2019-2020学年四川省成都七中育才学校水井坊校区八年
级（下）期中数学试卷
1. 下列各式：
𝑥+𝑦𝜋
，2，
𝑦
3𝑥2𝑥
，5𝑥+𝑦，𝑥−1，其中分式有( )
12
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列从左到右的变形是因式分解的是( )
A. 𝑥2+1=𝑥(𝑥+𝑥)
C. 𝑎2−3𝑎−4=(𝑎+4)(𝑎−1)
3. 如果𝑥>𝑦，则下列式子错误的是( )
1
B. 𝑎3−𝑎=𝑎(𝑎+1)(𝑎−1) D. 𝑎𝑥−𝑎𝑦+1=𝑎(𝑥−𝑦)+1
A. 2>2
2𝑥
𝑥𝑦
B. −3𝑥<−3𝑦 C. 𝑥−2<𝑦−2 D. 1−𝑥<1−𝑦
4. 如果把分式𝑥−3𝑦中的x，y都扩大4倍，那么分式的值( )
A. 不变
5. 已知分式
(𝑥−3)(𝑥+1)
1−𝑥2
B. 扩大2倍 C. 扩大3倍 D. 扩大4倍
的值为0，那么x的值是( )
A. −1 B. 3 C. 1 D. 3或−1
6. 下列命题错误的是( )
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 对角线相等的四边形是矩形
7. 如果2𝑎−3是多项式4𝑎2+𝑚𝑎−9的一个因式，则m的值是( )
A. 0 B. 6 C. 12 D. −12
8. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角线互相平分 C. 对角相等
B. 邻角互补 D. 对角线相等
9. 若不等式𝑥≤𝑚的解都是不等式𝑥≤2的解，则m的取值范围是( )
A. 𝑚≤2 B. 𝑚≥2 C. 𝑚<2 D. 𝑚>2
D为BC的中点，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐷𝐸⊥10. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，
𝐴𝐵，且𝐴𝐶=6𝑐𝑚，𝐴𝐵=8𝑐𝑚，则△𝐴𝐷𝐸的周长为( )
A. 8cm B. 10cm
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C. 12cm D. 14cm
11. 函数𝑦=√𝑥+2+𝑥−3中，自变量x的取值范围是______ ． 12. 计算：𝑚−2−𝑚−2= ______ ．
13. 菱形的面积是24，一条对角线长是6，则菱形的边长是______． 14. 如图所示，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C
落在𝐶′处，𝐵𝐶′交AD于点E，𝐴𝐷=8，𝐴𝐵=4，那么△𝐵𝐷𝐸的面积= ______ ． 15. 计算题
(1)分解因式：2𝑥2𝑦−8𝑥𝑦+8𝑦 (2)解方程：𝑥−1=2−2𝑥+1 16. 化简：
(1)
3𝑎𝑏+𝑎2𝑎2−𝑏2
𝑥
3𝑥
2𝑚
4
1
÷
𝑎+3𝑏𝑎−𝑏
(2)(𝑥−1−
8𝑥+3
)÷
𝑥+1𝑥+1
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17. 先化简，再求值：(
𝑎−1𝑎
−
𝑎−2𝑎+1
)÷
2𝑎2−𝑎
𝑎2+2𝑎+1
，其中a是方程𝑥2−2𝑥−2=0的解．
18. 已知a、b、c是△𝐴𝐵𝐶的三边的长，且满足𝑎2+2𝑏2+𝑐2−2𝑏(𝑎+𝑐)=0，试判断
此三角形的形状．
19. 威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600
元；售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元． (1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
(2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件．如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？
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20. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，D为
BC边的中点，过点B作𝐵𝐹⊥𝐴𝐵交AD的延长线于点F，CE平分∠𝐴𝐶𝐵交AD于点E．
(1)求证：判断四边形CEBF的形状，并证明； (2)若𝐴𝐷=3√5，求BF及四边形CEBF的面积．
21. 如果𝑎+4=𝑏，那么8𝑏−𝑏2+𝑎2= ______ ．
22. 若关于x的方程𝑥−1=𝑥−1−1的解为正数，则m的取值范围是______ ． 23. 如图，函数𝑦=3𝑥和𝑦=𝑎𝑥+4的图象相交于点𝐴(𝑚,3)，则不
等式0≤3𝑥<𝑎𝑥+4的解集是______ ．
b，b中的较大值，24. 对于两个不相等的实数a、我们规定符号𝑀𝑎𝑥{𝑎,𝑏}表示a、例如：
𝑀𝑎𝑥{2,4}=4，按照这个规定，求方程𝑀𝑎𝑥{𝑥,−𝑥}=
25. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=12，𝐴𝐵=26，点D为斜边AB
的中点，P为AC边一动点，△𝐵𝐷𝑃沿着PD所在的直线对折得到△𝐸𝐷𝑃.若△𝐸𝐷𝑃与△𝐴𝐷𝑃重合部分的面积
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2𝑥+1𝑥
𝑥
𝑚
的解．
为△𝐸𝐷𝑃的面积一半，此时𝐶𝑃= ______ ．
26. 平价大药房准备购进KN95、一次性医用两种口罩.两种口罩的进价和售价如表.已知：
用1800元购进一次性医用口罩的数量是用2000元购进KN95口罩的数量的5倍．
进价(元/个) 售价(元/个) (1)求m的值；
KN95口罩 𝑚+1 15 一次性医用口罩 0.2𝑚 2.5 (2)要使购进的KN95、一次性医用两种口罩共1000个的总利润不少于1560元，且不超过1603元，问该药店共有多少种进货方案？
27. 如图1，在边长为6的菱形ABCD中，𝐴𝐶=𝐵𝐶，点M、N分别是边BC、边CD上
的动点，且𝑀𝐵=𝑁𝐶.连接AM、AN、MN，若MN交AC于点P． (1)△𝐴𝑀𝑁是什么特殊的三角形？说明理由； (2)如图1，当𝐵𝑀=2𝐶𝑀时，求MN的长；
(3)如图2，在(2)的条件下，点E、F分别是边AM、边AN上的动点，连接EF、PF，𝐸𝐹+𝑃𝐹是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时AF的长；若不存在，请说明理由．
1
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28. 如图，点O为平面直角坐标系的原点，在矩形OABC中，两边OC、OA分别在x
轴和y轴上，且点𝐵(𝑎,𝑏)满足：√𝑎−4√3+(𝑏+4)2=0． (1)求点B的坐标(______ ，______ )；
(2)若过点B的直线BP与矩形OABC的OC边交于点P，且将矩形OABC的面积分为1：3两部分， ①求直线BP的解析式；
②在直线BP确定一点Q，使得△𝐴𝐶𝑄的面积等于矩形OABC的面积，求点Q的坐标；
(3)𝐷在线段AB上，𝐴𝐷=4𝐴𝐵，M在坐标轴上，N为(2)中直线BP上一动点，若四点O、D、M、N构成平行四边形，直接写出M的坐标．
1
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：故选：B．
利用分式定义可得答案．
此题主要考查了分式的定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
3𝑥2𝑥
，𝑥−1是分式，共2个，
2
2.【答案】B
【解析】解：A、没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； B、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项符合题意； C、𝑎2−3𝑎−4=(𝑎−4)(𝑎+1)，因式分解错误，故此选项不符合题意； D、没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； 故选：B．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式．
3.【答案】C
【解析】解：A、𝑥>𝑦的两边都除以2，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、𝑥>𝑦的两边都乘以−3，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项不符合题意； C、𝑥>𝑦的两边都减去2，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项符合题意； D、𝑥>𝑦的两边都乘以−1且加上1，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：C．
根据不等式的性质，可得答案．
此题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质．“0”是很特殊的一个数，
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因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
4.【答案】A
【解析】解：原式=4(𝑥−3𝑦) =𝑥−3𝑦， 故选：A．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
2𝑥
8𝑥
5.【答案】B
【解析】解：∵分式
(𝑥−3)(𝑥+1)
1−𝑥2
的值为0，
∴(𝑥−3)(𝑥+1)=0，则1−𝑥2≠0， 解得：𝑥=3， 故选：B．
