数学的学术形态与教育形态

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数学的学术形态与教育形态

刘祖希

(新青年数学教师工作室，上海200062)

名言：教师的任务是把知识的学术形态转 化为教育形态.

出处：张奠宙•关于数学知识的教育形态 [J].数学通报，2001(4): 1-2.

当代中国数学教育70年发展历程中，涌现 了许多发挥过重要作用的名言，它们集中展示 了当代中国数学教育及其研究的智慧之花与 思想之光.梳理、解读这些名言，可以帮助青年 数学教师和数学教育研究者吸收经典名言的 充足养分、指导教育教学实践.[1]

“数学的学术形态与教育形态”就是当代 中国数学教育名言的典型代表，它是张奠宙先 生的数学教育思想，值得我们学习与实践.1 “数学的学术形态与教育形态”思想的提出

与发展

2001年,张奠宙先生在《关于数学知识的

教育形态》—文中提出了“教师的任务是把 知识的学术形态转化为教育形态”的著名 论断.

2002年，张奠宙先生为“数学的学术形态 与教育形态”找到了注解.荷兰数学教育家弗 赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式：“没 有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子 公开发表出来.一个问题被解决后，相应地发 展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一 边，使得火热的发明变成冰冷的美丽.”[3]有鉴 于此，张奠宙先生说，“实际上，数学的学术形 态通常表现为冰冷的美丽，而数学知识的教育 形态正是一种火热的思考.”[4]

2005年，张奠宙先生进一步阐述:“教育数 学是具有教育形态的数学.”[5]这里他将“教育 形态的数学”简称为“教育数学”一词,但明显

不同于张景中院士在20世纪80年代提出的 “教育数学”思想.如果我们不理解这一点，就 很容易将两者混为一谈.

2007年，被问及如何想到提出数学知识的 学术形态和教育形态，张奠宙先生说，“那是我 思考所谓‘师范性’得出的结果.我在华东师范 大学50多年，常常被人问起：师范大学和其他 大学有什么区别？确实，师范大学数学系的课 程：数学分析、线性代数、微分几何，和一般大 学并没有区别.但是我认为，师范大学的老师, 不管是否从事‘数学教育’研究,你都要善于把 数学知识的‘学术形态’转变为学生容易接受 的‘教育形态”[6]

2009年,张奠宙先生说，“我提倡的‘数学 知识的教育形态’，张景中院士提出的‘教育数 学’，舒尔曼等提出的‘数学教学内容知识 (MPCK)’，

在基本思想上都是一致的.”[7]李

渺、宁连华也认为，“数学教学内容知识

(MPCK)本质是教师如何将数学知识的学术形 态转化为教育形态，以促进学生的数学理解， 提高学生的数学能力和提升学生的数学素 养.”[8]笔者则认为,“教育数学”、“数学知识的 教育形态”、“数学教学内容知识（MPCK) ”可 能是教育原理多重独立发现的又一例证.

另外，代钦教授指出，多位中外数学家、数 学教育家曾指出过类似观点，如我国数学家陈 建功、日本数学教育家小仓金之助.[9]陈建功 指出，教科书是前人对本门学科的知识总结， 是融合了许许多多数学家潜心研究的结晶，只 是简略了研究过程中经受的挫折和失败，且以 最洗练的数学语言予以表达而已•作为教科书 和论文的读者，去阅读它们时，必然会发生困 难，犹如人们在穿越一座原始森林时，往往会

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被纵横交叉的小径、河道所迷糊一样，必须认 定方向，辨明真假，坚持不懈去攀登、去行进， 任何侥幸心理和取巧做法都不是明智的.[1°]陈 建功所说“教科书是前人对本门学科的知识总 结，是融合了许许多多数学家潜心研究的结 晶，只是简略了研究过程中经受的挫折和失 败，且以最洗练的数学语言予以表达而已”即 是数学的学术形态.小仓金之助把数学分为两 种形态:“作为科学的数学”（纯粹数学）和“作 为教育的数学”（实用数学），即数学的学术形 态和教育形态.[9]

