一元一次不等式（组）解应用题精讲及分类练习
识别不等式（组）类应用题的几个标志，供解题时参考. 一.下列情况列一元一次不等式解应用题
1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超过”等.
例1．为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电千瓦时0.56元(“峰电” 价),22：00至次日8：00每千瓦时0.28元(“谷电” 价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.当“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算? ．．．
分析：本题的一个不等量关系是由句子“当‘峰电’用量不超过每月总电量的百分之几时,使用‘峰．．．谷’电合算”得来的，文中带加点的字“不超过”明显告诉我们该题是一道需用不等式来解的应用题. ．．．
解:设当“峰电”用量占每月总用电量的百分率为x时,使用“峰谷”电合算,月用电量总量为y.依题意得0.56xy+0.28y(1－x)＜0.53y.
解得x＜89℅
答：当“峰电”用量占每月总用电量的89℅时，使用“峰谷”电合算．
2．应用题仍含有一个不等量关系，但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的，而是用比较隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断．
例2．周未某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲、乙两组行进同一段路程所用的时间之比为2：3．
⑴直接写出甲、乙两组行进速度之比；
⑵当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰Ａ处，且Ａ处离山顶的路程尚有1.2千米．试问山脚离山顶的路程有多远？
⑶在题⑵所述内容（除最后的问句外）的基础上，设乙组从Ａ处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇．请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答（要求：①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件）．
解：⑴甲、乙两组行进速度之比为3：2． ⑵设山腰离山顶的路程为x千米，依题意得方程为
x3，
x1.22解得x＝3.6（千米）．经检验x＝3.6是所列方程的解， 答：山脚离山顶的路程为3.6千米．
⑶可提问题：“问B处离山顶的路程小于多少千米？”再解答如下： 设B处离山顶的路程为ｍ千米（ｍ＞0）
1
甲、乙两组速度分别为3k千米／时，2k千米／时（k＞0） 依题意得
m1.2m＜，解得ｍ＜0.72(千米). 3k2k答:B处离山顶的路程小于0.72千米.
说明:本题由于所要提出的问题被两个条件所限制,因此,所提问题应从句子“乙组从A处继续登山，甲组到达山顶后休息片刻，再从原路下山，并且在山腰B处与乙组相遇”去突破,若注意到“甲组到达山顶．．．．后休息片刻”中加点的四个字,我们就可以看出题中隐含着这样一个不等关系:乙组从A处走到B处所用的．．．．时间比甲组从山顶下到B处所用的时间来得少,即可提出符合题目要求的问题且可解得正确的答案.
二.下列情况列一元一次不等式组解应用题
1.应用题中含有两个(或两个以上,下同)不等量的关系.它们是由两个明显的不等关系体现出来,一般是讲两件事或两种物品的制作、运输等.
例3.已知服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这两种面料生产M,N两种型号的时装共80套.已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6米,B种布料0.9米,可获利45元;做一套N型号的时装需用A种布料1.1米,B种布料0.4米,可获利润50元.若设生产N型号码的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元.
(1)求y(元)与x(套)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(2)服装厂在生产这批时装中,当N型号的时装为多少套时,所获利润最大?最大利润是多少?
分析:本题存在的两个不等量关系是:①合计生产M、N型号的服装所需A种布料不大于70米;②合
计生产M、N型号的服装所需B种布料不大于52米.
解:(1)y4580x50x,即y5x3600. 依题意得0.6(80x)1.1x70;
0.9(80x)0.4x52.解之,得40≤x≤44.
∵x为整数,∴自变量x的取值范围是40,41,42,43,44. (2)略
2.两个不等关系直接可从题中的字眼找到,这些字眼明显存在着上下限.
例4.某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,
则还余8本;如果前面每人送5本,则最后一人得到的课外读物不足本.设该校买了m本课外读物,有x．．3．．名学生获奖.请回答下列问题:
(1)用含x的代数式表示m;
(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.
2
分析:不等字眼“不足本”即是说全部课外读物减去5(x－1)本后所余课外读物应在大于等于0而．．3．．小于3这个范围内.