直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案． 此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，选项不符合题意； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题，选项不符合题意； C、矩形的对角线相等且互相平分，是真命题，选项不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，是假命题，选项符合题意； 故选：D．
根据真命题的定义，再根据平行四边形、菱形、矩形的判定方法逐个选项进行判断即可得出结果．
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本题主要考查了真命题的定义以及平行四边形、菱形、矩形的判定方法，关键是利用平行四边形和矩形的判定解答．
7.【答案】A
【解析】解：∵2𝑎−3是多项式4𝑎2+𝑚𝑎−9的一个因式， ∴当2𝑎−3=0时，4𝑎2+𝑚𝑎−9=0， 即𝑎=2时，4𝑎2+𝑚𝑎−9=0， ∴把𝑎=2代入其中得9+2𝑚−9=0， ∴𝑚=0，故选A．
由于2𝑎−3是多项式4𝑎2+𝑚𝑎−9的一个因式，所以当2𝑎−3=0时，4𝑎2+𝑚𝑎−9=0，由此可以得到关于m的方程，解方程即可．
此题考查的是多项式的因式分解，根据2𝑎−3=0可以求出待定系数m．
3
3
3
8.【答案】D
【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：D．
根据矩形和菱形的性质得出即可．
本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵不等式𝑥≤𝑚的解都是不等式𝑥≤2的解， ∴𝑚≤2． 故选：A．
根据“同小取小”即可得出m的取值范围．
本题考查的是不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
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10.【答案】C
【解析】解：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，∠𝐵𝐴𝐶=90°， ∴𝐷𝐸//𝐴𝐶， ∵𝐷为BC的中点，
∴𝐷𝐸为𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的中位线， ∵𝐴𝐶=6𝑐𝑚，𝐴𝐵=8𝑐𝑚．
∴𝐷𝐸=2𝐴𝐶=3，𝐴𝐸=4，𝐴𝐷=2𝐵𝐶，𝐵𝐶=√𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=10， ∴𝐴𝐷=5，
∴△𝐴𝐷𝐸的周长为+𝐴𝐸+𝐴𝐷=12𝑐𝑚． 故选：C．
由题意可知DE为中位线，AD为斜边上的中线，从而可得DE、AD的值，即可求解． 此题主要考查三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，以及利用勾股定理求斜边．
1
1
11.【答案】𝑥≥−2且𝑥≠3
𝑥+2≥0
【解析】解：根据题意得：{，
𝑥−3≠0解得：𝑥≥−2且𝑥≠3． 故答案是：𝑥≥−2且𝑥≠3．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
12.【答案】2
【解析】解：原式=
2𝑚−4𝑚−2
=
2(𝑚−2)𝑚−2
=2.故答案为2．
根据同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减求解即可． 本题考查了分式的加减运算，最后结果能约分的要约分．
13.【答案】5
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【解析】解：由题意得：𝐵𝐷=6， ∵菱形的面积为24， ∴𝐴𝐶=8，
∴𝐴𝑂=4，𝑂𝐷=3，
在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐷中，𝐴𝐷=√𝐴𝑂2+𝑂𝐷2=√32+42=5， 故答案为：5．
根据菱形的面积求出另一条对角线的长，再由对角线互相垂直且平分，可得直角三角形，利用勾股定理可得出边长．
本题考查菱形的性质，比较简单，关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．
14.【答案】10
【解析】解：∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在𝐶′处， ∴∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶′𝐵𝐷，𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝐵， ∴∠𝐶′𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝐵， ∴𝐵𝐸=𝐷𝐸，
