高二平面向量典型例题(老师)

类型一、平面向量的相关概念

例1. 下列说法中正确的是

① 非零向量a与非零向量b共线，向量b与非零向量c共线，则向量a与向量c共线； ② 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③ 向量a与b不共线，则a与b所在直线的夹角为锐角； ④ 零向量模为0，没有方向；

⑤ 始点相同的两个非零向量不平行； ⑥ 两个向量相等，它们的长度就相等；

⑦ 若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线。 【答案】①⑥ 【解析】

① 向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的； ②相等向量是共线的，故四点可能在同一直线上；

③ 向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角或锐角； ④零向量不是没有方向, 它的方向是任意的； ⑤ 向量是否共线与始点位置无关；

⑥ 两个向量相等，它们的长度相等，方向相同；

⑦共线向量即平行向量，非零向量AB与CD是共线向量，可能A、B、C、D四点共线，也可能AB、CD平行。

【总结升华】

从向量的定义可以看出，向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量可将代数问题与几何问题相互转化。零向量是一特殊向量，它似乎很不起眼，但又处处存在。因此，正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系值得我们重视。对于平行向量或共线向量，它们可以在同一直线上，也可以所在直线互相平行，方向可以相同也可以相反；相等向量则必须大小相等、方向相同。

举一反三：

【变式1】判断下列各命题是否正确,并说明理由:

(1) 若|a|=|b|,则a=b； (2) 单位向量都相等；

(3) 两相等向量若起点相同,则终点也相同； (4) 若a=b，c=b,则a=c；

(5) 若|a|>|b|,则a>b；

(6) 由于零向量方向不确定,故它不能与任意向量平行. 【答案】

(1) 错；模相等,方向未必相同； (2) 错；模相等,方向未必相同；

(3) 正确；因两向量的模相等,方向相同,故当他们的起点相同时,则终点必重合； (4) 正确；由定义知是对的； (5) 错；向量不能比较大小；

(6) 错；规定:零向量与任意向量平行. 【变式2】在复平面中，已知点A（2，1），B（0，2），C（－2，1），O（0，0）. 给出下面的结论：

①直线OC与直线BA平行；②ABBCCA；③OAOCOB；④ACOB2OA.

1

其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C 【解析】kOC11211，kBA，∴OC∥AB，①正确； 22022∵ABBCAC，∴②错误； ∵OAOC(0,2)OB，∴③正确；

∵OB2OA(4,0)，AC(4,0)，∴④正确. 故选C. 类型二、平面向量的加减及其线性运算

例2. 如图，已知梯形ABCD中，AB//CD，且AB2CD，M、N分别是CD、AB的中点，设

ADa，ABb，试以a、b为基底表示DC、BC、MN.

【解析】连结ND，则

11ABb； 2211∵DCABbNB

22∴DC//NB，DCNB DC∴BCNDADANa又DM1b； 211DCb 241ba. 4∴MNDNDMCBDM【总结升华】①本题实质上是平面向量基本定理的应用，由于AD，AB是两个不共线的向量，那么平面内的所有向量都可以用它们表示出来.

②本题的关键是充分利用几何图形中的线段的相等、平行关系，结合平行向量、相等向量的概念，向量的线性运算，变形求解.

举一反三：

【变式1】在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，CD【答案】

1则=________.CACB，

32 3【解析】由图知CDCAAD ①

CDCBBD， ②

且AD2BD0。

2

①+②×2得：3CDCA2CB，∴CD122CACB，∴. 333【变式2】△ABC中，点D在AB上，CD平分ACB，若CBa，CAb，a1，b2，则

CD（ ）

2213443b B. ab C. ab D. ab 3335555【答案】B

A. a【变式3】如图,E为平行四边形ABCD边AD上一点,且AE131AD,设ABa，BCb，若4AF1AC，BFkBE，求k的值. 5 【解析】

11AC(ab) ① 551又BFkBEk(AEAB)k(b-a)

4k而BFAFa，∴AF(1k)a+b ②

44由①②解得k.

5【变式4】若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）

AFA．EFOFOE

B．EFOFOE C．EFOFOE

D．EFOFOE

【答案】B

【变式5】已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OAOBOC0，那么（ ） Ａ．AOOD 【答案】A

【解析】因为D为BC边中点，所以由平行四边形法则可知：OBOC2OD，

又OBOC2OA，所以ODOAAO. 例3.设两个非零向量a,b不共线，

（1）若ABa+b,BC2a+8b,CD3(a-b).求证：A，B，D三点共线. （2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线. 【解析】（1）证明：

Ｂ．AO2OD

Ｃ．AO3OD

Ｄ．2AOOD

ABa+b,BC2a+8b,CD3(a-b),

3

BDBCCD2a+8b3(a-b)5(a+b)5AB；

AB,BD共线，

又

它们有公共点B，A，B，D三点共线.

（2）

ka+b和a+kb共线，存在实数，使ka+b(a+kb)，

即(k)a(k1)b，

a,b是不共线的两个非零向量， kk10,k210.

k1.

【总结升华】

①证明三点共线问题，可以用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.

②向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数与方程思想的运用.

