(整理)导数讲稿版版(网络版)

关于模块2-2(1-1)“导数及其应用”的教学体会(2013.11)

北大附中 李宁

一，全章知识地位及作用

函数是中学数学的一个核心概念，对函数的研究在高中阶段最详细实践我认为就是三角函数了.这种实践包括对函数定义域、对应法则、函数性质、图象及应用的研究.而在研究过程中对函数单调性的研究又是重中之重.这种研究过程为其他函数的研究提供范例. 考虑如下问题，

问题1 绘制函数g(x)111的图象. x1x1x问题2 x在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把

xx它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长

x60是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

60以上这些问题重点都在“应用”上(这种应用是指利用函数的某

种性质或相关结论从函数角度对问题进行处理)，在应用过程中，对已知函数或构造函数的性质研究是必不可少的.就问题1、2及其拓展问题而言，虽然函数解析式并不复杂，但脱离“导数使用”的初等方法可能是相当烦琐或较强技巧性的.一个有意思的做法是问题1是否可作为本章的起始问题和终结问题呢，而问题提出应注意避免“使用导数”的暗示.

应该说导数准确的揭示了自变量变化对相应函数值变化的影响，是对函数关系作为一种特殊对应关系认识的提升，“它的发展和广泛应用，开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.导数概念是微积分的核心概念之一，具有丰富的实际背景和广泛的应用(《数学课程标准》56页)”.内涵是深刻的，表达是简洁的，应用是广泛的，是准备继续接受高等教育的学生必要的知识储备.

二，全章知识内容及结构

以课标为主兼顾课本及考题的前提下参考三方面专家的意见，可能对所授内容及其广度和深度的理解是有帮助的.

在课程标准中，对导数这一章知识内容的描述如下： “在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数．．．．概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微．．．．．．积分打下基础.通过该模块的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，．．．．了解微积分的文化价值.” (《数学课程标准》56页) ．．

从认识问题的过程讲，对导数认识的步骤同对函数认识的步骤是一致的，刚才提到的三角函数就是一个很好的类比对象.在中学阶段，我觉得从映射角度看，函数运算使两个数集之间建立起关系，作为原象集中的每个数应使函数运算有意义.求导运算使两个由函数组成的集合建立起关系，当然作为原象集中的每个函数要可导.因此知识的拓展步骤都是定义，运算，应用.另外，从知识体系的发展历程讲积分和导数(微分)在开始是并行的，最终通过微积分基本定理得以统一.由于“本章的重点是导数的运算和利用导数解决实际问题(《选修2-2教师用书》2页)”，因此，就2-2和1-1比较来看，对高中文科学生的要求减少了积分部分应是无大碍的，同时考虑到文科学生的特点，对函数研究对象的选用，较理科而言，文科更倾向于次数较低的多项式函数或简单的有理函数，如“在1-1课本104页巩固与提高中，就删减了在2-2课本47页巩固与提高中出现的函数

-------------

-------------

y(10x3)100,yln(6x4)等，同时删减跨学科问题，如2-2涉及热膨胀率问题(9页例2)及电路问题(33页例

4)等.除此之外，文理在本章的知识主体是相同的.一个想法是对比1-1和2-2，从知识的重叠部分看，是否可显示出课本编者对符合课标要求的导数重点知识选择取向呢？

再者，历年高考中所涉及本章知识的问题，反映了高教体系中的部分教师学者对本章知识在中学阶段应下放到何种程度的考量，是否也可从一个侧面为我们理解本章知识讲授的深度和广度提供参考角度呢！

以下是13年高考的几个实例. 问题3-2013北京理18 ln x

设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．

x

(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方． 问题4-2013浙江理22 已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.

(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0，2]时，求|f(x)|的最大值． 问题5-2013广东理21 设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)．

1

(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k∈2，1时，求函数f(x)在[0，k]上的最大值M. 问题6-2013天津理20 已知函数f(x)＝x2ln x.

(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：对任意的t>0，存在唯一的s，使t＝f(s)； 2ln g（t）1

(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s＝g(t)．证明：当t>e2时，有<<. 5ln t2

问题7-2013山东理21 x设函数f(x)2xc(e＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈R)．

e(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数．

三，全章教学过程的一点体会

本章内容是高考的重点内容之一，但由于其高等数学背景，对一部分学生而言，理解确有困难.一种处理方式是以题代讲，把新课变成高考复习课，在教学中甚至让学生强背相关结论及使用流程，忽视使学生体会知识生成过程的情景创设，忽视与其他知识和方法的类比与练习，忽视对知识本身的结构化分析，我感觉这种做法在知识生成过程开始阶段的教学可能会有一些问题，因为这种做法也许有一些短视的效果，但无助于提高学生的数学思维能力将是毋庸置疑的.这里所说的数学思维能力具体体现在“学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.(《数学课程标准》3页)”.

