指数函数及其性质

课题： §2.1.2 指数函数及其性质（1）

教学目标：

1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；

2. 理解指数函数的概念和意义；

3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.

教学重点：指数函数的图象及其性质．

教学难点: 指数函数的图象、性质与底数a的关系． 教学方法：探究、精讲

学习方法: 自主、合作探究学习法 教学过程:

一、课前准备

（预习教材P54~ P57，找出疑惑之处）

复习1：零指数、负指数、分数指数幂怎样定义的？

（1）a0 ；（2）an ；  . （3）a ；a其中a0,m,nN*,n1

复习2：有理指数幂的运算性质.

（1）am（2）(am)n ； an ；

mnmn（3）(ab)n . 二、新课导学 学习探究

探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念 实例：

A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？

B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？

讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？

新知：一般地，函数yax(a0,且a1)叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.

反思：为什么规定a＞0且a≠1呢？否则会出现什么情况呢？

探究任务二：指数函数的图象和性质

引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 回顾：

研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．

1

作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：

1 y()x， y2x

2

讨论：

11（1）函数y2x与y()x的图象有什么关系？如何由y2x的图象画出y()x的图象？

22

1（2）根据两个函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. 变底数为3或后呢？

3

新知：根据图象归纳指数函数的性质. a>1 0例1函数f(x)ax（a0,且a1）的图象过点(2,)，求f(0),f(1),f(1)的值.

小结：①确定指数函数重要要素是 ； ② 待定系数法.

例2比较下列各组中两个值的大小：

（1）20.6,20.5； （2）0.92,0.91.5 ； （3）2.10.5,0.52.1 ； （4）

小结：利用单调性比大小；或间接利用中间数. ※ 动手试试

练1. 已知下列不等式，试比较m、n的大小：

2

23与1.

22（1）()m()n； （2） 1.1m1.1n.

33

练2. 比较大小：

（1）a0.80.7,b0.80.9,c1.20.8； （2）10,0.42.5,20.2,2.51.6.

三、总结提升 学习小结

①指数函数模型应用思想；②指数函数概念；③指数函数的图象与性质；③单调法.

知识拓展

因为yax(a0，且a1)的定义域是R， 所以yaf(x)(a0，且a1)的定义域与f(x)的定义域相同. 而y(ax)(a0，且a1)的定义域，由y(t)的定义域确定. 课后作业

11. 求函数y=x的定义域.

51x1

2. 探究：在[m，n]上，f(x)ax(a0且a1)值域？

3课本P64课本P65习题2.1 A组6，7，8

3

高一数学必修1第二章 基本初等函数 导学案

课题：§2.1.2 指数函数及其性质（2）

教学目标：

1. 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；

2. 掌握指数型函数的定义域、值域，会判断其单调性； 3. 培养数学应用意识.

教学重点：指数函数的的概念和性质．

教学难点: 用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 教学方法：探究、精讲

学习方法: 自主、合作探究学习法 教学过程:

一、课前准备

（预习教材P57~ P60，找出疑惑之处）

复习1：指数函数的形式是 ， 其图象与性质如下

复习2：在同一坐标系中，作出函数图象的草图： a>1 0图 2 1象 y5x,y()x, 5 (1)定义域： 1xxy10,y(). 性 (2)值域： 10质 (3)过定点：

(4) 单调性：

思考：指数函数的图象具有怎样的分布规律？ 二、新课导学 ※ 典型例题

例1截止到1999年底，我国人口大约13亿，如果今后能将人口平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）

小结：学会读题摘要；掌握从特殊到一般的归纳法.

试试：2007年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？多少年后产值能达到120亿？

小结：指数函数增长模型.

设原有量N，每次的增长率为p，则经过x次增长后的总量y= . 我们把形如ykax (kR,a0,且a1)的函数称为指数型函数.

4

例2 求下列函数的定义域、值域：

（1）y21; （2）y3; （3）y0.4.

变式：单调性如何？

小结：单调法、基本函数法、图象法、观察法.

1试试：求函数y2x的定义域和值域，并讨论其单调性.

2

※ 动手试试

练1. 求指数函数y2x

2x5x11x11的定义域和值域，并讨论其单调性.

练2. 已知下列不等式，比较m,n的大小.

（1）3m3n； （2）0.6m0.6n； （3）aman(a1) ；（4） aman(0a1).

33

练3. 一片树林中现有木材30000 m，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y m，写出x，y间

3

的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m.

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 指数函数应用模型ykax(kR,a0且a1)； 2. 定义域与值域； 2. 单调性应用（比大小）.

课后作业 1. 已知函数f(x)=a－

2x12. 求函数yx的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.

