一．解答题（共40小题）
1．（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点
B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2019•通辽）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点
A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．
（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．
3．（2019•吉林）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0． （1）求此抛物线的解析式；
（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；
1
（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h． ①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围； ②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．
4．（2019•绥化）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝
，交x轴于点A、B，交y轴于点C，
且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣m（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；
（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式．
5．（2019•齐齐哈尔）综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和
BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 ．
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2
6．（2019•襄阳）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣
x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为
x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；
（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； （3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2019•随州）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）． （1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段
DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为①求点P的坐标；
②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．
，
8．（2019•梧州）如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣
x+c过点A，与⊙A交于B、
3
C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；
（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．
9．（2019•柳州）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，动点．
（1）求抛物线的解析式； （2）求△BDP周长的最小值；
（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于
CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个
CE时，过P，Q两
点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积．
10．（2019•张家界）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点
C，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； （4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+不存在，请说明理由．
QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若
4
11．（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度； （3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．
12．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5
13．（2019•烟台）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝经过点D，连接MD，BD． （1）求抛物线的表达式；
（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，
（x＞0）
F的坐标；
（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）
14．（2019•玉林）已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．
（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）； （3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
15．（2019•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（l，0），与y轴交于点
C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点
H，使△CHB的周长最小．若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线的顶点，点P为射线AD上的一个动点，且点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线l，垂足为E，点P从点A出发沿AD方向运动，直线l随之运动，当﹣2＜t＜1时，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线l左侧部分的面积为S，求S关于t的函数表
6
达式．
16．（2019•河北）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D． （1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； （2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．
17．（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上． （1）b＝ ；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．
7
18．（2019•荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式；
（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
19．（2019•河南）如图，抛物线y＝ax2+经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m． ①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2