值得关注的是现行教材正是考虑到中学生相对具象化的思维特点，删去了数列极限，函数连续等理论部分的讲述，代之以具体化的，学生相对熟悉的知识情景，如在导数概念引入时的“爬山情景”，导数的几何意义的动态引入，利用导数研究函数单调性相关知识时引入的“竖直上抛运动”，以及大量使用定性分析的函数图像.一个较好的教学“素材”如下，

问题8-2-2，5页练习A-1(1-1,77页练习A-1). 在这个问题的讨论过程中可生动地诠释平均变化率的含义，并为瞬时变化率的引出打下伏笔.作为对本题的处理是否可让学生考虑在比赛过程中接近某一时刻时谁跑的快呢?使用课件动态演示也是一个很好的选择. 在动态的展示过程中，与学生讨论.对于课堂出现的问题不一定立刻给予正确或错误的判断，让学生课余思考.

-------------

-------------

应该说，课本的编写方式使这部分内容的形式化程度得到较好的控制，突出了对数学概念本质理解的“返璞归真”，体现了“把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态(《数学课程标准》4页)”的思想，从而有利于学生摆脱符号的束缚，以便充分发挥他们的思维潜能.因此在本章教学过程中关注必要的符号语言的同时，更应关注符号所表达的内在含义，使类似于下面问题9的疑问迎刃而解.

问题9-2008福建理12 已知函数yf(x),yg(x)的导函数的图象如下图，那么yf(x),yg(x)图象可能是（ ）

y yf(x) yg(x)

y yf(x) yg(x)

y yf(x) yg(x)

y yg(x) y yf(x) yg(x) O x0 x O x0 x O x0 x O x0 x O （A） （B） （C） （D）

作为对上述教学思考的落实检测，曾经在文科1-1模块考试中做了如下的尝试. s问题10-北大附中第七学段数学选修1-1模块考试试题9(4分) 试题 根据所给甲、乙两物体移动路程与时间关系图9-1及相关运动规律， 比较两物体运动状况. 其中，甲运动规律为s(t)=t,[0,2]; 乙运动规律为 2.521.51yf(x) x0 x t0t1,s(t) 22t1t2.0.5112t34 四，几个具体问题的思考

(一)关注概念生成的过程.

在本章中定性分析演绎得出的几个概念和定理主要有导数概念的得出(不是建立在极限理论基础上)，导数在函数单调性分析过程中的相关定理(不是建立在微分中值定理基础上)等，这种定性分析突出本质内容，淡化形式推导，推理情景学生熟悉，实际教学效果较好.下面先就导数概念的得出谈一点看法.

作为导数概念的形成标志是导数、导函数定义及导数几何含义的得出，流程如下：

山坡陡峭程瞬时速度平均变化率导数度定量分析

割线斜率切线斜率

在流程的第一步，对山坡陡峭程度的定性分析本身就是函数建模过程，这需要经历以下步骤：

确定起始点P位置，并形式地写出倾斜程度度量工具 山坡平面化建系确定向上或向下计算平均变化率解析式y=f(x)的确定-坡比或斜率点P附近倾斜程度

对这一过程“回顾”的“重大意义”在这里不在复述，但这种学习方式一个“近期”的收效是学生在处理“如何将一根圆木锯成强度最大的横梁？(改自课本2-2，31页，例2(课本1-1，100页，例2)”这种问题时不会束手无策，也许按照“如何度量强度，如何出相关解析式，如何解决边界”的过程思考与讨论就是水到渠成的事了，这是否可以说是对学生数学应用意识的培养呢？另外，这一过程的最后一步暗含对平均变化率的考虑，更重要的是先考虑一点附近的情况(这和课本的处理是略有不同的)，同时也包含Δx可为负值的意思，渗透“对应于自变量改变的函数值的改变量”这一概念.

流程的第二步，是借由直线斜率概念，从山坡倾斜程度得到函数平均变化率概念的，这一过程是一个从-------------

0.5s单位：10m,t单位：1s-------------

特殊到一般的归纳推理过程.“平均变化率”是一个广谱概念，在此是否可与学生讨论这一概念的应用方向呢?并借此引出在物理中关于速度的话题呢?

在流程的第三步，建议使用自由落体运动(课本中使用的是竖直上抛运动)，其运动规律简单，学生不易分散注意力，同时在得出瞬时速度概念的过程中，通过数据罗列分析，使学生体会

x0时，

f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)l与liml x0xx2x0x(x)2x0x)2x0中的等价性，减少出现limlim2x0x2x0x2x0情况的可能，加深对lim(2x0x0x0x“2x0”不是把x0带入(2x0x)中的理解. 对于导数的几何含义的得出，使用一些课件动态展示，如下图，应能收到较好效果.