设𝐷𝐸=𝑥，则𝐵𝐸=𝑥，𝐴𝐸=𝐴𝐷−𝐷𝐸=8−𝑥， 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵2+𝐴𝐸2=𝐵𝐸2， ∴42+(8−𝑥)2=𝑥2，解得𝑥=5， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=𝐷𝐸⋅𝐴𝐵=×5×4=10．
2
2
1
1
故答案为：10．
𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸由矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在𝐶′处，可得𝐴𝐸=𝐷𝐸，设𝐷𝐸=𝑥，中，用勾股定理列方程可得DE长度，从而可求△𝐵𝐷𝐸的面积．
本题考查矩形性质及应用，涉及图象折叠、勾股定理等知识，解题的关键是证明𝐵𝐸=𝐷𝐸．
15.【答案】解：(1)原式=2𝑦(𝑥2−4𝑥+4)
=2𝑦(𝑥−2)2；
(2)去分母得：2𝑥=−3𝑥+2𝑥−2， 解得：𝑥=−3，
2
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经检验𝑥=−3是分式方程的解．
2
【解析】(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16.【答案】解：(1)原式=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)⋅𝑎+3𝑏=𝑎+𝑏；
(2)原式=(−𝑥+1)⋅𝑥+3 𝑥+1
=
=𝑥−3．
(𝑥+3)(𝑥−3)𝑥+1
⋅
𝑥+1𝑥+3𝑥2−1
8
𝑥+1
𝑎(𝑎+3𝑏)
𝑎−𝑏
𝑎
【解析】(1)先将被除式分子、分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再约分即可得答案；
(2)先计算括号内分式的减法、将除法转化为乘法，再因式分解，最后约分即可． 本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17.【答案】解：(
𝑎−1𝑎
−𝑎+1)÷𝑎2+2𝑎+1
(𝑎−1)(𝑎+1)−𝑎(𝑎−2)(𝑎+1)2
=⋅
𝑎(𝑎+1)𝑎(2𝑎−1)𝑎2−1−𝑎2+2𝑎𝑎+1
=⋅
𝑎𝑎(2𝑎−1)2𝑎−1𝑎+1=⋅ 𝑎𝑎(2𝑎−1)𝑎−2
2𝑎2−𝑎
=
𝑎+1𝑎2，
∵𝑎是方程𝑥2−2𝑥−2=0的解， ∴𝑎2−2𝑎−2=0， ∴𝑎2=2𝑎+2，
当𝑎2=2𝑎+2时，原式=2𝑎+2=2．
𝑎+1
1
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a是方程𝑥2−2𝑥−2=0的解，可以得到𝑎2=2𝑎+2，然后代入化简后的式子即可解答本题．
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本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：∵𝑎2+2𝑏2+𝑐2−2𝑏(𝑎+𝑐)=0
∴𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2+𝑏2−2𝑏𝑐+𝑐2=0 (𝑎−𝑏)2+(𝑏−𝑐)2=0 ∴𝑎−𝑏=0且𝑏−𝑐=0
即𝑎=𝑏=𝑐，故该三角形是等边三角形．
【解析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，从而判断出该三角形的形状．
19.【答案】解：(1)设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得
利润为y元， 由题意得：
𝑥+4𝑦=600
{, 3𝑥+5𝑦=1100
𝑥=200
解得：{，
𝑦=100
答：每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元； (2)设威丽商场需购进A种商品a件，则购进B种商品(34−𝑎)件． 由题意得：
200𝑎+100(34−𝑎)≥4000， 解得：𝑎≥6，
答：威丽商场至少需购进6件A种商品．
【解析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，列一元一次不等式解实际问题的运用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的数量关系是解答本题的关键.正确理解表示不等关系的词语至少的意义是解答第(2)的关键． (1)设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元.由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；
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(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34−𝑎)件.根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解即可．