20．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B． （1）点D的坐标是 ；
（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．
x+1
8
①当n＝时，求DP的长；
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围 ．
21．（2019•湘西州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3． （1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线
？若存在，求出点PKL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
22．（2019•邵阳）如图，二次函数y＝﹣
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、
x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）
Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
9
23．（2019•广西）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝
x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）． （1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
24．（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
10
25．（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒运动时间为t（秒）．
（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标； （3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形
个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设
MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2019•毕节市）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11
27．（2019•贵港）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点． （1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．
28．（2019•福建）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形． ①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．
29．（2019•淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）． （1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标． （3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的点G的坐标；若不存在，请说明理由．
？若存在，求出
30．（2019•黄石）如图，已知抛物线y＝
x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；
（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）
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31．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝
x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点
C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P的横坐标； ②直接回答这样的点P共有几个？
32．（2019•海南）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD． （1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13
33．（2019•十堰）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，
），与x轴交于另一点
B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）若点P在抛物线上，且
＝m，试确定满足条件的点P的个数．
34．（2019•山西）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）△BCD的面积等于△AOC的面积的
时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点
M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不
存在，请说明理由．
35．（2019•眉山）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣
x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，
14
0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；
（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．
36．（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）将（1）中的抛物线向下平移
y＝ax2+bx+c
经过A（﹣1，0），B（4，0），C个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若
新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；
（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．
37．（2019•呼和浩特）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．
（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点； （3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝
S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函
数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
38．（2019•益阳）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点
D，已知A（1，4），B（3，0）．
15
（1）求抛物线对应的二次函数表达式；
（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；
（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标． 提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（
，
）．
39．（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段AC的长为 ，抛物线的解析式为 ． （2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．