解:(1)m=3x+8 (2)由题意,得3x85(x1)0
3x85(x1)3.13 2∴不等式组的解集是:5 例5.某城市的出租汽车起步价为10元(即行驶距离在5千米以内都需付10元车费),达到或超过5千米后,每行驶1千米加1.2元(不足1千米也按1千米计).现某人乘车从甲地到乙地,支付车费17.2元,问从甲地到乙地的路程大约是多少? 分析:本题采用的是“进一法”,对于不等关系的字眼“不足1千米也按1千米计”,许多同学在解题时都视而不见,最终都列成了方程类的应用题,事实上,顾客所支付的17.2元车费是以上限11公里来计算的,即顾客乘车的范围在10公里至11公里之间.理论上收费是按式子10+1.2(x-5)来进行的,而实际收费是取上限值来进行的. 解:设从甲地到乙地的路程大约是x公里,依题意,得 10+5×1.2＜10+1.2(x-5)≤17.2 解得10＜x≤11 答:从甲地到乙地的路程大于10公里,小于或等于11公里. 用一元一次不等式组解决实际问题的步骤： ⑴审题，找出不等关系； ⑵设未知数； ⑶列出不等式； ⑷求出不等式的解集； ⑸找出符合题意的值； ⑹作答。 （分配问题） 1、 设：一共有X个小朋友，则玩具总数=3X+4件。 第二次分的时候，前面X-1个小朋友每人得到4件，则一共有4(X-1)=4X-4件。 余下的不足3件，也就是 0<(3X+4)-(4X-4)<3 化简得 0<-X+8<3，8>X>5 3 因为小朋友的人数为整数，所以X的取值有2个，分别是6人和7人。 当6个小朋友时，玩具总数22件，前5个每人分4件，最后1人得2件； 当7个小朋友时，玩具总数25件，前6个每人分4件，最后1人得1件。 2、 设：预定每组x人。 由已知得：8x+8>100 解得：x>11.5 根据实际情况，解得预定每组分配战士的人数至少12人。 3、 解：设有x只猴子和y颗花生，则： y-3x=8， ① 5x-y＜5， ② 由①得：y=8+3x， ③ ③代入②得5x-(8+3x)＜5, ∴ x＜6.5 因为y与x都是正整数，所以x可能为6，5，4，3，2，1，相应地求出y的值为26，23，20，17，14，11. 经检验知，只有x=5，y=23和x=6，y=26这两组解符合题意. 答：有五只猴子，23颗花生，或者有六只猴子，26颗花生. 4 设有X名学生，那么有（3X+8）本书，于是有 0≤(3x+8)-5(x-1)<3 0≤-2x+13<3 -13≤-2x<-10 5 5、 设宿舍有x间 ∵如果每间数宿舍住4人，则有20人没有宿舍住 ∴学生人数为4x+20 ∵如果每间住8人，则有一间宿舍住不满 ∴0<8x-（4x+20）<8, x为整数 ∴0<4x-20<8 4 ∴20<4x<28 ∴5 6、 设有x个笼子 4x+1<40 得x<=9 5(x-2)+3>4x+1得x>8 所以x=9 7、 设有X辆汽车 4X+20=8(X-1) 4X+20=8X-8 4X=28 X=7 有7辆汽车 8、 不空也不满表示 最后一间房有1~5人。 6(x-1)<4x+19<6x 9.5 （积分问题） 1、 因为总共有20道题，一道未答，则总共答了19道题。 设答对X道，则答错（19-X）道题。根据题意得： 5X-2(19-X)>=60 7X>=98 5 X>=14 所以，至少答对14题就及格了。 2、 解：设至少需要做对x道题(x为自然数)。 4x －2×(25－x)≥60 4x－50＋2x≥60 6x≥110 X≥19 答：至少需要做对19道题。 3、 设神箭队答对x题。则答错15-2-x，即（13-x）题 8x-4（13-x）>90 解得x>71/6 所以至少答对12道题 设飞艇队答对x题。则答错(15-x)题 8x-4(15-x)>90 解得x>25/2 所以至少答对13道题 4、 8次：5x8=40,40-2=38,38>35 追问 不等式的方法.....？ 回答 恩。。。