)mina; ②不等式f(x)a在区间D上恒成立f(x)mina； ③不等式f(x)b在区间D上恒成立f(x)maxb； ④不等式f(x)b在区间D上恒成立f(x)maxb；

若函数f(x)在区间D上不存在最大（小)值，且值域为(m,n)，则： ①不等式f(x)a（或f(x)a）在区间D上恒成立ma； ②不等式f(x)b（或f(x)b）在区间D上恒成立nb； 应用举例

类型一、函数性质法 1。一次函数f(x)kxb(k0)若yf(x)在m,n内恒有f(x)0,则根据函数的图像

a0a0f(m)0可得可合并成，同理若yf(x)在m,n内恒有f(x)0则有或f(n)0f(m)0f(n)0f(m)0 f(n)0【例1】对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2px12px恒成立的x的取值范围. 【答案】x1或x3.

2。

二次函数--利用判别式、韦达定理及根的分布求解 有以下几种基本类型:

类型1：设f(x)ax2bxc(a0).

（1）f(x)0在xR上恒成立a0且0；

（2）f(x)0在xR上恒成立a0且0． 类型2:设f(x)ax2bxc(a0).

bbb,（1）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立2a 或或2a2af()00f()0.f()0,f(x)0在x[,]上恒成立

f()0.f0,(2）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立

f0.bbb,f(x)0在x[,]上恒成立2a 或或2a2af()00f()0.例2【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知定义在R上的奇函数fx满足：当x0时，fxx3，若不等式f4tf2mmt2对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）

C.,02, D．,2A．,2B．2,0

【答案】A

2,



3。其它函数:

对于恒成立的问题,常用到以下结论： （1）afx恒成立afxmax； (2)afx恒成立afxmin；

（3）f(x)0恒成立f(x)min0(注：若f(x)的最小值不存在，则f(x)0恒成立f(x)的下界大于0)；f(x)0恒成立f(x)max0（注：若f(x)的最大值不存在，则f(x)0

恒成立f(x)的上界小于0）． 例3已知函数f(x)满足f(logax)a(xx1)，其中a0，且a1。 2a1（1）求函数yfx的解析式，并判断其奇偶性；

(2)当x(,2)时，f(x)4的值恒为负数，求实数a的取值范围 【答案】（1）f(x)axx(aa)，奇函数;(2）a[23,1)(1,23]. 2a1

类型二、分离参数法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式fx,0(xD，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：

（1）将参数与变量分离，即化为gfx（或gfx）恒成立的形式； （2）求fx在xD上的最大（或最小)值;

（3）解不等式gf(x)max（或gfxmin)，得的取值范围．

适用题型：(1）参数与变量能分离;（2）函数的最值易求出．例4【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测】对任意xR不等式x22xaa2恒成立,则实数a的取值范围是．

【答案】1,1 【解析】

设|xa|t，则xat,x2a22att2,故原不等式转化为t22t2at0(t0),即t22a0,所以22at0,即1a1。故应填答案1,1。

例5．已知函数f（x）＝mx－mx－1。

(1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立,求实数m的取值范围;

（2）若对于x∈［1,3］，f(x）＜5－m恒成立，求实数m的取值范围． 6【答案】（1)(－4,0]．(2）-，。

72

类型三、主参换位--反客为主法 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主\"，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村\"的出奇制胜的效果． 例6．若不等式2x1m(x21)的所有2m2都成立， 则x的取值范围__________.

1713 ,【答案】22

类型四、数形结合

若所给不等式进行合理的变形化为f(x)g(x)（或f(x)g(x)）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷． 例7．求证：f(x)x1a3，对于x[a1,a2]恒有2f(x)成立.

ax2【答案】证明见解析. 【解析】原方程可化为y11,由图像可知，x[a1,a2]，函数单调递增 xa3f(x)f(a2),f(x)f(a1)2,故得证.

2 类型四、消元转化法 例8．已知f(x)是定义在[1,1]上的奇函数,且f(1)1，若m,n[1,1],mn0时若

f(m)f(n)0，

mnf(x)t22at1对于所有的x[1,1],a[1,1]恒成立,求实数t的取值范围．

【答案】t2或t2或t0

方法、规律归纳:

上述例子剖析了数学高考中恒成立问题的常见题型及解法，解决这类题目要看清式子的特征,选择合适的方法，以便事半功倍.(1）对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0,这是容易漏掉的地方。（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性。（3）一元二次不等式在R上恒成立，看开口方向和判别式.(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法:一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单。（5)值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的形式不尽相同，但其实质却往往与求函数的最值息息相关，从而在解数学函数与不等式恒成立的过程中，欣赏一下数学中的“统一美”，在努力攀登知识的高峰中，不要忘了多看身边的美景,度过有意义的时光. 实战演练: 1．【江西师大附属中学2017年10月高三月考】

已知函数fxax22a1xlnx,aR,gxexx1，若对于任意的x10,,x2R

,不等式fx1gx2恒成立,，则实数a的取值范围为（）

33A.1,0B。1,0C。D。,, 22【答案】B

【解析】要使对于任意的x10,,x2R,不等式fx1gx2恒成立, 只需当x10,,x2R时,有fmaxxgminx

由g'x=ex1知，当x<0时,g'x0；当x〉0时,g'x0，所以gminxg00

(1)当a0时，易知当x时，易知fx,不满足x10,,x2R时，有fmaxxgminx，故a0不成立；

（2)当a0时，fxxlnx，此时，此时f'x1´1x1，当0x1时， xxfx0，当x1时，f'x0,所以fmaxxf110，成立；

点睛：把恒成立问题转化为求函数的最值问题是解决本题的关键,同时需注意对a进行分类讨论。

2．【山西省2017-2018届年度高三名校模拟考试第一次五校联考】已知0，若对任意的x0,，不等式elnx0恒成立，则的最大值为()