20.【答案】证明：(1)四边形CEBF是平行四边形．
理由如下：∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶，CE平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴𝐶𝐸⊥𝐴𝐵， ∵𝐵𝐹⊥𝐴𝐵， ∴𝐶𝐸//𝐵𝐹， ∴∠𝐵𝐹𝐷=∠𝐶𝐸𝐷， ∵𝐷为BC边的中点， ∴𝐶𝐷=𝐷𝐵， 在△𝐶𝐷𝐸和△𝐵𝐷𝐹中， ∠𝐶𝐸𝐷=∠𝐵𝐹𝐷{∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐵𝐷𝐹， 𝐶𝐷=𝐵𝐷
∴△𝐶𝐷𝐸≌△𝐵𝐷𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐷𝐸=𝐷𝐹， 又∵𝐶𝐷=𝐵𝐷，
∴四边形CEBF是平行四边形； (2)∵𝐷为BC的中点，𝐴𝐶=𝐵𝐶， ∴𝐴𝐶=2𝐶𝐷，
∵𝐴𝐷=3√5，𝐴𝐶2+𝐶𝐷2=𝐴𝐷2， ∴(2𝐶𝐷)2+𝐶𝐷2=(3√5)2， 解得𝐶𝐷=3， ∴𝐴𝐶=𝐵𝐶=6， ∴𝐴𝐵=6√2，
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐶=𝐵𝐶， ∴𝐶𝐸垂直平分AB， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐸， ∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐸𝐵𝐴，
∵∠𝐸𝐴𝐵+∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐸𝐵𝐴+∠𝐸𝐵𝐹=90°， ∴∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐸𝐵𝐹， ∴𝐸𝐹=𝐵𝐸，
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∴𝐴𝐸=𝐸𝐹，
∵四边形CEBF为平行四边形， ∴𝐸𝐷=𝐷𝐹，
∴𝐸𝐹=𝐴𝐷=2√5，𝐴𝐹=𝐴𝐷=4√5，
3
3
2
4
∴𝐵𝐹=√𝐴𝐹2−𝐴𝐵2=√(4√5)2−(6√2)2=2√2，
过C作𝐶𝐺⊥𝐴𝐹，垂足为G，由三角形的面积可得𝐴𝐶⋅𝐶𝐷=𝐴𝐷⋅𝐶𝐺，
即6×3=3√5𝐶𝐺， 解得𝐶𝐺=5√5，
∴𝑆四边形𝐶𝐸𝐵𝐹=2𝑆△𝐶𝐸𝐹=2×2×2√5×5√5=12．
1
6
6
【解析】(1)由“AAS”可证△𝐶𝐷𝐸≌△𝐵𝐷𝐹，可得𝐷𝐸=𝐷𝐹，由平行四边形的判定可得结论；
(2)由勾股定理可求解CD的长，进而求得AB，由等腰三角形的性质及之几艘氨基酸想的性质可得𝐴𝐸=𝐸𝐹，由平行四边形的性质可得𝐸𝐷=𝐷𝐹，利用勾股定理可求解EF，BF的长，过C作𝐶𝐺⊥𝐴𝐹，垂足为G，由三角形的面积可求CG的长，进而可求解四边形CEBF的面积．
本题主要考查平行四边形的判定，三角形的面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等知识的综合运用．
21.【答案】16
【解析】解：方法一：∵𝑎+4=𝑏， ∴𝑎=𝑏−4，
将𝑎=𝑏−4代入所求式子，可得， 8𝑏−𝑏2+𝑎2 =8𝑏−𝑏2+(𝑏−4)2 =8𝑏−𝑏2+𝑏2−8𝑏+16
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=16．
方法二：∵𝑎+4=𝑏， ∴𝑎=𝑏−4， ∴8𝑏−𝑏2+𝑎2
=−(𝑏2−8𝑏+16−16)+𝑎2 =−(𝑏−4)2+𝑎2+16 =−𝑎2+𝑎2+16 =16．
对比已知和所求，对已知进行变形得到𝑎=𝑏−4，并代入所求式子，化简即可；也可对所求的式子进行变形，整体代入．
本题主要考查整式的乘法，因式分解等知识，结合整体代入的思想；对已知和所求进行合适的变形，是本题解题的关键．
22.【答案】𝑚>−1且𝑚≠1
【解析】解：原方程化为整式方程得：𝑥=𝑚−𝑥+1 解得：𝑥=
𝑚+12
，
𝑥
𝑚
因为关于x的方程𝑥−1=𝑥−1−1的解为正数， 所以
𝑚+12
>0，
解得：𝑚>−1， 因为𝑥=1时原方程无解， 所以可得
𝑚+12
≠1，
解得：𝑚≠1．
故答案为𝑚>−1且𝑚≠1．
先得出分式方程的解，再得出关于m的不等式，解答即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，注意分式分母不为0的条件．
23.【答案】0≤𝑥<1
【解析】解：把𝐴(𝑚,3)代入𝑦=3𝑥，得： 3𝑚=3，
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解得：𝑚=1；
根据图象可得：不等式0≤3𝑥<𝑎𝑥+4的解集是：0≤𝑥<1． 故答案为：0≤𝑥<1．
首先把(𝑚,3)代入𝑦=3𝑥求得m的值，然后根据函数的图象即可写出不等式的解集． 本题考查了一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
𝑥=【答案】解：当𝑥>−𝑥，即𝑥>0时，所求方程变形得：24.
