杨家将传奇完整40关攻略

附录I 截面的几何性质 习题解

[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静积。

（a）

3解：SxAyc(4020)(2010)24000(mm)

（b）

解：SxAyc(2065)（c）

3解：SxAyc(10020)(15010)280000(mm)

6542250(mm3) 2（d）

3解：SxAyc(10040)(15020)520000(mm)

[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dA(xd)dx；微分面积的纵坐标：yxsin；微分面积对x轴的静矩为： dSxdAy(xddx)yxddxxsinx2sindxd

半圆对x轴的静矩为：

1

-

Sxr0x3rr32r3xdxsind[]0[cos]0[(coscos0)]

033322r314rr2yc yc因为SxAyc，所以 323[习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a） 解：

习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 上 左 右 Li 400 150 150 Bi 20 20 20 Ai 8000 3000 3000 14000 Yci 160 75 75 AiYci 1280000 225000 225000 1730000 Yc 离顶边 (b) 解： Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai 习题I-3(b): 求L形截面的形心位置 矩形 下 左 Li 160 90 Bi 10 10 Ai 1600 900 2500 Yci 5 55 AiYci 8000 49500 57500 Yc 23 Xci 80 5 AiXci 128000 4500 132500 Xc 53 (c) 2

Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai -

解：

习题I-3(c): 求槽形与L形组合截面的形心位置 型钢号 槽钢20 等边角钢80*10 Ai(cm2) Yci(cm) 10 AiYci(cm3) Yc(cm) Xci(cm) AiXci(cm3) Xc(cm)

Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai [习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dA(xd)dx；微分面积的纵坐标：yxsin；微分面积对x轴的惯性矩为： dIxy2dAy2(xddx)x2sin2xddxx3sin2dxd

四分之一圆对x轴的惯性矩为： Ixr0xdx3/20x4r/21cos2sind[]0d

0422r41/21/2[dcos2d(2)] 42020r41/2{[sin2] 0} 822 r416

由圆的对称性可知，四分之一圆对y轴的惯性矩为：

3

-

IyIxr416

微分面积对x轴、y轴的惯性积为：

dIxyxydA

Ixyxdx0rr2x20ydxr0121r2x2x4r1r4r4r42x(rx)dx[]0() 22242248[习题I-5] 图示直径为d200mm的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为

20mm的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x的惯性矩。

解：圆的方程为：

x2y2r2

如图，作两条平行x轴的、相距为dy线段，截圆构成微分面积，微分面积为：

dA2r2y2dy

切去2之后，剩下部分对x轴的惯性矩为：

rsinIxrsin2y2r2y2dy

rsinyr4y22222(2yr)ryarcsin

8rrsin8r41(sin4) 24r4(4sin4) 8x1(10020)21002

x13600

224

-

x160(mm)

100204 60340 arctan53.130.927(rad)

3 tan1004Ix(40.927sin212.520)3.963107(mm4)

8[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。

解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z，竖坐标轴为y）。

IzydAA202a2dz2a22za2zydy2a222a20dzz2a2z2a2y2dy

2[02a2dzz2a20ydy2a220dzzz2a20y2dy]

20[2y332az02a2dz0y302a2dz]

2a20232232[2(za)d(za)2(za)d(za)]

a03222222a224(za)22342a4a4= 31616a4 125

02a224(za)22340

-

a4故正方形对其的对角线的惯性矩为：Iz。

12[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x的惯性矩。

(a) 解：Ix(b)

11150D4(12)3.141754[1()4]21177368(mm4) 646417511150210390150390449999(mm4) 1212Ix[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的 轴的惯性矩。

解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是 轴

的惯性矩

，利用平行轴定理，可求得截面对形心

所以

再次应用平行轴定理，得

6

-

[习题I-9] 试求图示 平行，相距1 m。

的半圆形截面对于轴 的惯性矩，其中轴 与半圆形的底边

解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是

的惯性矩

，用平行轴定理得截面对形心轴

再用平行轴定理，得截面对轴 的惯性矩

[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是

7

-

上面一个圆的圆心到 轴的距离是23d。

6

利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：

[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。

解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是

利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩 Iz3.410(7。

1120103115212010)265760000(mm4) 12，其形心距外边缘的距离是 mm，

（b）等边角钢 的截面积是

求得组合截面对轴 的惯性矩如下：

习题I-11（b）图 图形 中间矩形 上矩形 下矩形 左上L形 右上L形 左下L形 右下L形 b 10 250 250 h 600 10 10 Ixc 0 20833 20833 1795100 1795100 1795100 1795100 a 0 305 305 A 6000 2500 2500 1926 1926 1926 1926 Ix 0 3 3 5 5 5 5 45 IxIxca2A 8

-

[习题I-12] 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。关于形心位置，可利 用该题的结果。

解：形心轴 位置及几何尺寸如图所示。惯性矩

计算如下：

[习题I-12] 试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。

习题I-13(a) 图形 上矩形 下矩形 全图 bi 1000 300 hi 100 600 Ai 100000 180000 280000 Yci 650 300 AiYci 0 Yc ai 225 125 Ixc 00 Ix(mm) 33 00 4 425 习题I-13( b) 图形 上图(3) 中图(2) 下图(1) 全图 bi 25 200 100 hi 150 150 50 Ai 3750 30000 5000 38750 Yci 275 125 25 AiYci 1031250 3750000 125000 4906250 Yc ai Ixc Ix(mm) 0 4148 7031250 2 102 1041667 127 9

-

习题I-13(c) 图形 矩形 半圆 全图 半圆：bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixc(mm4) 8333 ai Ix(mm) 42140 1150 2461000 575 00 159 8275 790 -980333 335 -7 791 399 1480667 33 半圆：Ixc734 yc4r/3 r4/88r4/9

