江苏省扬州中学2010年高三第四次模试题

江苏省扬州中学2010年高三第四次模试题

数 学 试 卷

审核人：张浩 校对：陈亮

2010.5

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）

a1. 集合M3,2,Na,b,若MN2，则MN= ．

2.在复平面内，复数

2对应的点到直线yx1的距离是 ． 1ilog2x(x0)13.已知函数f(x)x，则ff()的值为_____________．

4(x0)34. 在ABC，A60，BC2，AC23，则ABC的形状为 ． 35.若方程lnx2x100的唯一解为x0，且x0(k,k1),kN，则k ． 6.已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：①若a//b，bc，则ac； ②若ab，bc，则a//c；③若a//，b，则a//b；④若a，b，则ab；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a、b都垂直．其中真命题是 ．（把符合条件的序号都填上）

7. 设OA(1,2)，OB(a,1)，OC(b,0)，a0,b0,O为坐标原点，若A、B、

C三点共线，则ab的最大值是 ．

8.若数列{an}的通项公式an1，记f(n)2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算2(n1)f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n) ．

x9. 在同一平面直角坐标系中，已知函数yf(x)的图象与ye的图象关于直线yx对称，

则函数yf(x)对应的曲线在点（e,f(e)）处的切线方程为 ． 10. 如图，在ABC中，CABCBA30，AC、BC 边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 .

E A C D B

11.如果执行下面的程序框图，那么输出的S值为 .

12.定义：关于x的两个不等式fx0和gx0的解集分别为a,b和，，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式x43xcos220与不等式

211ba2x24xsin210为对偶不等式，且,，则 .

213. 已知函数f(x)13xax2bx（a,bR），若yf(x)在区间1,2上是单调减函3数，则ab的最小值为 .

14. 已知连续2n1(nN*)个正整数总和为a，且这些数中后n个数的平方和与前n个数的平方和之差为b．若

a11，则n的值为 ． b60二、解答题：（本大题共6小题，计90分）

15.某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数） 分成六段40,50，50,60…90,100后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息， 回答下列问题：

(Ⅰ)求分数在70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； (Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为60,80的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段70,80的概率.

第15题图

16. 已知向量a(sin，,cosb(6sincos,7sin2cos)，设函数

f()ab．

（1）求函数f()的最大值；

（2）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f(A)6，且ABC的面积为3，bc232，求a的值．

17. 如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABC D． （1）证明：BD⊥AA1；

（2）证明：平面AB1C//平面DA1C1

（3）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，

说明理由．

18.如图，已知圆O:xy2交x轴于A、B两点，P在圆O上运动（不与A、B重合），过P作直线l1，OS垂直于l1交直线l2:x3于点S．

（1）求证：“如果直线l1过点T(1,0)，那么OPPS1”为真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

y S

l2 P l1

A T O B

22X

*19. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且点Pn(an1,Sn)(nN)在函数f(x)x1的图

象上．

（1）求a1的值；

（2）若数列{bn}满足：41424n4n(1Sn)n，且b25．求数列{bn}的通项公式．

20.设f(x)x2bxc(b、cR)．

（1）若f(x)在[2,2]上不单调，求b的取值范围； （2）若f(x)|x|对一切xR恒成立，求证：b14c；

2bbbb12x23)的最大值为1，求b、c满足的条件．（3）若对一切xR，有f(x)0，且f(2

xx1

加试部分

21．[选做题]

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，

BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证： （1）l是⊙O的切线； （2）PB平分∠ABD．

B．选修4—2：矩阵与变换

二阶矩阵M对应的变换将点(1,1)与(2,1)分别变换成点(1,1)与(0,2)．求矩阵M；

C．选修4—4：坐标系与参数方程

π

若两条曲线的极坐标方程分别为=l与=2cos(θ+3)，它们相交于A，B两点，求线

段AB的长．

D．选修4—5：不等式选讲

求函数f(x)2x12x的最大值．

[必做题]