举一反三：

【变式1】已知平面内有一点P及一个△ABC，若PAPBPCAB，则（ ） A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上 C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上 【答案】D

【解析】∵PAPBPCAB，∴PAPBPCAB0，即PAPBBAPC0，

∴PAPAPC0，2PACP，∴点P在线段AC上.

【变式2】若a、b是两个不共线的向量,AB2a+kb,BCab，CDa2b,已知A、C、D三点共线,求实数k的值.

【答案】k7

【解析】ACABBC(2a+kb)(a+b)3a+(k1)b，CDa2b,

A,C,D三点共线,AC,CD共线, 令ACCD,不为零,

∴3a+(k1)b(a2b)a2b,

3,∴ ∴k7

k12. 4

【变式3】已知向量a、b不共线，cka+b(kR),da-b，如果c∥d，那么（ ） A．k=1且c与d同向 B．k=1且c与d反向 C．k=―1且c与d同向 D．k=―1且c与d反向 【答案】D

【解析】∵c∥d且a、b不共线，∴存在唯一实数使c=d，

kk1∴ka+b(a-b)∴，∴，故选D.

11【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193例2】

【变式4】已知向量a,b，且ABa2b,BC5a6b,CD7a2b,则一定共线的（ ） （A） Ａ、B、D （B） A、B、C

（C） B、C、D （D）A、C、D 【答案】A

类型三、平面向量的基本定理、坐标表示及综合应用 例4．设向量a(1,3)，b(x1,2)，c=a2b，d1ab若d//c，求使cd成立的实数2和x的值.

131ab(x,) 222135 ∵d//c，∴ (2x1)7(x)0，解得x，

223711∴c(,7)，d(,)

3627由cd 得(,7)(,)，

362∴7， 即14.

2【解析】由题知：ca2b(2x1,7)，d【总结升华】考查向量的坐标运算及平行垂直的坐标表示是考试命题的主要方式之一,准备掌握公式,灵活运用.

举一反三：

【变式1】已知a(1,2)，b(1,x)，若2ab,a2b是共线向量,求实数x的值; 【解析】由已知有: 2ab(3,4x)，a2b(1,22x)，

∵(2ab)//(a2b),

∴3(22x)1(4x)0,解得x2.

【变式2】设向量a=（1，2），b=（2，3）。若向量ab与向量c=（―4，―7）共线，则λ=________. 【答案】2

5

【解析】ab(2,23)， ∵(ab)//c，∴7(2)4(23)2. 故填2. 【变式3】如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC3BD，|AD|1，

则ACAD________.

【答案】3 【解析】 建系如图所示: 令B（xB，0），C（xC，yC），D（0，1），

∴BC(xCxB,yC)，BD(xB,1)，BC3BD，

xCxB3(xB)xC(13)xB∴，∴， yC3yC3AC((13)xB,3)，AD(0,1)，则ACAD3. 【变式4】若平面向量a、b满足ab1,ab平行于x轴，b(2,1)，则a=________. 【答案】（―1，1）或（―3，1）

【解析】设a=（x，y），则ab=（x+2，y―1），

(x2)2(y1)21y1y1由题意得或.

x1x3y10∴a=（―1，1）或（―3，1）.

【高清课堂：平面向量的概念与线性运算401193例3】

【变式5】若直线2xyc0按向量a(1,1)平移后与圆xy5相切，则c的值为（ ） A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8

【答案】A

222例5．A，B，C是不共线三点，点O是A，B，C确定平面内一点，若|OA||OB||OC|取最小值

22时，O是△ABC的（ ）

A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】A

【解析】设O（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）

则S|OA||OB||OC|

222222 (xx1)(yy1)(xx2)(yy2)(xx3)(yy3)

22222222 3x2(x1x2x3)xx1x2x33y2(y1y2y3)yy1y2y3

222 3(xx1x2x32yy2y32)3(y1)k 336

则当xx1x2x3yy2y3且y1时，Smink，故选A. 33【总结升华】关注三角形的“心”，包括三角形的重心、垂心、外心、内心和旁心.

举一反三：

【变式1】在ABC中，点O满足OAABOAAC，则点O在ABC的（ ）上 A.角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高 【答案】D；

【解析】∵OAABOAAC，∴OAABOAAC0，

即OA(ABAC)0，∴OACB0， ∴OACB，所以点O在ABC的高上.

BOBCCOCB，【变式2】平面△ABC及一点O满足AOABBOBA，则点O是△ABC的（ ）

A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心

【答案】选D.

【解析】由AOABBOBA得AB(AOBO)0

22∴(OBOA)(OBOA)0 即|OB||OA|

∴|OB||OA|，

同理|OB||OC|，故选D.

【变式3】平面内ABC及一点O满足

AOABAOACCOCACOCB，，则点O是ABC|AB||AC||CA||CB|的（ ）

（A）重心 （B）垂心 （C）内心 （D）外心 【答案】C

【解析】对于

ABAOABAOACeAB，即为AB方向上的单位向量. 的理解，其中|AB||AC|AB【变式4】在ABC中，点O满足OAOBOC0，则点O在ABC的（ ）上 A.角平分线 B. 中线 C.中垂线 D. 高

【答案】B；

【解析】如图，以OB、OC为邻边作平行四边形BDCO，

则OBOCODOA，

则点A、O、D三点共线，而且在平行四边形BDCO中，点E为BC的中点， 所以AE为ABC的中线

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