习题I-13(d) 图形 220 180 16 14 674 14 9 3520 2520 10784 3080 4005 8 23 367 711 28160 57960 3957728 2189880 2893613 9127341 374 75093 359 41160 0 9 3 0 9 7 5 14 bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixci Ix(mm4) 从下往上

16 220 445 329 50307 341 27034 382 23909 [习题I-14] 在直径D8a圆截面中，开了一个2a4a的矩形孔，如图所示。试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩Ix和Iy。 解：先求形心主轴 的位置

截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：

（y轴向下为正）

10

（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）

-

（组合图形对形心轴x的惯性矩）

习题I-14 b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a) AiYci Yc(a) Ixc 矩形 圆 4 2 4 1 0 -8 0 -8 ai Ix(a4)

[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为d100mm的半圆形孔，如图所示。试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。

解：

习题I-15 图形 半圆 全图 bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixci 3 685977 ai Ix 2 1 24 2860346 5 正方形 200 200 40000 100 4000000 50 -3927 79 -309365 36073 3690635 102 4r yc1003Ixcr488r4 9IxIxca2A 4形心位置：X（0，102）。对水平形心轴的惯性矩：Ix130686455mm。对竖直形心轴

的惯性矩：

11

-

a4r420043.14159504Iy130878966(mm4)

128128习题I-15 图形 正方形 半圆 全图 a 200 r 50 Iy（mm） 2454367 6 4a4r4Iy 128[习题I-16] 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩Ix和

Iy相等，则两槽钢的间距a应为多少？

解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴

；横截面积为

。

根据惯性矩定义

和平行轴定理，组合截面对 ，

、

的惯性矩是

，

的距离是

；槽钢背到其形心轴

轴的惯性矩分别是

若

；

即

等式两边同除以2，然后代入数据，得

12

-

于是 所以，两槽钢相距

[习题I-17] 试求图示截面的惯性积Ixy

解：设矩形的宽为b高为h，形心主惯性轴为xc0yc，则

由平行移轴公式得：

hb1IxyIxCyCabA0()()bhb2h2

224故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： Ixy122bh 4

习题I-17

图形 b h Ixy

左矩形 10 100 250000 下矩形: 100 10 250000

重复加的矩形 10 10 2500

全图 上图+下图-重复图= 497500

[习题I-18] 图示截面由两个125mm125mm10mm的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。试求该截面的最大惯性矩Imax和最小惯性矩Imax。 解：从图中可知，该截面的形心C位于两缀板共同的形心上。过C点作水平线，向右为xc轴正向；过C点，垂直于xc轴的13

-

直线为yc轴向上为正。把xccyc坐标绕C点逆时针转45

后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴x0,y0。主惯性矩

0Ix0Imax，Iy0Imin

查型钢表得：号等边角钢的参数如下：

'4'4，，z03.45cm A24.373cm2 ，Iy0Ix149.46cmII573.89cmx0y00角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：

a2z0212(3.450.5)3.952cm 2ImaxIx02[149.46(3.952)224.373]1820(cm4)

IminIy02573.891148(cm4)

（注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）

[习题I-19] 试求图示正方形截面的惯性积Ix1y1和惯性矩Ix1，Iy1并作出比较。

a4解：Ix

12a4Iy

12Ixy0 （x,y为形心主惯性轴）

a4a4IxIyIxIya41212Ix1cos2Ixysin200

2221214

-

Iy1a4a4IxIyIxIya41212cos2Ixysin200

22212IxIy2sin2Ixycos2000

Ix1y1结论：

1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零； 2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。 [习题I-20] 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。

（a）

解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。

14004021Ix[200403()20040]220(400240)3575146666.5(mm4)12221212002021Iy[402003()20040]2320203183146666.6(mm4)1222124004020020Ixy[()()20040]2259200000(mm4)

2222tan202IxyIxIy(2)(259200000)1.3164

575146666.5181346666.620arctan1.316452047'

026024'

Ix Iy Ixy -0 -0 Ix0= Iy0= 7 15

-

Ix0Iy0

(b)

IxIy212 (IxIy)24Ixy2

解：以20号槽钢（图I）的下边缘为x轴，左边缘为y轴，建立坐标系。8号槽钢编号为图II。则组合截面的形心计算如下：

习题I-20(b) 长度单位:cm 图形 I II 全图 图形 I II 全 Ai Xci Yci 10 16 AiXci 64 -15 AiYci Xc Yc 习题I-20（b） Ai ai bi Ixci' Iyci' Ixci 1981 2296 Iyci 165 249 Ixciyci' Ixciyci tan2a0 0 0 0 a0 Ix0 Iy0 图

[习题21] 试用近似法求习题I-4所示截面的Ix，并与该题得出的精确值相比较。已矩该截面的半径r100mm。

解：圆的方程为： 16

-

x2y21002

把y轴的半径10等分，即10mm。过等分点，作x轴的平行线。从下往上，每个分块 的中点的y坐标与x坐标如下表所示。

习题I-21 yi 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 近似解Ixxi ai 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95  10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ai2xi 24969 222454 605154 1147518 1808383 2526373 3210722 3720588 3806005 2818055 ax 2iii110精确解Ix误差(%) r4163.141591004 16

[习题I-22] 试证明：直角边长度为a的等腰三角形，对于平行于直角边的一对形心轴之惯性积绝对值为Ixya4（提示：最简单的证法是利用惯性积的平行移轴公式，并利用一对72相互垂直的坐标轴中有一为截面的对称轴时，其惯性积为零的特征。）

17

-

解: zh(by) bbA0222zzdzydybh(by)2ydybh

02b2024

IyzyzdAIyCzCIyzbhb2h2bhbhb2h2()()A 332433272a4|. 72令bha得:|IyCzC

18