2013年，张奠宙先生将“数学的学术形态 与教育形态”思想作了全面阐述：数学的学术 形态，是形式化的演绎体系.这种叙述方式，好 处是严谨、准确、简洁,体现出冰冷的美丽；缺 点则是枯燥、呆板，缺乏火热的思考.数学教学 的任务是将这种学术形态转换为学生易于接 受的教育形态.教育形态的灵魂，就是数学思 想方法.[11]清华大学萧树铁教授在《21世纪中 国高等教育改革——

非数学专业高等数学改

革研究报告》（白皮书）中说，数学教学既要“讲 推理”，也要“讲道理”.这也表达了与“数学的 学术形态与教育形态”相同的意境.

2016年，程靖、马文杰、张奠宙试图将“教 育数学”作为一个科学的概念加以理解，即认 为“教育数学是具有教育形态的数学”，并通过 对相关研究的梳理揭示了“教育数学”的内涵： 既关注“数学本质”，又关注“教育形态”；并以 函数为例，从数学本质、数学展现、认知特征、 课程目标四个维度设计“教育数学”的基本（理 论）框架，进而提出若干值得研究的相关 课题.〔12]

2数学的学术形态向教育形态转化的必要性

与方法

数学的学术形态向教育形态转化的必要

性体现在以下几个方面：

(1)中国数学教育界流传很广的一句话 是，给学生一杯水，教师得有一桶水.学富五车 的数学家，能够上好数学课的很多，但上不好 课的也屡见不鲜.这就是说，即使教师自己有 一桶水甚至一缸水，如果倒不出来也是枉然. 多年来，师范大学常常为“师范性”争论不休. 所谓师范性，无非是要更擅长把各门课中“学

术形态”的知识，转化为“教育形态师范大学 的教师应当成为这种转化工作的模范.大家对 中小学数学知识的学术形态转化为教育形态 的理论和实践研究讨论较多，但大学教育还未 引起广泛地关注和重视，师范大学是不是也需 要加强这方面的研究和实践呢？

(2) 教科书里的数学知识，是形式化地摆 在那儿的.准确的定义、逻辑地演绎、严密的推 理，一字一字地线性地印在纸上.教科书上的 知识尽管经过一定的加工处理，但还不是完全 的教育形态，应该算“课程形态”，学生也可能 比较难懂.有的即使看懂了字面上的意思，甚 至题目也会做了，却不知道学这些数学干什 么，意义何在，价值在哪儿.这时，教师的作用 就显示出来了.教学水平较低的教师,照本宣 科，把书上的内容重复一遍，抄在黑板上，就算 “教”过了.好的教师能把印在书上的数学知识 转化为学生容易接受的教育形态.

(3) 教育形态的数学，散发着数学的巨大 魅力.教师通过展示数学的美感，体现数学的 价值，揭示数学的本质，感染学生，激励学生. 这，才是美好的数学教育.把数学的学术形态转化为教育形态，一是 靠对数学深入的理解，不止是讲推理，更要讲 道理（清华大学萧树铁教授的观点）；二是要借 助人文精神的融合.数学理解不深入，心里发 虚，讲起课来淡而无味.人文修养不足，只能就 事论事，没有文采.深邃的数学文化，结果成了 干巴巴的教条，学生学而无趣，最终不得已成 为考试的奴隶.一些所谓“大容量、高密度、快 节奏”的数学课，也只是“学术形态”的总和，很 少关注数学的教育形态.