解得：𝑥1=1+√2，𝑥2=1−√2(舍去)； 当𝑥<−𝑥，即𝑥<0时，所求方程变形得：−𝑥=𝑥4=−1，
经检验：𝑥1=1+√2，𝑥3=𝑥4=−1都为分式方程的解．
2𝑥+1𝑥
2𝑥+1𝑥
，即𝑥2−2𝑥−1=0，
，即𝑥2+2𝑥+1=0，解得：𝑥3=
【解析】根据题中的新定义，将所求方程化简，计算即可求出解． 此题考查了分式方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
25.【答案】5
【解析】解：连接BE，AE，
∵𝐷是AB的中点，
∴𝐴𝐷=2𝐴𝐵=2×26=13，
由折叠的性质得，𝐵𝑃=𝑃𝐸，𝐷𝐸=𝐵𝐷=13， ∴𝑃𝐷垂直平分BE，𝐵𝐷=𝐴𝐷=𝐷𝐸， ∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐵𝐸𝐷，∠𝐷𝐸𝐴=∠𝐷𝐴𝐸， ∴∠𝐵𝐻𝐷=∠𝐴𝐸𝐵=90°， ∴𝑃𝐷//𝐴𝐸， ∴∠𝑃𝐷𝐸=∠𝐴𝐸𝐷，
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1
1
∵△𝑃𝐷𝐺的面积是△𝑃𝐷𝐸的面积的一半， ∴𝐺是DE的中点， ∴𝐷𝐺=𝐺𝐸， ∵∠𝑃𝐺𝐷=∠𝐴𝐺𝐸， ∴△𝑃𝐺𝐷≌△𝐴𝐺𝐸(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝑃𝐺=𝐴𝐺，
∴四边形PDAE是平行四边形， ∴𝑃𝐸=𝐴𝐷=13， ∴𝑃𝐵=𝑃𝐸=13，
∴𝑃𝐶=√𝑃𝐵2−𝐵𝐶2=√132−122=5， 故答案为：5．
连接BE，AE，根据折叠的性质得出PD垂直平分BE，根据三角形中线性质和全等三角形的判定得出△𝑃𝐺𝐷与△𝐴𝐺𝐸全等，进而利用平行四边形的判定和勾股定理解答． 此题考查翻折问题，关键是根据平行四边形的判定和性质，三角形中线的性质，利用全等三角形的判定和性质解答．
26.【答案】解：(1)由题意得：0.2𝑚=𝑚+1×5，
解得：𝑚=9，
经检验，𝑚=9是原方程的解，且符合题意， ∴𝑚=9； (2)∵𝑚=9，
∴𝑚+1=10，0.2𝑚=1.8，
设购进的KN95口罩为x个，一次性医用口罩为(1000−𝑥)个， 由题意得：1560≤(15−10)𝑥+(2.5−1.8)×(1000−𝑥)≤1603， 解得：200≤𝑥≤210， 即x的取值有11个， ∴药店共有11种进货方案．
1800
2000
(1)由用1800元购进一次性医用口罩的数量是用2000元购进KN95口罩的数量【解析】
的5倍，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购进的KN95口罩为x个，一次性医用口罩为(1000−𝑥)个，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可．
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本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，由题意列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
27.【答案】解：(1)如图1中，
∵𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐵𝐶为等边三角形， 在△𝐴𝑀𝐵和△𝐴𝑁𝐶中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶
