第三章 矩阵及其运算

n阶方阵确定的行列式具有下列运算规律(A,BP(1) ATnn)An(2) kAkA (3) ABAB

如果|A|0时，称方阵A非退化.二、分块矩阵

命题3.2 设Adiag(A1,A2,As),Bdiag(B1,B2,Bs)

则有(1)ABdiag(A1B1,A2B2,AsBs);m (2)A (3)diag(A,A,A);m1m2msAA1A2As.三、常用的几种特殊矩阵：

定理3.3：对mn矩阵A作一次初等行变换,相当于在 A的左边乘以一个相应的m阶初等矩阵;对A作一次初 等列变换,相当于在A的右边乘以一个相应的n阶初等 矩阵.四、对称矩阵与反对称矩阵 定义3.7 若矩阵A满足A 定义3.8 若矩阵A满足ATA,就称A为对称矩阵.TA,就称A为反对称矩阵. 命题3.5 数域P上的奇数阶反对称矩阵的行列式等于零.

五、可逆矩矩

说明 若矩阵A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的.

nn定义3.10 设AaP,n2,且Aij表示A的(i,j)元ij

的代数余子式(i,j1,2,,n).由A的各个元素的代数余子式组成的一个矩阵的转置A11A12A1nA21A22A2nAn1An2Ann Aijnn

T

称为A的伴随矩阵，记作A或adjA.nn引理 设A为AaP的伴随矩阵，则ij

AAAAAEn. 0定理3.4 矩阵 A可逆的充要条件是A ，并且当A可逆时

有

A11AA, 推论：A可逆的充分必要条件是A可逆. 命题3.7 若ABE或BAE,则A与B都可逆,且nn A1B,B1A.

逆矩阵的性质

1若A可逆,则A2若A可逆,数 1也可逆,且A11A.10,则A可逆,且A11

T T -1 -1 T 3若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且A.4若A可逆,则A亦可逆,且AA.5若A可逆,则有A1A11A.6若A可逆,则A

也可逆,且A1A1,小结

当A0时,A称为退化的,当A0时,A称为非退化的.当A0时,A称为奇异矩阵非奇异矩阵.当A0时,A称是不可逆的可逆的.,当A0时,A称为,当A0时,A称为