21

3．课本59页5，9题

5

2(a∈R)，求证：对任何aR， f(x)为增函数. 2x1高一数学必修1第二章 基本初等函数 导学案 课题： §2.1.2 指数函数及其性质（3-4课时）

一、选择

31．将52写为根式，则正确的是( ) A.3

52 B.3

55 C.3

2

D.53

2.根式

11

aa(式中a＞0)的分数指数幂形式为( )

4433A．a3 B．a3 C．a4 D．a4

3.(a－b)2＋5(a－b)5

的值是( )

A．0 B．2(a－b) C．0或2(a－b) D．a－b 4．下列各式正确的是( )

A.(－3)2＝－3 B.4a4＝a C.22＝2 D．a0

＝1

5．若xy≠0，那么等式 4x2y3＝－2xyy成立的条件是( ) A．x<0，y>0 B．x<0，y<0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0 6．函数y3x与y3x的图象关于下列那种图形对称( )

A．x轴 B．y轴 C．直线yx D．原点中心对称

7．若(12a＋113－2)<(2

)2a，则实数a的取值范围是( )

A．(1，＋∞) B．(12，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1

2

) x8. 已知函数f(x)＝2＋1，x＜1

[f(0)]＝4a，则实数a等于( )



x2

＋ax，x≥1，

若fA.12 B.4

5

C．2 D．9 9．不论a取何正实数，函数f(x)＝ax＋1

－2恒过点( )

A．(－1，－1) B．(－1,0) C．(0，－1) D．(－1，－3)

10．使不等式23x－1

＞2成立的x的取值为( )

A．(211

3，＋∞) B．(1，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－3

，＋∞)

11．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象可能是(

12．设y1＝40.9

，y2＝8

0.48

，y1－1.5

3＝(2

)，则( )

A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2

13. 设11b1a3<(3)<(3

)<1，则( )

A．aa14．函数y＝ax(a>0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为( ) 6

)

11A. B．2 C．4 D. 24

－|x|

15．设函数f(x)＝a(a＞0且a≠1)，f(2)＝4，则( ) A．f(－1)＞f(－2) B．f(1)＞f(2) C．f(2)＜f(－2) D．f(－3)＞f(－2) 二、填空（每题4分，共计16分）

x＋1

16．方程4－4＝0的解是x＝________.

2x＋b17．函数y＝a＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)，则b＝________.

x18．当x∈[－1,1]时，f(x)＝3－2的值域为________．

1

19．已知函数f(x)＝a－x，若f(x)为奇函数，则a＝________.

2＋1

三、解答题（共计39分） 20．（本题15分）计算：

11（1）2(2)2；

40231104（2）0.064()160.252；

8139111822（3）()()4()3.

251027

（4）abab(a0,b0)

（5）

1x－31xx21．（本题8分）已知2≤()，求函数y＝()的值域．

42

1|x|

22．（本题8分）画出函数y＝()的图象，根据图像求出函数的值域和单调区间.

2

7

4232(ab)ab6231121213ab5

x＋1x23．（本题8分）已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2·3－9的值域．

答案： 一、选择 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 C 5 A 6 B 7 B 8 Ｃ 9 Ａ 10 Ａ 11 B 12 D 13 C 14 B 15 Ｄ 二、填空

16. 0 17. -2 18. [,1] 19.

11531 241120．（1） （2）10 （3）15 （4）a6b3 （5）1

81x－3xx－2x＋6

21.解：由2≤()，得2≤2，

4

1x121

∴x≤－2x＋6，∴x≤2.∴()≥()＝，

224

1x1

即y＝()的值域为[，＋∞)．

24

22.解：

x (x≥0)

因为|x|＝，

－x (x<0)

1x故当x≥0时，函数为y＝()；

21－xx1x1xx当x<0时，函数为y＝()＝2，其图象由y＝()(x≥0)和y＝2(x<0)的图象合并而成．而y＝()(x222

x≥0)和y＝2(x<0)的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称．由图象可知值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．

x＋1xx2x23.解：f(x)＝3＋2·3－9＝－(3)＋6·3＋3.

x令3＝t，

22

则y＝－t＋6t＋3＝－(t－3)＋12.

1

∵－1≤x≤2，∴≤t≤9.

3

∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12； 当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24， 即f(x)的最大值为12，最小值为－24. ∴函数f(x)的值域为[－24,12]．

8

高一数学必修1第二章 基本初等函数 导学案

课题： §2.1.1 指数与指数幂的运算（1）

教学目标：

1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；

2. 了解根式的概念及表示方法； 3. 理解根式的运算性质.