{∠𝐵=∠𝐴𝐶𝑁=60°， 𝐵𝑀=𝑁𝐶
∴△𝐴𝑀𝐵≌△𝐴𝑁𝐶(𝑆𝐴𝑆)，
∴𝐴𝑀=𝐴𝑁，∠𝐵𝐴𝑀+∠𝑀𝐴𝐶=∠𝑀𝐴𝐶+∠𝑁𝐴𝐶=60°， ∴∠𝑀𝐴𝑁=60°， ∴△𝐴𝑀𝑁为等边三角形．
(2)如图2中，作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于H．
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐴𝐻⊥𝐵𝐶，
∴𝐵𝐻=𝐻𝐶=3
∵𝐴𝐵=6，
∴𝐴𝐻=√𝐴𝐵2−𝐵𝐻2=√62−32=3√3，
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∵𝐵𝑀=2𝐶𝑀，𝐵𝐶=6， ∴𝐵𝑀=2，𝐶𝑀=4， ∴𝐻𝑀=𝐵𝐻−𝐵𝑀=1，
∴𝐴𝑀=√𝐴𝐻2+𝑀𝐻2=√(3√3)2+12=2√7， ∵△𝐴𝑀𝑁是等边三角形， ∴𝑀𝑁=𝐴𝑀=2√7．
(3)如图3中，作点P关于AN的对称点为K，过点K做AM的垂线，交AN为F，交AM为E，此时，𝐸𝐹+𝑃𝐹最短，由于对称，𝑃𝐹=𝐾𝐹，EF为垂线段(垂线段最短)．
1
连接AK、作𝐴𝐺⊥𝑀𝑁于G，𝑀𝐻⊥𝐴𝐵于H． 在𝑅𝑡△𝐵𝑀𝐻中，∵𝐵𝑀=2，∠𝐵𝑀𝐻=30°， ∴𝐵𝐻=2𝐵𝑀=1，𝐻𝑀=√3𝐵𝐻=√3， ∴𝐴𝐻=𝐴𝐵−𝐵𝐻=5，𝐴𝑀=2√7， ∵△𝐴𝑀𝑁是等边三角形， ∴𝐴𝐺=√21．
∵∠𝐴𝑃𝐺=∠𝑃𝐶𝑀+∠𝑃𝑀𝐶=60°+∠𝑃𝑀𝐶，
∵∠𝑃𝑀𝐶+∠𝑃𝐶𝑀+∠𝐶𝑃𝑀=180°，∠𝑁𝐴𝑃+∠𝐴𝑁𝑃+∠𝐴𝑃𝑁=180°，∠𝐴𝑁𝑃=∠𝑃𝐶𝑀=60°，∠𝐴𝑃𝑁=∠𝐶𝑃𝑀， ∴∠𝐶𝑀𝑃=∠𝑁𝐴𝑃=∠𝑁𝐴𝐾，
∵∠𝐸𝐴𝐾=∠𝐸𝐴𝑁+∠𝑁𝐴𝐾=60°+∠𝑁𝐴𝐾， ∴∠𝐴𝑃𝐺=∠𝐸𝐴𝐾， 在△𝐴𝐺𝑃和△𝐾𝐸𝐴中， ∠𝐴𝐺𝑃=∠𝐾𝐸𝐴{∠𝐴𝑃𝐺=∠𝐾𝐴𝐸， 𝐴𝑃=𝐾𝐴
∴△𝐴𝐺𝑃≌△𝐾𝐸𝐴(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐾𝐸=𝐴𝐺=√21．
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1
∴𝐸𝐹+𝑃𝐹的最小值为√21， ∵∠𝑃𝐶𝑁=∠𝑃𝐶𝑀， ∴
𝑆△𝑃𝐶𝑁𝑆△𝑃𝐶𝑀
=
𝑃𝑁𝑃𝑀
=
1
⋅𝐶𝑁⋅ℎ21⋅𝐶𝑀⋅ℎ2
=
=， 𝐶𝑀2
𝐶𝑁1
∴𝑃𝑁=
2√7， 3
2√73
∴𝐴𝐸=𝑃𝐺=𝐺𝑁−𝑃𝑁=√7−=
√7， 3
在𝑅𝑡△𝐴𝐹𝐸中，∠𝐴𝐹𝐸=30°， ∴𝐴𝐹=2𝐴𝐸， ∴𝐴𝐹=
2√7． 3
【解析】(1)只要证明△𝐴𝑀𝐵≌△𝐴𝑁𝐶，推出𝐴𝑀=𝐴𝑁，∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐶𝐴𝑁即可解决问题． (2)如图2中，作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于𝐻.求出AH，MH即可解决问题．
(3)如图3中，作点P关于AN的对称点为K，过点K做AM的垂线，交AN为F，交AM为E，此时，𝐸𝐹+𝑃𝐹最短，连接AK、作𝐴𝐺⊥𝑀𝑁于G，𝑀𝐻⊥𝐴𝐵于𝐻.首先求出AM、AG的长，再证明△𝐴𝐺𝑃≌△𝐾𝐸𝐴，推出𝐾𝐸=𝐴𝐺即可．
本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28.【答案】4√3 −4
【解析】解：(1)√𝑎−4√3+(𝑏+4)2=0，则{𝑎−4√3=0，解得{𝑎=4√3，