对于导数的几何意义，应注意以下几点， 1．讨论直线与曲线的相切问题实质上是讨论直线与曲线在某点及其附近的位置状况，因此才会出现一条直线在一点处与曲线相切，而在另一点Q△△处与曲线相交的情况，也就出现了求“在某点处曲线的切线”和“过某点△△P△△曲线的切线”的问题，如课本2-2,12页练习B2, 13页习题B4(课本1-1,84P页练习B3, 85页习题B4).

2.从充要条件的角度讲，曲线在某点处有切线，但相关函数解析式在x此点处可能没有导数(狭义角度)，如上图中函数f(x)11x2，求导后有f(x)，此函数在x=1处

1x2导数不存在.但只要函数在某点处导数存在，则相应曲线在这点处就有切线存在.

(二)关注符号化语言的图形背景

由于这一章内容数学符号表达的抽象性，对符号表达的几何化工作在本章教学中就显得尤为突出，如导数的几何意义、导数的符号与相应区间内函数单调性及函数图象走势之间的关系、函数图象的极值点和最值点、定积分的几何含义及微积分基本定理的得出等，从某种角度讲，这种数形结合方式可在一定程度上弥补由于缺少符号化演绎而使相关知识结论理解不够深入的遗憾.下面几个问题应能作为这部分知识“数形结合”的经典事例，同时也可看出文理在这方面处理侧重点的异同.

(1)关于导数的几何意义的问题 y A 问题11-2008北京理 C 4 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别 3 2 f(1x)f(1)为(0，，，，，4)(20)(64)，则f(f(0)) ；lim ． 1 x0xB O 1 2 3 4 5 6 x （用数字作答）

问题12-2008北京文 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A4)(20)(64)，则 ，B，C的坐标分别为(0，，，，，1.2f(x) = 1 1 x2(0≤x≤1)10.80.60.4x = –0.22119y = 0.97409xx = 0.10780yx0 = 1.675260.250.511.522.50.20.40.6（用数字作答） f(f(0)) ；函数f(x)在x1处的导数f(1) ．

问题3-2013北京理18 2013北京文18 已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx．

(1)若曲线y=f(x)在点(a，f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值； (2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．

-------------

-------------

(2)关于导数取值对函数图象的影响

问题13-2008福建理 已知函数yf(x),yg(x)的导函数的图象如下图，那么yf(x),yg(x)图象可能是（ ）

y yg(x) yg(x) yg(x) O x0 x O x0 x O x0 x （A） （B） （C） 问题14-2008福建文 yf(x) y yf(x) y yf(x) y yg(x) y yg(x) yf(x) yf(x) O x0 x O x0 x （D）

如果函数yf(x)的图象如右图，那么导函数yf(x)的图象可能是（ ）

y O x y O x y O x y O x y y=f(x) O x （A） （B） （C） （D）

(3)关于函数的极值点和最值点

对于函数图象中这两种点的掌握，最好的方式，现阶段可能还是从图象入手，体会极值点的内点特性和最值点的边界点特性.讲解起来并不是很麻烦，但也许学生掌握的未必尽人意，下面的一个测试问题也许对此是一种注视，对概念的一带而过可能是有问题的.

问题15-北大附中第七学段数学选修1-1模块考试试题8(9分) 5x0,x已知函数f(x)4x(x1)2， g(x)f(x)0x4,讨论函数g(x)的最大值，极值点个数及极小值

12x4x5,点个数.

问题16-2009浙江文 已知函数f(x)x(1a)xa(a2)xb (a,bR)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a,b的值；

(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．

本题的特点在于把极值点与函数在开区间单调性有机地结合起来，利用函数图像可对“在某区间不单调函数”所对应结论有很直观的表达.

(4)关于定积分的几何含义.

在课本中定积分的定义以求曲边多边形的面积为发端，类比不规则图形面积分割成规则图形面积的想法，采取分割，取点，求和，取极限的步骤得到.从对定积分求法的化简需求入手，利用学生熟悉的匀速运动计算公式“S=vt”，结合前面极限的思想(实际上是微元法)的思想和图象，得到s(a)s(b)bv(t)dt，并进一步类比推想微积分学核心定理“牛顿-莱布尼茨公式”，并进一步利用在引例中爬山的例子和定积分定义加以印证.这一结论的得出使导数和积分很好的联系起来.在这个过程中没有严格的证明，但是，借助图形使学生经历着前人发现伟大结论的过程，体会到微分(导数)与积分的本质联系.这段教学理应成为实现“把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态(《数学课程标准》4页)”思想的理想实验场所.