①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标． ②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记
PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣f2的大小．
m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和
40．（2019•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣物线y＝﹣
x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛
x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
16
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
17
九上数学-二次函数-综合题（一） 参考答案与试题解析 一．解答题（共40小题）
1．（2019•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点
B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，
，解得：
，
函数顶点坐标为（1，4），点C′（0，﹣3）， 将CD的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD的表达式为：y＝7x﹣3， 当y＝0时，x＝故点E（
，x）；
，
18
（3）①当点P在x轴上方时，如下图2，
∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB， 过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝m， 则PB＝PA＝16＝m2+（
m，
m﹣m）2，解得：m2＝8+4
；
，
由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2， 则PB2＝2m2＝16+8则yP＝
＝2+2
②当点P在x轴下方时， 则yP＝﹣（2
）；
）或（1，﹣2﹣2
）．
故点P的坐标为（1，2
2．（2019•通辽）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点
A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．
（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9， 将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，
19
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①， 则点B（3，5），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB的表达式为：y＝2x﹣1； （2）存在，理由：
二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1）， 过点D作y轴的平行线交AB于点H，
设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1）， ∵S△DAC＝2S△DCM， 则S△DAC＝
DH（xC﹣xA）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，
解得：x＝﹣1或5（舍去5）， 故点D（﹣1，5）；
（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8， ①当AM是平行四边形的一条边时，
点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，
同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P， 即：m﹣4＝s，﹣6＝t，而t＝﹣s2+2s+8， 解得：s＝6或﹣4，
故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）； ②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8， 解得：s＝1故点P（1
， ，2）或（1﹣
，2）；
，2）或（1﹣
，2）．
综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1
3．（2019•吉林）如图，抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）．P为抛物线上一点，横坐标为m，且m＞0． （1）求此抛物线的解析式；
（2）当点P位于x轴下方时，求△ABP面积的最大值；
（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为h． ①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围； ②当h＝9时，直接写出△BCP的面积．
20
【解答】解：（1）将点C（0，﹣3）代入y＝（x﹣1）2+k， 得k＝﹣4，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）令y＝0，x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4；
抛物线顶点为（1，﹣4），
当P位于抛物线顶点时，△ABP的面积有最大值，
S＝＝8；
（3）①当0＜m≤1时，h＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m； 当1＜m≤2时，h＝﹣1﹣（﹣4）＝1；
当m＞2时，h＝m2﹣2m﹣3﹣（﹣4）＝m2﹣2m+1； ②当h＝9时
若﹣m2+2m＝9，此时△＜0，m无解； 若m2﹣2m+1＝9，则m＝4， ∴P（4，5），
∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴△BCP的面积＝
8×4﹣
5×1﹣
（4+1）×3＝6；
，交x轴于点A、B，交y轴于点C，
4．（2019•绥化）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝
且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣m（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；
（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式．
21
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，得4a﹣2b+3＝0， ∵x＝﹣∴a＝﹣∴y＝﹣
＝，b＝
， ；
x2+x+3；
（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2， 把n＝﹣5代入y＝﹣mx﹣n， ∴y＝﹣mx+5， 联立y＝﹣mx+5，y＝﹣﹣mx+5＝﹣
x2+x+3得：
x2+x+3，
∴x2﹣（2m+1）x+4＝0， ∴x1+x2＝2m+1，x1x2＝4， ∵△CPQ的面积为3； ∴S△CPQ＝S△CHP﹣S△CHQ， 即
HC（x2﹣x1）＝3，
∴x2﹣x1＝3， ∴
﹣4x1x2＝9，
∴（2m+1）2＝25， ∴m＝2或m＝﹣3， ∵m＞0， ∴m＝2；
（3）当n＝﹣3m时，PQ解析式为y＝﹣mx+3m， ∴H（0，3m），
22
∵y＝﹣mx+3m与y＝﹣∴﹣mx+3m＝﹣
x2+x+3，
x+3相交于点P与Q，
x2+
∴x＝3或x＝2m﹣2， 当2m﹣2＜3时，有0＜m＜∵点P在点Q的右边，
∴P（3，0），Q（2m﹣2，﹣2m2+5m）， ∴AQ的直线解析式为y＝∴K（0，5﹣2m）， ∴HK＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|，
①当0＜m＜1时，如图①，HK＝5﹣5m， ∴S△PQK＝S△PHK+S△QHK＝②当1＜m＜
，
x+5﹣2m，
HK（xP﹣xQ）＝（5﹣5m）（5﹣2m）＝5m2﹣m+，
时，如图②，HK＝5m﹣5，
∴S△PQK＝﹣5m2+m﹣，
，
③当2m﹣2＞3时，如图③，有m＞
∴P（2m﹣2，﹣2m2+5m），Q（3，0），K（0，0）， ∴S△PQK＝