xA.eB。3C.D。

【答案】A

e2e3【解析】令fxe,gxlnx，易得fx与gx互为反函数fx与gx关于直线

xxyx对称原命题等价于exlnx在hxexh'xx0,上恒成立。记

1xe10 xlnx0,ln,h'x0;xln,,h'x0hminxhlnelnlnln0e,

记xxlnx，同理可得e，综上的最大值为e，故选A. 【点睛】

本题的关键步骤有：

观察发现fx与gx互为反函数；

将原命题等价转化为exlnx在0,上恒成立； 利用导数工具求hxex的最小值，从而求得e；

3．【陕西省西安市西北工业大学附属中学2017届高三下学期第七次模拟考试】已知函数fx2sinx3x,若对任意m2,2，fma3fa20恒成立，则a的取值范围是（）

xxA。1,1B。,13,C。3,3D.,31,

【答案】A

点

睛:解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为fgxfhx的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式（组），此时要注意gx与hx的取值应在外层函数的定义域内

4．【2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟】已知对x0,,不等式

lnx1mnm恒成立，则的最大值是() xnA.1B.1C.eD。e

【答案】C

【解析】不等式lnx1mFx1nxn22xxxnnn可化为lnx1m0，令Fxlnx1m，则xxx，所以当xn时,

Fminxlnn2m，即

m2lnn2lnn1lnn，令Gn，则令Gn02nnnn1m2lnn21可得n，故Gmaxne，应选答案C。 e,即1ennenn点睛：解答本题的思路是将不等式lnx1m可化为lnx1m0，，然后再构造函数

xxnnFxlnx1m，并对其进行求导,求出函数Fxlnx1m的最小值为lnn2m，

xx2lnnm2lnn即lnn2m0，然后求出目标函数Gn的最大值为e，即e，所以求出

nnnm的最大值是e。 nlnn2m0m2lnn(n0)，所以

5．【河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第二次考试】已知函数fxkx2lnx,若fx0在fx定义域内恒成立，则k的取值范围是（)

A.,eB.,C.,D。,

e2ee2ee【答案】C

11111

【方法点晴】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法:①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；②利用导数转化为不等式f'x0或f'x0恒成立问题求参数范围，本题是利用方法①求解的．

6．若不等式对于一切恒成立，则的取值范围为（）

A。B.C。D.

【答案】C

点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题; （2）若

就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为

，若

恒成立，转化为；

（3)若

恒成立，可转化为

.

7．若fx的定义域为R，fx3恒成立，f19，则fx3x6解集为(

）

A.1,1B。1， C。,1D。1,

【答案】D

【解析】令Fxfx3x6，F'xf'x30恒成立，即Fx在定义域上单调递增． 又F1f190，则Fx0F1，即x1．故本题答案选D．

8．已知定义在R上的函数fxexmx2x,m0，当x1x21时，不等式fx1f1fx2f2恒成立，则实数x1的取值范围是(

）

A。1,2B。,2C。2,3D.1,

【答案】B

9．【河南省洛阳市2017—2018学年高三期中考试】

已知函数fxx3ax2bxca,b,cR．

(1)若函数fx在x1和x2处取得极值,求a,b的值；

（2）在（1）的条件下，当x2,3时，fx2c恒成立,求c的取值范围．

3【答案】(1）{2 ;（2）,10．

b6a【解析】试题分析:（1)求出导函数fx,利用f10，且f2=0,解方程组可求得

3{2 ；（2）利用导数研究函数fx的单调性,可得函数fx在x2,3时,fx的最小b6a值为c10，只需c102c即可求c的取值范围. 试题解析：（1）由题可得,fx3x22axb， ∵函数fx在x1和x2处取得极值， ∴1,2是方程3x22axb0的两根,

2312aa3∴{ ，∴{2 ；

bb61233（2）由（1）知fxx3x26xc，fx3x23x6，

2当x变化时，fx,fx随x的变化如下表：

x —2 2,1 + 增 —1 0 c7 21,2 - 减 2 0 c10 2,3 + 增 3 fx fx

c2 c9 2∴当x2,3时,fx的最小值为c10，

要使fx2c恒成立,只要c102c即可， ∴c10，

∴c的取值范围为,10．

110．【河北省衡水中学2018届高三上学期二调考试】已知函数fxlnxax2，aR．

2（1）求函数fx的单调区间；

（2）若关于x的不等式fxa1x1恒成立，求整数a的最小值． 【答案】（1)见解析（2）2

1ax2【解析】试题分析：（1）先确定函数的定义域，求导后得f'x，根据a正负进行讨

x论，可得函数的单调区间；（2)中可通过分离参数将问题转化成a2lnxx1x2x22lnxx1x2x2在区间

0,内恒成立求解，令gx，结合函数零点存在定理可求得gx的最值.

1（2)由lnxax2a1x1，

2得2lnxx1a2xx2， 因为x0，所以原命题等价于a2lnxx1x22x2lnxx1x22x在区间0,内恒成立．

令gx则g'x，

，

2x12lnxxx22x2令hx2lnxx，则hx在区间0,内单调递增， 又h2ln20，h110，

2211所以存在唯一的x0,1，使得hx02lnx0x00，

2且当0xx0时，g'x0，gx单调递增，

1

点睛:本题属于导数的综合应用题。第一问中要合理确定对a进行分类的标准；第二问利用分离参数的方法解题，但在求函数gx的最值时遇到了导函数零点存在但不可求的问题，此时的解法一般要用到整体代换，即由hx02lnx0x00可得2lnx0x0,在解题时将lnx0进行代换以使问题得以求解。

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