因为每名射手打10枪必须打完 5 可令白球的个数x，则红球的个数(60-2x)/3； 依题意有： x＜(60-2x)/3＜2x，得：7.5＜x＜12，， 故：15＜2x＜24，-24＜-2x＜-15，得：12＜(60-2x)/3＜15， (60-2x)/3=13时，x不是整数；因此(60-2x)/3=14；得x=9； 所以：白球的个数9，红球的个数14. （比较问题） 1、 240*0.6=144 240*0.5=120 假定有X个学生 就有 6 240+120x >144（x+1） X=4 所以至少4人选甲旅行社比较好 2、 答：第x个月,李明的存款能超过王刚的存款 600+500x>2000+200x x>14/3 取x=5 到第5个月,李明的存款能超过王刚的存款 3、 设有X名学生去旅游。 则500*2+0.7*500X=0.8*500（X+2） 解得X=4 所以，当学生人数少于4人时，乙旅行社便宜。 当学生人数等于4人时，甲乙旅行社一样便宜。 当学生人数大于4人时，甲旅行社便宜。 （行程问题） 1、 解：设后半小时的速度至少为x千米/小时 50+（1-1/2）x≥120 50+1/2x≥120 1/2x≥70 x≥140 答：后半小时的速度至少是140千米/小时。 2、 假设导火索长为X厘米 人要跑100米，速度为5m/s，那么人就要跑100/2=20秒， 导火索长为 x cm，速度为0.8cm/s，那么导火索燃烧的时间就是 X/0.8 秒 导火索燃烧的时间必须要大于人抛开的时间才会安全，就是： X/0.8》20 就是x》16 3 设王凯至少需要跑x分钟 210x+90(18-x)≤2100 210x+1620-90x≤2100 120x≤480 x=4 答：所以至少需要跑4分钟 7 4、 解：设后半小时的速度至少为x千米/小时 50+（1-1/2）x≥120 50+1/2x≥120 1/2x≥70 x≥140 答：后半小时的速度至少是140千米/小时。 （车费问题） 1 解析 本题属于列不等式解应用题. 设甲地到乙地的路程大约是xkm, 据题意,得 16<10+1.2(x-5)≤17.2, 解之,得10 2、 解：设此人从甲地到乙地经过的路程是xkm 19-2.4＜7+2.4（x-3）≤19 9.6＜2.4（x-3）≤12 4＜x-3≤5 7＜x≤8 答：此人从甲地到乙地经过的路程是7—8km（不含7千米，含8千米）。 （工程问题） 1 设以后几天内平均每天至少要完成x土方 （6-1-2）x≥300-60 3x≥240 x≥80 2 . 设B型抽水机每分钟抽x吨水，则： 1.1×30/20=1.65吨 1.1×30/22=1.5吨 1.5≤x≤1.65 8 0.4≤x-1.1≤0.55 B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽0.4~0.55吨水 3. 设以后每天至少加工x个零件，才能在规定的时间内超额完成任务，根据题意列方程： 3*24+（15-3）*x>408 12x>336 x>28 答;以后每天至少加工28个零件，才能在规定时间内超额完成任务。 4、 1200÷8＝150 （浓度问题） 1、 解：设再加入x克食盐 40+x为食盐质量 1000+x为溶液总质量 (40+x)÷(1000+x)≥20% 解得x≥200 答：至少加200克食盐 2、 解：设所用药粉的含药率为a，可得： 30x15%+50a>20%(30+50) 4.5+50a>16 50a>11.5 a>0.23 答：所用药粉含药率应大于23%. （增减问题） 1、？ 解： △x'=0.5cm=0.005m 弹簧的弹性系数：K=m’g/△x'=1×10/0.005=2000N/m 设最多可挂重物为m kg，则根据胡克定律可得： mg=k△x，m=k△x/g 又因为，△x≤30-20=10cm=0.1m 所以，m≤k△x/g=2000×0.1/10=20(Kg) 即m≤20kg 答：略。 9 2、 0.68+0.5x<=0.7x 0.68<=0.2x 3.4<=x 所以至少要4个人 3、 答：当y＜10时，25-5x＜10， 解这个不等式得x＞3． 所以3h后蜡烛的长度不足10cm． （销售问题） 1 、 设进价是x元, (1-10%)*(x+30)=x+18 x=90 设剩余商品售价应不低于y元, (90+30)*M*65%+(90+18)*M*25%+(1-65%-25%)*M*y≥90*M*(1+25%) y≥75 剩余商品的售价应不低于75元 2. 