×KQ|yP|＝
（2m2﹣5m）＝3m2﹣
m，
综上所述，S＝；
23
5．（2019•齐齐哈尔）综合与探究
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和
BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 （
，﹣5） ．
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝6 ∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）
24
∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C ∴
解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6
（2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3 ∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝∴xD＝
上，点A、B关于直线x＝
对称
，AD＝BD
∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小 设直线BC解析式为y＝kx﹣6 ∴3k﹣6＝0，解得：k＝2 ∴直线BC：y＝2x﹣6 ∴yD＝2×∴D（
﹣6＝﹣5
，﹣5）
，﹣5）
故答案为：（
（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F 设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6） ∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t ∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝（t﹣∴当t＝∴yE＝（
）2+
EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣
时，△BCE面积最大 ）2﹣
﹣6＝﹣，﹣
．
∴点E坐标为（
）时，△BCE面积最大，最大值为
（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形． ∵A（﹣2，0），C（0，﹣6） ∴AC＝
①若AC为菱形的边长，如图3， 则MN∥AC且，MN＝AC＝2∴N1（﹣2，2
），N3（2，0）
），N2（﹣2，﹣2
25
②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4 设N4（﹣2，n） ∴﹣n＝解得：n＝﹣∴N4（﹣2，﹣
）
），（﹣2，﹣2
），（2，0），（﹣2，﹣
）．
综上所述，点N坐标为（﹣2，2
26
6．（2019•襄阳）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣
x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为
x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；
（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； （3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）y＝﹣
x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，
故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3）， 抛物线的对称轴为x＝1，则点A（﹣4，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24）， 即﹣24a＝3，解得：a＝﹣故抛物线的表达式为：y＝﹣
，
x2+x+3…①；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，
将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣
x+3，
＝
＝tanα，则cosα＝
，
则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝
27
设点P（x，﹣x2+x+3），则点G（x，﹣
（﹣
x+3）， x﹣3）＝﹣
x2+
x，
则PH＝PGcosα＝∵
x2+x+3+
＜0，故PH有最小值，此时x＝3，
）；
则点P（3，
（3）①当点Q在x轴上方时，
则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称， 则点Q（2，3）； ②当点Q在x轴下方时，
Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似，则∠ACB＝∠Q′AB，
当∠ABC＝∠ABQ′时， 直线BC表达式的k值为﹣设直线BQ′表达式为：y＝直线BQ′的表达式为：y＝
，则直线BQ′表达式的k值为
，
x+b，将点B的坐标代入上式并解得： x﹣3…②，
联立①②并解得：x＝6或﹣8（舍去6）， 故点Q（Q′）坐标为（﹣8，﹣7）（舍去）； 当∠ABC＝∠ABQ′时，
同理可得：直线BQ′的表达式为：y＝
x﹣…③，
联立①③并解得：x＝6或﹣10（舍去6）， 故点Q（Q′）坐标为（﹣10，﹣12），
由点的对称性，另外一个点Q的坐标为（12，﹣12）；
综上，点Q的坐标为：（2，3）或（12，﹣12）或（﹣10，﹣12）．
7．（2019•随州）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0）． （1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接AB，AC，设点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点P作PD⊥AC于点E，交x轴于点D，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G．设线段
DG的长为d，求d与m的函数关系式，并注明m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若△PDG的面积为
，
28
①求点P的坐标；
②设M为直线AP上一动点，连接OM交直线AC于点S，则点M在运动过程中，在抛物线上是否存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对应的点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点B（﹣2，0），C（6，0） ∴设交点式y＝a（x+2）（x﹣6） ∵抛物线过点A（0，6） ∴﹣12a＝6 ∴a＝﹣
（x+2）（x﹣6）＝﹣
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8
∴抛物线对称轴为直线x＝2．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，如图1 ∴∠PHD＝90°
∵点P（m，n）是抛物线上位于第一象限内的一动点且在对称轴右侧 ∴2＜m＜6，PH＝n＝﹣
m2+2m+6，n＞0
∵OA＝OC＝6，∠AOC＝90° ∴∠ACO＝45° ∵PD⊥AC于点E ∴∠CED＝90°
∴∠CDE＝90°﹣∠ACO＝45° ∴DH＝PH＝n ∵PG∥AB ∴∠PGH＝∠ABO ∴△PGH∽△ABO ∴∴GH＝
∴d＝DH﹣GH＝n﹣
n n＝
n＝
（﹣
m2+2m+6）＝﹣m2+m+4（2＜m＜6）
29
（3）①∵S△PDG＝∴
DG•PH＝
n•n＝
解得：n1＝∴﹣
，n2＝﹣
（舍去）
m2+2m+6＝
解得：m1＝﹣1（舍去），m2＝5 ∴点P坐标为（5，
②在抛物线上存在点R，使得△ARS为等腰直角三角形． 设直线AP解析式为y＝kx+6 把点P代入得：5k+6＝∴k＝﹣
）
∴直线AP：y＝﹣x+6
i）若∠RAS＝90°，如图2
∵直线AC解析式为y＝﹣x+6 ∴直线AR解析式为y＝x+6
解得：
∴R（2，8）
∵∠ASR＝∠OAC＝45° ∴RS∥y轴 ∴xS＝xR＝2 ∴S（2，4） ∴直线OM：y＝2x
（即点A）
∵ 解得：
∴M（，）