作为本段一个很好的练习，可参考理2-2第34页B4(文1-1第101页B4). -------------

a32-------------

(三)适度关注形式化

关于这个问题课标有很明确的表述：“形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达……(《数学课程标准》4页).”这段话说明了这个问题的两个方面，总之，不考虑形式化的做法是另一种极端，“完全的如图所示”是不可取的.恰当准确的逻辑表达是对问题本质客观呈现.这其中对符号结构的关注也是合情推理和演绎推理的“用武之地”.

(1)关于平均变化率 作为平均变化率，应特别关注的是Δy为相对于自变量改变量Δx的函数值变化，作为对这一描述的巩固，

f(1x)f(1)f(12x)f(1)与lim的关系.

x0x0xx这种讨论对公式[f(axb)]af(u),uaxb的推导是有帮助的.证明过程如下：

除了利用学生熟悉的知识环境外，条件许可，还可考虑limf(a(xx)b)f(axb) (a0)x0xf(axbax)f(axb) lim

x0xf(uax)f(u)f(uax)f(u) limalimaaf(u)x0(ax)0axax当然，上述证明过程不是必须掌握的，这样做的目的不是为了要掌握复合函数求导公式的证明方法，而是对程度较好学生进行的类比推理训练,这种训练体现在“工具的选用”，“分母乘以a”，“最后写成ax0”

lim等多方面的思考，这种思考的过程反过来又使学生加深对极限式“limx0f(x0x)f(x0)”的认识.

x(2)关注导数运算公式结构

对于导数运算公式的推到是不作要求的，但对公式结构的分析是必要的，这样做可为相关问题的解决提供全新的思考方向.

问题17-2004湖北文3 已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为 （ ）

A．f(x)=(x-1)2+3(x-1) B．f(x)=2(x-1) C．f(x)=2(x-1)2 D．f(x)=x-1

问题18-2005湖南理6 设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（ ） A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx 问题19-2004湖南理12 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f(x)g(x)f(x)g(x)0,且g(-3)=0,不 等式f(x)g(x)<0的解集是 （ ）

A．(-3,0)U(3,+?) B．(-3,0)U(0,3) C． (-?,3)U(3,+?) D．(-?,3)U(0,3)

问题20-2007陕西理11

f(x)是定义在区间(0,+¥)上的可导非负函数，且满足xf´(x)+f(x)≤0.对任意正数a,b，若有a（ ）.

A．af(b)≤bf(a) B． bf(a)≤af(b) C． af(a)≤f(b) D． bf(b)≤f(a) 问题21-2002北京理 已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R 都满足：f(ab)bf(a)af(b). （1）求f(0)，f(1)的值；

（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

f(2n)（3）f(2)=2，un(n∈N)，求数列{un}的前n项的和Sn.

n

-------------

-------------

两点建议，

其一，课本2-2第32页关于(1502x2)的计算最好不作拓展.

其二，对于教学环境许可的情况下，是否可对部分导数公式的推导过程进行讨论呢？

(3)关注问题结构化分析

问题结构化分析实际是是一种问题拆解和转化，下以问题6为例加以说明.

下面的问题可作为练习 22-2009陕西卷文 已知函数f(x)x3ax1,a0

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)在x1处取得极值，直线y=m与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.

23-2009陕西卷理 已知函数f(x)ln(ax1)31x,x0，其中a0 1x(Ⅰ) 若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间； （Ⅲ）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围. (四)关于问题选用的一些建议 24-2009北京文 设函数f(x)x3axb(a0).(Ⅰ)若曲线yf(x)在点(2,f(x))处与直线y8相切，求a,b的值； (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.

25-2009福建卷理 已知函数f(x)

(Ⅰ)试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)令a1,设函数f(x)在x1,x2(x1x2)处取得极值，记点M (x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m)),

313xax2bx,且f'(1)0 3x1mx2,请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m (x1, x2)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）. -------------

-------------

26-2009全国卷Ⅱ理

设函数f(x)x2aln(1x)有两个极值点x1、x2，且x1x2

（I）求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；（II）证明：f(x2)

(五)课本存疑

(1) 2-2 P3(1-1P75): “向量AB对x轴的倾斜角 ”表述可能是有问题的.

(2) 2-2 P20, P21: 复合函数求导推导过程u=0处的补充讨论可能也是值得商榷的.商榷之处在于等式

12ln2 4yyu= ”在u=0时不成立. 详细论证可参考“方企勤. 数学分析. 北京大学出版社. 1986.” 这部分xuxdy内容也许采取回避方案为妥.同时不建议使用符号“ ”.

dx(六)知识拓展

“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.(《数学课程标准》2页)”因此一些可能在课堂上不宜做广谱性要求的问题，但作为研学的材料应是很合适的内容，如各种初等函数导数公式的推导等.当然，更多的问题等待着学生的发现，研讨，解决.

“

今天的交流就到这里，谢谢大家！

-------------