设按原价的x折出售 所以： 1000×1/2×10+1000×1/2×10×x/10>=7×1000+2000 5000+500x>=9000 5x>=40 x>=8 所以至多打8折 3. 10 1.6元 1000×1.5=1500 1500÷（1-6%）≤ 实际价格 2、 设应售出X张学生优惠票，当收入等于2000元时： 2X+5*300=2000 2X=500 X=250 即每场至少售出250张学生优惠票。 4． 8x>120+4x x>30 答：如果少于30张，电脑公司刻合适， 如果等于30张，（不考虑飞盘）都可以。 如果大于30张，那还是自刻便宜！而且刻录张数越多，自刻越便宜！ 题外话： 现在的刻录机很便宜，空白光盘成本才1元左右，还是自己刻录省钱。 5. 解：设乙工种招聘x人 x≥2（150-x） ∴x≥100 W[工资]=600（150-x）+1000x=400x+90000 ∵400>0, ∴x=100时，W[工资]最少=400×100+90000=130000（元） 甲乙工人各招聘50人、100人时每月所付的工资最少为130000元 11 6. 设14元一本的小说可以买x本，则8元一本的小说可以买（80-x）本。根据题意，有： 750≤14x+8（80-x）≤850 （若想列为方程组则可拆为两个不等式） 750≤640+6x≤850 110≤6x≤210 18.33≤x≤21 取整数，则可得知：14元一本的小说最少可以买19本，最多可以买21本。 （数字问题） 1. 分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。 题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系：20<原两位数<40。 解法（1）:设十位上的数为x, 则个位上的数为(x+2), 原两位数为10x+(x+2), 由题意可得：20<10x+(x+2)<40, 解这个不等式得，1 由题意可得 （这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）。 将(1)代入(2)得，20<11x+2<40, 解不等式得：1 方案选择与设计 1． 12 解：（1）（2） 。 ； 2. 解：设招聘A工种的工人有x人，那么招聘B工种的工人有（150－x）人 ∵B工种的人数不少于A工种人数的2倍 ∴150－x≥2x ∴x≤50 每月所付工资为600x＋1000（150－x）＝150000－400x x越大，150000－400x的值越小，当x取最大值时，150000－400x取最小值 ∵x的最大值是50 ∴150000－400x的最大值为 150000－400×50＝130000（元） 答：招聘A工种的工人50人时，可使每月所付工资最少，最少工资为130000元 3. 设最少需要10米长的铁条x根。 4*32+3*81≤10x x≤37.1 最少需要38根 4. （1）第一种方案，学期末时获利为（80000+30000）×4.8%=5280元，加上学期初的30000元，第一 种方案共获利35280元。 第二种方案，保管费为80000×0.2%=160元，从获利种扣除保管费后剩余35780元。 故成本为80000元时第二种方案获利多。 （2）设新产品成本为Y元时两种方案获利一样多，则可列方程： （Y+30000）×4.8%+30000=35940-Y×0.2% （解方程会吧？）解得Y=90000 即新产品成本为90000元时，两种方案获利一样多。 5. 解：（1）根据题意，需分类讨论． 因为80＜120，所以不可能选择A类年票； 若只选择购买B类年票，则能够进入该园林 80-602=10（次）； 若只选择购买C类年票，则能够进入该园林 80-403≈13（次）； 13 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容