ii）若∠ASR＝90°，如图3
∴∠SAR＝∠ACO＝45° ∴AR∥x轴 ∴R（4，6）
∵S在AR的垂直平分线上 ∴S（2，4）
30
∴M（，）
iii）若∠ARS＝90°，如图4，
∴∠SAR＝∠ACO＝45°，RS∥y轴 ∴AR∥x轴 ∴R（4，6） ∴S（4，2） ∴直线OM：y＝
x
∵ 解得：
∴M（6，3） 综上所述，M1（
，
），R1（2，8）；M2（
，
），R2（4，6）；M3（6，3），R3（4，6）．
31
8．（2019•梧州）如图，已知⊙A的圆心为点（3，0），抛物线y＝ax2﹣
x+c过点A，与⊙A交于B、
C两点，连接AB、AC，且AB⊥AC，B、C两点的纵坐标分别是2、1．
（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；
（2）直线y＝kx+1经过点B，与x轴交于点D．点E（与点D不重合）在该直线上，且AD＝AE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；
（3）如果直线y＝k1x﹣1与⊙A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．
【解答】解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S， ∵∠BAR+∠RAB＝90°，∠RAB+∠CAS＝90°， ∴∠RAB＝∠CAR，又AB＝AC， ∴RtBRA△≌Rt△ASC（AAS）， ∴AS＝BR＝2，AR＝CS＝1，
故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1）， 将点B、C坐标代入抛物线y＝ax2﹣
x+c并解得：
a＝，c＝11，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+11；
x+1，则点D（﹣2，0），
（2）将点B坐标代入y＝kx+1并解得：y＝
点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（﹣2，0）， 则AB＝
，AD＝5，
点E在直线BD上，则设E的坐标为（x，x+1），
32
∵AD＝AE，则52＝（3﹣x）2+（解得：x＝﹣2或6（舍去﹣2）， 故点E（6，4）， 把x＝6代入y＝
x+1）2，
x2﹣x+11＝4，
故点E在抛物线上；
（3）①当切点在x轴下方时，
设直线y＝k1x﹣1与⊙A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，﹣1），连接GA，
AH＝AB＝，GA＝，
∵∠AHK＝∠KOG＝90°，∠HKA＝∠HKA，∴△KOG∽△KHA， ∴
，即：
，
解得：KO＝2或﹣故点K（﹣2，0），
（舍去﹣），
把点K、G坐标代入y＝k1x﹣1并解得： 直线的表达式为：y＝﹣②当切点在x轴上方时， 直线的表达式为：y＝2x﹣1； 故满足条件的直线解析式为：y＝﹣
x﹣1；
x﹣1或y＝2x﹣1．
9．（2019•柳州）如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，动点．
（1）求抛物线的解析式； （2）求△BDP周长的最小值；
（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于
CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个
CE时，过P，Q两
点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积．
33
【解答】解：（1）直线y＝x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝3， 故点A、C的坐标为（3，0）、（0，﹣3），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1）＝a（x2﹣4x+3）， 则3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①；
（2）过点B作直线y＝x﹣3的对称点B′，连接BD交直线y＝x﹣3于点P， 直线B′B交函数对称轴与点G，连接AB′，
则此时△BDP周长＝BD+PB+PD＝BD+B′B为最小值，
D（2，1），则点G（2，﹣1），即：BG＝EG， 即点G是BB′的中点，过点B′（3，﹣2）， △BDP周长最小值＝BD+B′B＝
；
（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，
点A、B、C、E、F的坐标为（3，0）、（1，0）、（0，﹣3）、（2，0）、（﹣2，0）， 则CE＝则PF＝
，FQ＝
CE，
，
CE﹣CE＝
34
设点P（m，m﹣3），点F（﹣2，0），
PF2＝13＝（m﹣2）2+（m﹣3）2，
解得：m＝1，故点P（1，﹣2），
将点P、F坐标代入一次函数表达式并解得： 直线PF的表达式为：y＝﹣联立①②并解得：x＝故点M、N的坐标分别为：（
x﹣
，
…②，
，）、（，），
过点M、N分别作x轴的垂线交于点S、R， 则S四边形ABMN＝S梯形NRSM﹣S△ARN﹣S△SBM＝
．
10．（2019•张家界）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点
C，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； （4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+不存在，请说明理由．
QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）， 即：3a＝3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3， 则顶点D（2，﹣1）；
（2）∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
AM＝MB＝ABsin45°＝＝AD＝BD，
则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°， ∴四边形ADBM为正方形；
（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 过点P作y轴的平行线交BC于点H，
35
设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3）， 则S△PBC＝∵﹣
PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝
，
（﹣x2+3x），
＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝
，﹣
）；
故点P（
（4）存在，理由：
如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H， 则HQ＝
CQ，
AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，
，直线HC的表达式为：y＝
，
直线HC所在表达式中的k值为x+3…①
则直线AH所在表达式中的k值为﹣则直线AH的表达式为：y＝﹣则直线AH的表达式为：y＝﹣联立①②并解得：x＝故点H（则AH＝即：AQ+
，，
，
x+s，将点A的坐标代入上式并解得： x+
…②，
），而点A（1，0），
QC的最小值为．
11．（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度； （3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．
36
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称， ∴点B的坐标为（3，0）， 代入y＝x2+bx+c，得：
，
解得
，
所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图所示：
由抛物线解析式知C（0，﹣3）， 则OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝45°，
若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°， ∴OP＝OBtan∠OBP＝3×∴CP＝3﹣
；
＝3
，
＝
，
