2019年高考全国2卷文科数学及其答案

文科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。 1．已知集合A={x|x1}，B{x|x2}，则A∩B＝ A．(–1，＋∞） B．(–∞，2） C．(–1，2） 2．设z＝i(2＋i），则z＝ A．1＋2i B．–1＋2i C．1–2i 3．已知向量a＝(2，3），b＝(3，2），则|a–b|＝

D． D．–1–2i

A．2 B．2 C．52 D．50

4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A．

2 3B．

3 5C．

2 5D．

1 55．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为

A．甲、乙、丙 C．丙、乙、甲

xB．乙、甲、丙 D．甲、丙、乙

6．设f (x）为奇函数，且当x≥0时，f (x）＝e1，则当x<0时，f (x）＝ A．e1 B．e1 C．e1 D．e1 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 8．若x1＝

xxxx，x2＝是函数f (x）＝sinx(>0）两个相邻的极值点，则＝ 4431A．2 B． C．1 D．

222

x2y21的一个焦点，则p＝ 9．若抛物线y＝2px（p>0）的焦点是椭圆

3ppA．2 B．3 C．4 10．曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，–1）处的切线方程为 A．xy10 C．2xy210

D．8

B．2xy210 D．xy10

文科数学试题 第 1 页（共 7 页）

11．已知a∈（0，A．

π），2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝ 2B．1 55 5C．3 3D．25 5x2y212．设F为双曲线C：221（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的

ab222

圆与圆x＋y＝a交于P、Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为

A．2 B．3 C．2 D．5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2x3y60，13．若变量x，y满足约束条件xy30，则z＝3x–y的最大值是_______．

y20，14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正

点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA＋acosB＝0，则B＝_____． 16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体

或圆柱体，但南北朝时期的独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面

体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

三、解答题： 17．（12分）

如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1

上，BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥EBB1C1C的体积．18．（12分）

文科数学试题 第 2 页（共 7 页）

已知{an}是各项均为正数的等比数列，a12,a32a216． （1）求{an}的通项公式；

（2）设bnlog2an，求数列{bn}的前n项和．

19．（12分）

某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．

y的分组 [0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0．01）

附：748.602．

20．（12分）

x2y2已知F1,F2是椭圆C:221(ab0)的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原

ab点．

（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P，使得PF1PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

21．（12分）

已知函数f(x)(x1)lnxx1．证明： （1）f(x)存在唯一的极值点；

（2）f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

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（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，O为极点，点M(0,0)(00)在曲线C:4sin上，直线l过点

A(4,0)且与OM垂直，垂足为P．

（1）当0=



时，求0及l的极坐标方程； 3

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知f(x)|xa|x|x2|(xa). （1）当a1时，求不等式f(x)0的解集； （2）若x(,1)时，f(x)0，求a的取值范围．

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2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学·参

一、选择题

1．C 7．B 二、填空题

13．9

2．D 8．A

3．A 9．D

4．B 10．C

5．A 11．B

6．D 12．A

14．0．98 15．

3π 416．26，21

三、解答题： 17．解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，

故B1C1BE．又BEEC1，所以BE⊥平面EB1C1．

（2）由（1）知∠BEB1＝90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以

AEBA1EB145，故AE＝AB＝3，AA12AE6．

作EFBB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EFAB3． 所以，四棱锥EBB1C1C的体积V136318． 3

2218．解：（1）设an的公比为q，由题设得2q4q16，即q2q80．

n12n1解得q2（舍去）或q＝4．因此an的通项公式为an242．

（2）由（1）得bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和为

132n1n．

14720.21．产值负增长的企业频率为0.02． 10010019．解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%

的企业频率为

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，

产值负增长的企业比例为2%． （2）y21(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30， 100152snyyii100i1122222(0.40)2(0.20)240530.20140.407 100=0.0296， s0.02960.02740.17，

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所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．

20．解：（1）连结PF1，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，F1PF290，

PF2c，PF13c，于是2aPF1PF2(31)c，故C的离心率是ec31． a1|y|2c16，2（2）由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在当且仅当

x2y2yy1，221，即c|y|16，①

abxcxcx2y2c2，②

x2y21，③ a2b2b41622由②③及abc得y2，又由①知y2，故b4．

cc2222a222222222由②③得x2cb，所以cb，从而abc2b32,故a42．

c2当b4，a42时，存在满足条件的点P．所以b4，a的取值范围为[42,)． 21．解：（1）f(x)的定义域为（0，＋）．

x11lnx1lnx． xx1因为ylnx单调递增，y单调递减，所以f(x)单调递增，又f(1)10，

x1ln41f(2)ln20，故存在唯一x0(1,2)，使得fx00．

22f(x)又当xx0时，f(x)0，f(x)单调递减；当xx0时，f(x)0，f(x)单调递增．

因此，f(x)存在唯一的极值点．

（2）由（1）知fx0f(1)2，又fe内存在唯一根x．由x01得又fe2230，所以f(x)0在x0,11x0．

f()111111ln10，故是f(x)0在0,x0的唯一根． 文科数学试题 第 6 页（共 7 页）

综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 22．解：（1）因为M0,0在C上，当0由已知得|OP||OA|cos时，04sin23． 332． 3|OP|2， 3设Q(,)为l上除P的任意一点．在Rt△OPQ中cos经检验，点P(2,)在曲线cos32上． 3所以，l的极坐标方程为cos2． 3（2）设P(,)，在Rt△OAP中，|OP||OA|cos4cos, 即 4cos．． 因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,．

42所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,, ．

4223．解：（1）当a＝1时，f(x)=|x1| x+|x2|(x1)．

当x1时，f(x)2(x1)0；当x1时，f(x)0． 所以，不等式f(x)0的解集为(,1)． （2）因为f(a)=0，所以a1．

当a1，x(,1)时，f(x)=(ax) x+(2x)(xa)=2(ax)(x1)<0． 所以，a的取值范围是[1,)．

2文科数学试题 第 7 页（共 7 页）