教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；

（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；

教学难点: 分数指数幂及根式概念的理解 教学方法：探究、精讲

学习方法: 自主、合作探究学习法 教学过程:

一、课前准备

（预习教材P48~ P50，找出疑惑之处）

复习（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 ； 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 ，记作 . 二、新课导学 学习探究

探究任务一：指数函数模型应用背景

探究下面实例及问题，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性. 问题1：国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？

问题2：生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P与死

t15730亡时碳14关系为P(). 探究该式意义？

2

小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 探究任务二：根式的概念及运算

考察： (2)24，那么2就叫4的 ； 3327，那么3就叫27的 ；

(3)481，那么3就叫做81的 . 依此类推，若xna,，那么x叫做a的 . 新知：一般地，若xna,那么x叫做a的n次方根 ( n th root )，其中n1,n. 简记：na. 例如：238，则382. 反思：

当n为奇数时, n次方根情况如何？ 例如：3273，3273, 记：xna. 当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如：81的4次方根就是 ，记：na. 强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，即n00.

9

试试：b4a，则a的4次方根为 ； b3a，则a的3次方根为 . 新知：像na的式子就叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）.

试试：计算(23)2、343、n(2)n.

反思：

从特殊到一般，(na)n、nan的意义及结果？

a(a0)结论：(na)na. 当n是奇数时，nana；当n是偶数时，nan|a|.

a(a0)典型例题

例1求下类各式的值：

（1） 3(a)3； （2） 4(7)4； （3）6(3)6； （4） 2(ab)2（ab）.

变式：计算或化简下列各式. （1）532； （2）3a6.

动手试试

练1. 化简526743642. 练2. 化简2331.5612.

三、总结提升

学习小结1. n次方根，根式的概念；

2. 根式运算性质.

知识拓展

1. 整数指数幂满足不等性质：若a0，则an0. 2. 正整数指数幂满足不等性质： ① 若a1，则an1；

② 若0a1，则0an1. 其中nN*.

课后作业 1. 计算：（1）5a10； （2） 379. 2. 计算a3a4和a3(8)，它们之间有什么关系？ 你能得到什么结论？

anannnn3. 对比(ab)ab与()n，你能把后者归入前者吗？

bb4. 若ｘ＜２，则

x24x43x的值是 ．

10

5． P69习题2.1 A组 第1题

高一数学必修1第二章 基本初等函数 导学案

课题： §2.1.1 指数与指数幂的运算（2）

教学目标：

1. 理解分数指数幂的概念；

2. 掌握根式与分数指数幂的互化； 3. 掌握有理数指数幂的运算.

教学重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值. 教学难点: 有理指数幂性质的灵活应用. 教学方法：探究、精讲

学习方法: 自主、合作探究学习法 教学过程:

一、课前准备

（预习教材P50~ P53，找出疑惑之处）

复习1：一般地，若xna，则x叫做a的 ，其中n1,n. 简记为： . 像na的式子就叫做 ，具有如下运算性质： (na)n= ； nan= . 复习2：整数指数幂的运算性质.

（1）am（2）(am)n ； （3）(ab)n . an ；二、新课导学

学习探究

探究任务：分数指数幂

引例：a>0时，a5(a)aa，则类似可得 3a12 ；

510252105 a(a)a ，类似可得a .

新知：规定分数指数幂如下 aamnnm*32323323(a0,m,nN,n1)； amn1amn1nam(a0,m,nN*,n1).

试一试：

（1）将下列根式写成分数指数幂形式：

235= ； 354= ； am= (a0,mN).

23254352（2）求值：8= ； 5= ； 6= ； a= .

反思：

① 0的正分数指数幂为 ；0的负分数指数幂为 . ② 分数指数幂有什么运算性质？ 小结：

规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

指数幂的运算性质： （a0,b0,r,sQ） ar·arars； (ar)sars； (ab)raras． 典型例题

11

25233例1 求值：27；16； ()；()3.

495

2343

变式：化为根式.

例2 用分数指数幂的形式表示下列各式(b0)： （1）b2b； （2）b35b3； （3）3b4b.

例3 计算（式中字母均正）：

（1）(3ab)(8ab)(6ab)； （2）(mn).

小结：例2，运算性质的运用；例3，单项式运算. 例4 计算：

a3（1） (a0)；

34aa

（2）(2mn)(mn3)6 (m,nN)；

（3）(416332)464.

小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.

反思：

① 32的结果？

结论：无理指数幂.（结合教材P53利用逼近的思想理解无理指数幂意义）

② 无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？

12

2351012231212131656143816 动手试试 练1. 把xx2

133化成分数指数幂. 85

8a34练2. 计算：（1）3327； （2）().

125b3

3446

三、总结提升 ※ 学习小结

①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 若a0，且m,n为整数，则下列各式中正确的是（ ）. A. aaa B. amanamn C. amamn D. 1ana0n

n32mnmn2. 化简25的结果是（ ）.

A. 5 B. 15 C. 25 D. 125 3. 计算2的结果是（ ）.

22A．2 B．2 Ｃ． D．

22232124. 化简27m= .

n3mn25. 若102,104，则10课后作业

1. 化简下列各式： a23632（1）()； （2）b49

3= .

b3aa. b3b3122. 计算：. 3aa223ab43a4

a483ab 13