若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°， ∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3×∴CP＝3
（3）若a+1＜1，即a＜0，
则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，
﹣3；
或3
﹣3；
综上，CP的长为3﹣
37
解得a＝1﹣（正值舍去）；
若a＜1＜a+1，即0＜a＜1， 则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a， 解得：a＝﹣2（舍去）； 若a＞1，
则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a， 解得a＝2+
（负值舍去）；
或2+
．
综上，a的值为1﹣
12．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2， 可得a＝﹣∴y＝﹣
，b＝
，
x2+x+2；
∴对称轴x＝1；
（2）如图1：过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H， 设点D（1，y）， ∵C（0，2），B（3，0），
∴在Rt△CGD中，CD2＝CG2+GD2＝（2﹣y）2+1， ∴在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2， 在△BCD中，∵∠DCB＝∠CBD， ∴CD＝BD， ∴CD2＝BD2，
∴（2﹣y）2+1＝4+y2，
38
∴y＝，
）；
∴D（1，
（3）如图2：过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P， ∴∠EQR＝∠QRP＝∠RPE＝90°， ∴四边形QRPE是矩形，
∵S△CEF＝S矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP， ∵E（x，y），C（0，2），F（1，1）， ∴S△CEF＝EQ•QR﹣
×EQ•QC﹣
CR•RF﹣FP•EP，
（x﹣1）（y﹣1），
∴S△CEF＝x（y﹣1）﹣∵y＝﹣
x（y﹣2）﹣×1×1﹣
x2+x+2，
x，
，
∴S△CEF＝﹣∴当x＝此时E（
x2+
时，面积有最大值是，
）；
（4）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 设N（1，n），M（x，y）， ①四边形CMNB是平行四边形时， ＝
，
∴x＝﹣2， ∴M（﹣2，﹣
）；
②四边形CNBM时平行四边形时， ＝∴x＝2， ∴M（2，2）；
③四边形CNNB时平行四边形时，
＝∴x＝4， ∴M（4，﹣
）；
）或M（﹣2，﹣
）；
， ，
综上所述：M（2，2）或M（4，﹣
39
13．（2019•烟台）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝经过点D，连接MD，BD． （1）求抛物线的表达式；
（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，
（x＞0）
F的坐标；
（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）
40
【解答】解；（1）C（0，3） ∵CD⊥y， ∴D点纵坐标是3， ∵D在y＝
上，
∴D（2，3），
将点A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）M（1，4），B（3，0），
作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F， 则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长； ∴M'（﹣1，4），D'（2，﹣3）， ∴M'D'直线的解析式为y＝﹣∴N（
，0），F（0，
）；
x+
（3）设P（0，t），N（r，t），
作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大； ∴PN＝ND， ∴r＝
∴t2﹣6t﹣4r+13＝0， 易求BD的中点为（
，
）， ，
直线BD的解析式为y＝﹣3x+9， ∴BD的中垂线解析式y＝
x+
，
，
N在中垂线上，∴t＝
∴t2﹣18t+21＝0， ∴t＝9+2∵0＜t＜3， ∴t＝9﹣2∴P（0，9﹣2
，
）；
r+
或t＝9﹣2，
41
14．（2019•玉林）已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．
（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）； （3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（﹣则二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，
，0），
42
∴a＝﹣1，
则抛物线与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）、B的坐标为（1，0）， ∴抛物线解析式为y＝（x+2）（﹣x+1） ＝﹣x2﹣x+2 ＝﹣（x+
）2+
，
当x＝0时，y＝2，即C（0，2）， 函数图象如图1所示：
（3）存在这样的点P， ∵OA＝OC＝2， ∴∠ACO＝45°，
如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，
∵∠PCA＝75°，
∴∠PCO＝120°，∠OCB＝60°， 则∠OEC＝30°， ∴OE＝
＝
＝2
，
则E（2，0），
求得直线CE解析式为y＝﹣x+2，
43
联立，
解得或，
∴P（，）；
如图3，当点P在直线AC下方时，记直线PC与x轴的交点为F，
∵∠ACP＝75°，∠ACO＝45°， ∴∠OCF＝30°，
则OF＝OCtan∠OCF＝2×∴F（
，0），
＝
，
求得直线PC解析式为y＝﹣联立
，
x+2，
解得：∴P（
或﹣1，
﹣1），
，
综上，点P的坐标为（，）或（﹣1，﹣1）．
15．（2019•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（l，0），与y轴交于点
C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点
44
H，使△CHB的周长最小．若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点Q为抛物线的顶点，点P为射线AD上的一个动点，且点P的横坐标为t，过点P作x轴的垂线l，垂足为E，点P从点A出发沿AD方向运动，直线l随之运动，当﹣2＜t＜1时，直线l将四边形ABCQ分割成左右两部分，设在直线l左侧部分的面积为S，求S关于t的函数表达式．
【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和B（l，0） ∴交点式为y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣（x2+x﹣2） ∴抛物线的表示式为y＝﹣x2﹣x+2
（2）在射线AD上存在一点H，使△CHB的周长最小．
如图1，延长CA到C'，使AC'＝AC，连接BC'，BC'与AD交点即为满足条件的点H ∵x＝0时，y＝﹣x2﹣x+2＝2 ∴C（0，2） ∴OA＝OC＝2
∴∠CAO＝45°，直线AC解析式为y＝x+2 ∵射线AC绕点A顺时针旋转90°得射线AD ∴∠CAD＝90°
∴∠OAD＝∠CAD﹣∠CAO＝45° ∴直线AD解析式为y＝﹣x﹣2 ∵AC'＝AC，AD⊥CC'
∴C'（﹣4，﹣2），AD垂直平分CC' ∴CH＝C'H
∴当C'、H、B在同一直线上时，C△CHB＝CH+BH+BC＝C'H+BH+BC＝BC'+BC最小 设直线BC'解析式为y＝kx+a
∴ 解得：
∴直线BC'：y＝x﹣
∵ 解得：
45
∴点H坐标为（﹣
，﹣）
（3）∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+∴抛物线顶点Q（﹣①当﹣2＜t≤﹣
，
）
）2+
时，如图2，直线l与线段AQ相交于点F
设直线AQ解析式为y＝mx+n ∴
解得：
∴直线AQ：y＝x+3
∵点P横坐标为t，PF⊥x轴于点E ∴F（t，
t+3）
t+3
t+3）＝
t2+3t+3
∴AE＝t﹣（﹣2）＝t+2，FE＝∴S＝S△AEF＝②当﹣
