普朗克黑体辐射公式推导

普朗克黑体辐射公式是描述黑体辐射谱的一个重要公式，由德国物理学家马克斯·普朗克于公元1900年推导得出。这个公式在量子力学的起源和发展中起到了重要的作用，被称为“普朗克的奇迹”。下面我们将对普朗克黑体辐射公式进行推导。

首先，我们需要了解什么是黑体辐射。黑体是指一个能将所有传入它的辐射吸收完全，并能以最大限度地辐射出来的理想物体。黑体辐射谱指的是黑体在不同波长上辐射的强度分布特性。

普朗克的推导基于两个假设。第一，电磁辐射是由许多具有不同能量的微观振动子组成的。第二，这些微观振动子的能量是量子化的，即只能取离散的特定值。

根据热力学理论，一个谐振子在频率ω上分布的能量是由玻尔兹曼分布给出的：

n(ω) = (1 / (exp(ħω / kT) - 1)

其中n(ω)是单位体积中在频率ω上的振动子数，ħ是普朗克常量除以2π，k是玻尔兹曼常量，T是温度。

一个谐振子的能量为ħω，所以单位体积中在频率ω上的能量分布就是n(ω)乘以该能量：

E(ω)=ħω*n(ω)

现在我们将微观振动子的能量与频率进行积分，得到所有振动子的能量。积分的范围从零到无穷大，对于每一个能量级别ΔE，能量能取的频率范围是（ΔE-ΔE+δΔE），其中δΔE是能量级别间的间隔。

我们有：

E(ΔE)=∫(ΔE-ΔE+δΔE)E(ω)dω 代入E(ω)的表达式：

E(ΔE)=∫(ΔE-ΔE+δΔE)ħω*n(ω)dω 然后将n(ω)的表达式代入：

E(ΔE) = ∫(ΔE-ΔE+δΔE) ħω * (1 / (exp(ħω / kT) - 1)) dω

接下来，我们通过变换积分变量，将积分变为更简洁的形式。令x=ħω/(kT)，代入上式：

E(ΔE) = (kT)^4 / (ħ^3 c^2) ∫(ΔE-ΔE+δΔE) x^3 / (exp(x) - 1) dx

右边的积分是一个标准的积分，可以通过数值计算或查表得到。下面我们将这个积分表示为一个函数f(x)。

E(ΔE)=(kT)^4/(ħ^3c^2)f(ΔE,T)

现在，我们可以将能量E(ΔE)写为单位体积的能量密度u(ΔE)乘以ΔE：

E(ΔE)=u(ΔE)*ΔE 因此

u(ΔE)=(kT)^4/(ħ^3c^2)f(ΔE,T)

最后，通过对能量密度u(ΔE)进行积分，我们可以得到单位频率的能量密度u(ω)：

u(ω)=∫(ΔE-ΔE+δΔE)u(ΔE)d(ΔE) 代入u(ΔE)的表达式：

u(ω)=∫(ΔE-ΔE+δΔE)[(kT)^4/(ħ^3c^2)f(ΔE,T)]d(ΔE) 因此，普朗克黑体辐射公式可以写为：

u(ω)=(kT)^4/(ħ^3c^2)∫(ΔE-ΔE+δΔE)f(ΔE,T)d(ΔE) 将右边的积分简写为B(ω)，最终得到普朗克黑体辐射公式： u(ω)=B(ω)

这个公式给出了在频率ω上的黑体辐射的强度，其中B(ω)是一个与频率有关的函数。根据普朗克，这个函数的形式是一个黑体辐射强度的通用表达式，可以用来解释实验数据。

通过对黑体辐射谱的研究，普朗克提出了量子理论的雏形，为量子力学的诞生奠定了基础。他的工作也被视为现代物理学中量子概念的开端。