比如，讲授一元一次方程，有的教师在“含 有未知数的等式叫做方程”的黑体字上大做文 章，反复举例，让学生咬文嚼字地学习，朗朗上 口地背诵.其实，绝对没有学生因为背不出这 句话而学不会“方程”的，也不是一字不漏地背 出来就一定学会了“方程”的概念.这是理解上 的问题.方程的本质是要求未知数，方法是借 助未知数所满足的关系将它找出来.正像我们 要寻求某位不认识的名人，需要请人介绍、拉 上关系才行.方程二字，是中国的传统算学名 词，先在《九章算术》里使用，徐光启、李善兰翻

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译《几何原本》时用得很好.鉴于“方程”二字十 分妥帖传神，日本的数学名词也用“方程”二

字.教师在这里讲点“闲话”，大概也是将知识 转化为教育形态所必须的罢.

再比如，数学教材里并不正面地阐述数学 思想方法，而是需要教师在教学过程中适当地 加以揭示，不断积累，逐步深化，最后形成一种 内在的本质认识.令人遗憾的是，经常看到数 学教材的每章小结里，只是一幅逻辑框图，简 直把光彩照人的数学女王拍成了一副X光下 的骨架.实际上，每章小结的核心内容应该是 贯穿该章的数学思想方法，体现出一种火热的 思考过程.[11 ]3 “数学的学术形态与教育形态”思想的影 响力

“数学的学术形态与教育形态”思想的影 响在持续扩大.

一方面，我们看到，近来有学者在多个领 域迁移了“数学的学术形态与教育形态”思想. 比如,宋乃庆教授在2005年召开的第一届全国 数学史与数学教育（HPM)研讨会（西安）上指 出，“应将数学史的史学形态转化为教育形 态再比如，史宁中教授在数学课程领域提出 了以下观点：“教育的任务就是要把科学的知 识让学生理解，并化为他自己的知识.这里面 有两个重要的转化的过程：一是科学知识向学 科课程知识的转化，这要依靠学科专家和课程 开发专家的努力；二是把学科课程知识转化为 学生知识，这就依靠广大教师.”[131关于这两个 转化的解读.又比如，数学文化研究领域提出 了“三种形态的数学文化”观点，即把关于数学 文化的研究区分为学术形态、课程形态、教育 形态.[14]代钦教授则将数学文化分为四种形 态：纯粹数学形态、学校数学形态、应用数学形 态、民族数学形态.[15]

另一方面，笔者认为，“数学的学术形态与 教育形态”这一思想既有较高的理论研究价 值，更有较大的实践指导意义，是能代表中国 的数学教育理论创造，值得深人研究.特别是 挖掘“数学的学术形态”与“数学的教育形态” 相互转化的典型案例，在当前显得尤为重要. 笔者在这里也给出若干数学教学的实践案例, 作为本文的结尾.

比如，学习有理数与无理数的概念，如果

学生照字面意思把有理数理解为“有道理的 数”，把无理数理解为“没道理的数”，那就得不 偿失了.此时，教师可以介绍一点数学史方面 的知识：有理数的英文名称是rational number， 意思是“成比例的数、循环有规律的数”，我国 明代科学家徐光启在翻译时谨慎选取了 “有理 数”这个译名（学术形态）.其中，“成比例的数”是指形如iP的数(P，9是互质的整数），我

们学习过的整数、分数、有限小数、无限循环 小数都可以化为这一形式，因此它们都是“有 理数”；反之，无限不循环小数不能化为这一形式,我们称之为“无理数”(比如及，可通过反证法证明它不能化为iP 形式'经过这样的

解释（教育形态），学生就容易理解了.类似 地，学习函数（function)的概念也可以如法 炮制.

再比如，研究不等式〇|

b + m

m

E R+，a < 6)时，教师可将不等式与糖水浓度

联系起来：往糖水中加糖，糖水更甜.理解“平 面/空间向量的基本定理及坐标表示”时，教 师可向学生娓娓道来：从向量关于坐标轴上单 位向量的线性组合中“抽象”出系数来，作为向 量的坐标，这就好比修辞学中的“借代”，用系 数（坐标）代表线性组合.[16]这样运用知识的 “教育形态”来讲解，学生对知识的“学术形 态”理解起来就能人木三分.