AE•EF＝（t+2）（
＜t≤0时，如图3，直线l与线段QC相交于点G，过点Q作QM⊥x轴于M ﹣（﹣2）＝
，QM＝
∴AM＝﹣∴S△AQM＝
AM•QM＝
设直线CQ解析式为y＝qx+2 把点Q代入：﹣∴直线CQ：y＝﹣∴G（t，﹣
q+2＝x+2
，解得：q＝﹣
t+2）
）＝t+
，GE＝﹣
∴EM＝t﹣（﹣∴S梯形MEGQ＝
t+2
（
﹣
（QM+GE）•ME＝
+（﹣
t+2）（t+
）＝﹣
）＝﹣t2+2t+
∴S＝S△AQM+S梯形MEGQ＝t2+2t+t2+2t+
③当0＜t＜1时，如图4，直线l与线段BC相交于点N 设直线BC解析式为y＝rx+2 把点B代入：r+2＝0，解得：r＝﹣2
46
∴直线BC：y＝﹣2x+2 ∴N（t，﹣2t+2） ∴BE＝1﹣t，NE＝﹣2t+2 ∴S△BEN＝
BE•NE＝（1﹣t）（﹣2t+2）＝t2﹣2t+1
×（
+2）×+
＝
，S△BOC＝
∵S梯形MOCQ＝（QM+CO）•OM＝BO•CO＝
×1×2＝1
∴S＝S△AQM+S梯形MOCQ+S△BOC﹣S△BEN＝+1﹣（t2﹣2t+1）＝t2﹣2t+
综上所述，S＝
47
16．（2019•河北）如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y＝﹣x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D． （1）若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标； （2）当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点（x0，0）与点D间的距离；
（4）在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．
【解答】解：（1）当x＝0吋，y＝x﹣b＝﹣b， ∴B （0，﹣b）， ∵AB＝8，而A（0，b）， ∴b﹣（﹣b）＝8， ∴b＝4．
∴L：y＝﹣x2+4x， ∴L的对称轴x＝2，
48
当x＝2吋，y＝x﹣4＝﹣2，
∴L的对称轴与a的交点为（2，﹣2 ）； （2）y＝﹣（x﹣∴L的顶点C（∵点C在l下方， ∴C与l的距离b﹣
＝﹣
（b﹣2）2+1≤1，
）2+）
，
∴点C与1距离的最大值为1； （3）由題意得
，即y1+y2＝2y3，
得b+x0﹣b＝2（﹣x02+bx0） 解得x0＝0或x0＝b﹣
．但x0#0，取x0＝b﹣
，
对于L，当y＝0吋，0＝﹣x2+bx，即0＝﹣x（x﹣b）， 解得x1＝0，x2＝b， ∵b＞0，
∴右交点D（b，0）．
∴点（x0，0）与点D间的距离b﹣（b﹣
）＝
（4）①当b＝2019时，抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019x 直线解析式a：y＝x﹣2019
联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019，
∴可知每一个整数x的值 都对应的一个整数y值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019）共有2021个整数；
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴线段和抛物线上各有2021个整数点 ∴总计4042个点，
∵这两段图象交点有2个点重复， ∴美点”的个数：4042﹣2＝4040（个）； ②当b＝2019.5时，
抛物线解析式L：y＝﹣x2+2019.5x， 直线解析式a：y＝x﹣2019.5，
联立上述两个解析式可得：x1＝﹣1，x2＝2019.5，
∴当x取整数时，在一次函数y＝x﹣2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0， 在二次函数y＝x2+2019.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，
可知﹣1到2019.5之 间有1009个偶数，并且在﹣1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合
条件，因此“美点”共有1010个．
故b＝2019时“美点”的个数为4040个，b＝2019.5时“美点”的个数为1010个．
17．（2019•常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．
49
（1）b＝ 2 ；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0） ∴﹣1﹣b+3＝0 解得：b＝2 故答案为：2．
（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH． ∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3 当x＝0时y＝3， ∴C（0，3）
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣1，0），B（3，0） ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3 ∵点D为OC的中点， ∴D（0，
）
+
，
∴直线BD的解析式为y＝﹣
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，﹣∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣∴MN＝NH ∵PM＝MN ∴﹣t2+3t＝﹣解得：t1＝∴P（
，
t+），H（t，0）
x+）＝﹣t+，NH＝﹣t+
t+
，t2＝3（舍去） ）
50
∴P的坐标为（
，），使得PM＝MN＝NH．
（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E ∵OB＝3，OD＝∴BD＝∴cos∠OBD＝
，∠BOD＝90° ＝
∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F ∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90° ∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90° ∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝∴PQ＝
PE
在Rt△PFR中，cos∠RPF＝∴PR＝
PF
∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB＝∴PQ＝2QR
BQ•PQ，S△QRB＝BQ•QR
设直线BD与抛物线交于点G ∵﹣
+
＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣
∴点G横坐标为﹣
设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣①若﹣
t+t+
） ）|＝|﹣t2+
t+|
＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，
∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+∵PQ＝2QR ∴PQ＝
t+
PR
51
∴PE＝•PF，即6PE＝5PF
）＝5（﹣t2+2t+3）
∴6（﹣t2+t+
解得：t1＝2，t2＝3（舍去） ∴P（2，3） ②若﹣1＜t＜﹣
，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，
此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立． ③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4， ∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣∵PQ＝2QR ∴PQ＝2PR ∴
t+﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣
PE＝2•
t﹣
PF，即2PE＝5PF
）＝5（t2﹣2t﹣3） ，t2＝3（舍去） ）
，﹣
）．
∴2（t2﹣
解得：t1＝﹣∴P（﹣
，﹣
综上所述，点P坐标为（2，3）或（﹣
52