22．（本小题10分）口袋中有n(nN*)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取

到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X．若P(X2)7，求： 30 （1）n的值；

（2）X的概率分布与数学期望．

23．（本小题10分）已知曲线C:y1y轴的平行线交曲线C于Q1，(x0)，过P1(1,0)作

xC于Q2，照此下去，过Q1作曲线C的切线与x轴交于P2，过P2作与y轴平行的直线交曲线

*得到点列P1,P2,，和Q1,Q2,，设|PQnn|an，2|QnQn1|bn(nN)．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：b1b2bn2n2n；

（3）求证：曲线C与它在点Qn处的切线，以及直线Pn1Qn1所围成的平面图形的面积与正整数n的值无关．

2010届高三数学模拟试卷参考答案

审核人：张浩 校对：陈亮

2010.5

1.{1,2,3} 2. 8.

121 3. 4. 直角三角形 5.4 6. ①④ 7.

892n21 9.yx. 10.

en13 11.

20465312. 14.5 13.22047 6

15. （Ⅰ）分数在70,80内的频率为：

1(0.0100.0150.0150.0250.005)10

10.70.3，故

如图所示：

（Ⅱ）平均分为：

0.30.03， 10x450.1550.15650.15750.3850.25950.0571．

（Ⅲ）由题意，60,70分数段的人数为：0.15609人；

70,80分数段的人数为：0.36018人；

∵在60,80的学生中抽取一个容量为6的样本，

∴60,70分数段抽取2人，分别记为m,n；70,80分数段抽取4人，分别记为a,b,c,d； 设从样本中任取2人，至多有1人在分数段70,80为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有：

(m,n)、(m,a)、(m,b)、(m,c)、(m,d)、……、(c,d)共15种， 则事件A包含的基本事件有：

(m,n)、(m,a)、(m,b)、(m,c)、(m,d)、(n,a)、(n,b)、(n,c)、(n,d)共9种， ∴P(A)93． 15516. （1）422；（2）10. 17. 证明：⑴连BD，∵ 面ABCD为菱形，∴BD⊥AC 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD， 则BD⊥平面AA1C1C 故： BD⊥AA1 ⑵连AB1，B1C，由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知 AB1//DC1，AD//B1C，AB1∩B1C=B1,A1D∩DC1=D

由面面平行的判定定理知：平面AB1C//平面DA1C1 ⑶存在这样的点P

因为A1B1∥AB∥DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形． ∴A1D//B1C

在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，

因B1B∥CC1，∴BB1∥CP，∴四边形BB1CP为平行四边形 则BP//B1C，∴BP//A1D∴BP//平面DA1C1

18. （1）设P(x0,y0)(y00)，则x02y022．当x01时，

直线l1过点T(1,0)，

S(3,0)，即PS(3x0,y0)，OPPS3x0x02y021．当x01时，直

线l1过点T(1,0)，直线l1的斜率k1y0x1，直线OS的斜率k0，其方程为x01y0yx013x33x3x，S(3,0)，即PS(3x0,0y0)． y0y0y0OPPS3x0x023x03y02321．故“如果直线l1过点T(1,0)，那么OPPS1”为真命题．

（2）逆命题为：如果OPPS1，那么直线l1过点T(1,0)．逆命题也为真命题，以下给出证明：设S(3,t),P(x0,y0)(y00)，则PS(3x0,ty0)，

OPPS1，

3x0x02ty0y021，又x02y022，t=33x0．当x01时，直线l1的方程y0x01，直线l1的方程为y0为x1，显然过点(1,0)；当x01时，直线OS的斜率kyy0y0(xx0)，令y0，得x1，直线l1过定点(1,0)．综上，直线l1恒过x01定点(1,0)．

*19. 解（1）因为点Pn(an1,Sn)在函数f(x)x1的图象上，所以Snan11(nN)，因

为S1a1a21，a2a11，a1a2S2a31，a32a12．又数列{an}为等比数列，所以a22a1a3，即(a11)a1(2a12)，故a11，或a11（舍去）．