参考文献

[1] 新青年数学教师工作室.当代中国数 学教育名言解读[M].上海：上海教育出版社， 2015:前言•

[2] 张奠宙.关于数学知识的教育形[J]•数学通报，2001(4): 1 -2.

[3] Freudenthal, Hans. Didactical Phe­

nomenology of Mathematical Structures [ M ]. Dordrecht： Reidel, 1983.

[4] 张奠宙，王振辉•关于数学的学术形 态和教育形态[J].数学教育学报，2002 (2): 1 -4.

态 [5] 张奠宙.教育数学是具有教育形态的 [11] 张奠宙，于波.数学教育的“中国道

路” [M]•上海：上海教育出版社,2013: 229.数学[J].数学教育学报,2005(3): 1 -4.[12] 程靖，马文杰，张奠宙教育数学” [6] 张奠宙，李旭辉.关于数学知识的学

术形态和教育形态[J].数学教学，2007 (8):的内涵及其分析框架研究[J ].教育科学研究，

2016(6) ： 44 - 49.1 一 3.

[13] 史宁中.教育与数学教育[M].长 [7] 张奠宙.我亲历的数学教育（1938~ 2008) [M].南京：江苏教育出版社，2009.

[8]

春：东北师范大学出版社，2006.

[14] 郑强，郑庆全.三种形态数学文化研 李渺，宁连华.数学教学内容知识

究的回顾与启示[J].山东教育学院学报,2008 (MPCK)的构成成分、表现形式及其意义[J]. 数学教育学报,2011(2) : 10 - I4.

[9]

(6) ： 107-110.

[15] 代钦.释数学文化[J].数学通报， 代钦.陈建功的数学教育艺术和思想

2013(4) ： 1 -4.[M]//丘成桐.数学与求学.北京：高等教育出

[16] 刘祖希，顾文娟.实践数学教学公理 版社，2012: 59-69.

髙中版），2009 [10] 胳祖英.一代宗师：“钝叟”陈建功 的几个切人点[J].中小学数学（[M].北京：科学出版社,2007: 36.

(12)： 4-6.

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(上接第10-27页）

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有机会重温历史上大师们的研究足迹，获得

不一样的思考方法，从新的角度领略数学大 观园的美丽与多姿，同时还能获得宝贵的数 学思考与数学活动经验.这些都启发我们立 足于平时的教学实际，善于捕捉研究的素材， 这对引导学生有效探究、深度学习也大有 裨益.

参考文献[1] 各省数学会.2019高中数学联赛备考 手册[M].上海:华东师范大学出版社，2018.

[2] A.肖克怀特，F. B•沃尔特斯•圆锥曲 线的几何性质[M].蒋声，译.上海：上海教育 出版社,2002.

[3] 阿波罗尼斯•圆锥曲线论（卷I~IV) [M].朱恩宽等，译.西安：陕西科学技术出版 社，2007.

所以立足原题的基本形成结构，上升到一

般的双曲线的性质1~9,有一种深层的喜悦. 回顾探索的线索，还是顺从了自然的思路，由 特殊到一般，由浅表到内里，层层推进，在动点 的情况下追求了静的特性，能较深刻地揭示 问题本质；另外在性质的探究手法上也根据 实际情况，怎么方便怎么来，注重解析法和综 合法的结合，高效地完成了探究.4.2问题探究的价值与意义

从结果上来说，笔者探索的性质1~9都 不是什么新的结论，更谈不上新发现.历史上 早就被研究透彻，特别是两千多年前的古希 腊数学家阿波罗尼斯，用纯几何的手法得出 类似性质1的表述，令人叹为观止.然而笔者 想要表达的是，通过对这些问题的探究，我们

Ta ISSN 0488 - 7387

刊号.---------------CN31 - 1024/G4

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