𝑏+4=0𝑏=−4故点B的坐标为(4√3,−4)， 故答案为：4√3，−4；
(2)①∵点P在OC边上，
则只有𝑆△𝐵𝐶𝑃=4𝑆矩形𝑂𝐴𝐵𝐶一种情况，
1
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则2×𝑂𝐶×𝑃𝐶=4×𝐴𝐵×𝐵𝐶，即2×4√3×𝑃𝐶=4×4×4√3， 解得𝑃𝐶=2√3，
即点P是OC的中点，故点P的坐标为(2√3,0)，
2√30=23𝑘+𝑏√𝑘=−设直线BP的表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，则{，解得{3， −4=4√3𝑘+𝑏𝑏=4
1111
故直线BP的表达式为𝑦=−
2√3𝑥3
+4；
②由直线PB的表达式知，直线和y轴的交点坐标为(0,4)， 当点𝑄(𝑄′)的坐标为(0,4)时，
而点A的坐标为(0,−4)，即𝑂𝐴=𝑂𝑄′，
△𝐴𝐶𝑄′的面积=2𝑆△𝐴𝑂𝐶=矩形OABC的面积=4×4√3=16√3， 故当点Q在x轴上方时，点𝑄(𝑄′)的坐标为(0,4)； 当点Q在x轴下方时，设点Q的坐标为(𝑥,−
1
2√3𝑥32√33
+4)，过点Q作𝑄𝐻⊥𝑥轴于点H， −4)𝑥−2×4×4√3−2×(𝑥−
1
1
则𝑆△𝐴𝐶𝑄=𝑆梯形𝑂𝐴𝑄𝐻−𝑆△𝐴𝑂𝐶−𝑆△𝐶𝑄𝐻=(4+
24√3)(2√3𝑥3
−4)=16√3， ，𝑦=−
2√3𝑥3
解得𝑥=
16√33
+4=−3，即点𝑄(
20
16√320
,−)， 33
故点Q的坐标为(0,4)或(
16√320
,−)； 33
(3)∵𝐴𝐷=4𝐴𝐵=√3，故点𝐷(√3,−4)， ①当点M在x轴上时， 设点𝑀(𝑚,0)，点𝑁(𝑥,−当OD是边时，
则点O向右平移√3个单位向下平移4个单位得到点D，同样点𝑀(𝑁)向右平移√3个单位
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2√3𝑥3
1
+4)，
向下平移4个单位得到点𝑁(𝑀)，
𝑚+√3=𝑥𝑚−√3=𝑥𝑥=0𝑥=4√3{或{则{或，解得{； 2√32√3𝑚=3√0−4=−3𝑥+40+4=−3𝑥+4𝑚=3√3当OD是对角线时，
1
由中点公式得：{1
2
2
(0+√3)=(𝑚+𝑥)
2
1
(0−4)=(0−
2
1
2√3𝑥3
𝑥=4√3，解得{，
𝑚=−33√+4)
故点M的坐标为(3√3,0)或(−3√3,0)或(√3,0)； ②当点M在y轴上时，
同理可得，点M的坐标为(0,2)或(0,6)；
综上，点M的坐标为(3√3,0)或(−3√3,0)或(√3,0)或(0,2)或(0,6)． 𝑎−4√3=0，即可求解；
(1)√𝑎−4√3+(𝑏+4)2=0，则{
𝑏+4=0
(2)①由𝑆△𝐵𝐶𝑃=4𝑆矩形𝑂𝐴𝐵𝐶得到𝑃𝐶=2√3，则点P的坐标为(2√3,0)，进而求解； ②当点Q在x轴上方时，点𝑄(𝑄′)的坐标为(0,4)；点Q在x轴下方时，由𝑆△𝐴𝐶𝑄=𝑆梯形𝑂𝐴𝑄𝐻−𝑆△𝐴𝑂𝐶−𝑆△𝐶𝑄𝐻=16√3，求出点𝑄(16√3,−20)，即可求解；
3
3
1
(3)①当点M在x轴上时，分OD是边、OD是对角线两种情况，利用图形平移的性质和中点公式即可求解；②当点M在y轴上同理可解．
本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、矩形和平行四边形的性质、面积的计算等，其中(2)、(3)，都要注意分类求解，避免遗漏．
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