（2）由（1）知数列{an}是以a11为首项，q2为公比的等比数列．所以

2

1(12n)12n，1Sn2n．由4b14b24bn4b1b2bn4n(1Sn)bn Sn1222n2nbn22nnbn，得2(b1b2bn)2nnbn对nN*成立． ①

则2(b1b2bnbn1)2(n1)(n1)bn1对nN成立． ②

②-①，得2bn12(n1)bn1nbn，即(n1)bn12nbn对nN成立． ③ 则有nbn22(n1)bn1对nN成立． ④

④－③，得nbn2(n1)bn1(n1)bn1nbn，n(bn2bn)2nbn1，即bn2bn2bn1对nN成立．由等差数列定义，知{bn}为等差数列．当n1时，由①式得2b12b1，

****b12，则公差db2b13，所以bn23(n1)3n1(nN*)．

20.（1）由题意22b2，4b4； 222(b1)4c02b+14c； （2）须xbxcx与xbxcx同时成立，即，2(b1)4c0（3）因为|x1|2，依题意，对一切满足|x|2的实数x，有f(x)0． x2①当f(x)0有实根时，f(x)0的实根在区间[2,2]内，设f(x)xbxc，所以

f(2)042bc02x2312x2322(2,3]，于是，f(2)的，即42bc0，又2f(2)0x1x1x14b4b222b8042b3b80bc1，从而c3b8．故42b3最大值为f(3)1，即93，即

4b44b5，解得b4,c4． b44b42②当f(x)0无实根时，b4c0，由二次函数性质知，f(x)xbxc在(2,3]上

2

2x23)无最大值．于是，的最大值只能在区间的端点处取得，所以，当f(2)f(3)时，f(2x12x23f(2)存在最大值的充要条件是f(2)f(3)，即42bc93bc，所以，x12x23b5．又f(2)的最大值为f(3)1，即93bc1，从而c3b8．由

x12b24c0，2b320，得b1即8b4．所以b、c满足的条件为3bc80且5b4．综上：3bc80且5b4.

加试部分

21A．证明：（1）连结OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC//BD．

又OA=OB，PC=PD，所以OP//BD，从而OP⊥l． 因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．

（2）连结AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP．

又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°， 所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD． 21B.M12； 342221C．由1得xy1，

11A3An3n722.（1）由题知P(X2), 2(n3)(n2)30An3

即7n255n420,即(7n6)(n7)0. 因为nN*,所以n7. （2）由题知，X的可能取值为1，2，3，4，所以

11A7A32A7777P(X1)1,P(X2),P(X3),330120A1010A10P(X4)17771,1030120120

所以，X的概率分布表为

X P 1 2 3 4 7 107 307 1201 120 777111234. 1030120120811答X的数学期望是.

811/23.（1）y,y2．设Qn(xn,yn)，则直线QnPn1的方程为

xx所以E(X)1yyn12y0，令，得(xx)xxxynn1nnnxn2，xnyn1,xn12xn，则数列{xn}是首项为1，公比为2的等比数列，于是xn2n1．从而

an|PnQn|yn11n1． xn2（2）

Qn(11,an),Qn1(,an1)， anan1bn2|QnQn1|2(112)(anan1)2 anan12(2n12n)2(11212n12)2(2)()． n1nn222222利用2(ab)(ab)(a0,b0)，当且仅当ab时取等号，得

n121111n1bn2(2)(n)2n．于是bi(1)(22)(2n1n)

22222i1n1211(1)n111121n122(122)(2+n)2nn．

1222122121y（3）曲边三角形QnP是由曲线与直线PQn1n1n1Qn1、切线QnPn1所围成的图形．于

xn是Sxn1xn2xn11x2x2x22x2xn[(2)]dx(2)dx[lnx]xn 2xnxxnxnxxnxn2xnxn11(ln2xn24)(lnxn2)ln2，与n无关，为定值．

22