18．（2019•荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式；
（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3） ∴BC＝OA＝6，BC∥x轴
∴xB＝xC+6＝10，yB＝yC＝3，即B（10，3） 设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣
53
（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P ∵C（4，3） ∴OC＝∵BC∥OA ∴∠OEC＝∠AOE ∵OE平分∠AOC ∴∠AOE＝∠COE ∴∠OEC＝∠COE ∴CE＝OC＝5
∴xE＝xC+5＝9，即E（9，3） ∴直线OE解析式为y＝
x
∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝﹣7
∴F（7，）
∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上 ∴E'（9，﹣3），PE＝PE'
∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小 设直线E'F解析式为y＝kx+h ∴
解得：
∴直线E'F：y＝﹣当﹣
x+21
，0）．
x+21＝0时，解得：x＝
∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（
（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形． 设AH与OE相交于点G（t，∵AH⊥OE于点G，A（6，0） ∴∠AGO＝90° ∴AG2+OG2＝OA2 ∴（6﹣t）2+（
t），如图2
t）2+t2+（t）2＝62
∴解得：t1＝0（舍去），t2＝
54
∴G（，）
设直线AG解析式为y＝dx+e ∴
解得：
∴直线AG：y＝﹣3x+18
当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5 ∴H（5，3）
∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称
①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2 则HE∥MN，MN＝HE＝4
∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上 ∴xM＝7+4或7﹣4，即xM＝11或3 当x＝3时，yM＝﹣∴M（3，
×9+
×9﹣）
＝
）或（11，
②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3 则HE、MN互相平分
∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上 ∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点 ∴yM＝﹣
×49+
×7﹣
＝4
∴M（7，4）
综上所述，点M坐标为（3，
）、（11，
）或（7，4）．
55
19．（2019•河南）如图，抛物线y＝ax2+经过点A，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m． ①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；
②作点B关于点C的对称点B'，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y＝kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）
x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x﹣2
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣∴点C的坐标为（0，﹣2）； 当y＝0时，﹣解得：x＝﹣4，
∴点A的坐标为（﹣4，0）．
将A（﹣4，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+
x﹣2＝﹣2，
x﹣2＝0，
x+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝（2）①∵PM⊥x轴，
x2+x﹣2．
56
∴∠PMC≠90°，
∴分两种情况考虑，如图1所示． （i）当∠MPC＝90°时，PC∥x轴， ∴点P的纵坐标为﹣2． 当y＝﹣2时，
x2+x﹣2＝﹣2，
解得：x1＝﹣2，x2＝0， ∴点P的坐标为（﹣2，﹣2）；
（ii）当∠PCM＝90°时，设PC与x轴交于点D． ∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠OCA+∠OCD＝90°， ∴∠OAC＝∠OCD． 又∵∠AOC＝∠COD＝90°， ∴△AOC∽△COD， ∴
＝
，即
＝
，
∴OD＝1，
∴点D的坐标为（1，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将C（0，﹣2），D（1，0）代入y＝kx+b，得：
，解得：
，
∴直线PC的解析式为y＝2x﹣2．
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组，得：
，
解得：，，
点P的坐标为（6，10）．
综上所述：当△PCM是直角三角形时，点P的坐标为（﹣2，﹣2）或（6，10）． ②当y＝0时，
x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2， ∴点B的坐标为（2，0）．
∵点C的坐标为（0，﹣2），点B，B′关于点C对称， ∴点B′的坐标为（﹣2，﹣4）．
∵点P的横坐标为m（m＞0且m≠0）， ∴点M的坐标为（m，﹣
m﹣2）．
x+
，直线B′M的解析式为y＝
利用待定系数法可求出：直线BM的解析式为y＝﹣﹣
，直线BB′的解析式为y＝x﹣2．
x分三种情况考虑，如图2所示：
57
当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y＝﹣当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y＝当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（综上所述：直线l的解析式为y＝﹣
x﹣2； x﹣2；
m﹣2．
m，﹣m﹣2）时，直线l的解析式为y＝x﹣
x﹣2或y＝x﹣
m﹣2．
x﹣2，y＝
20．（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B． （1）点D的坐标是 （2，9） ；
（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似． ①当n＝
时，求DP的长；
＜nx+1
②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围 ＜
．
58
【解答】解：（1）顶点为D（2，9）； 故答案为（2，9）； （2）对称轴x＝2， ∴C（2，
），
由已知可求A（﹣
，0），
点A关于x＝2对称点为（
，0），
则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13，∴B（5，3）， ①当n＝时，N（2，）， ∴DA＝
，DN＝
，CD＝
当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB， ∵△DAC∽△DPN， ∴， ∴DP＝9
；
当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA， ∴△DNQ∽△DCA， ∴， ∴DP＝9
；
综上所述，DN＝9
；
②当PQ∥AB，DB＝DP时，
DB＝3
， ∴， ∴DN＝， ∴N（2，
），
59
∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，故答案为
＜n＜
；
＜n＜；
21．（2019•湘西州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3． （1）求抛物线的解析式；
（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；
（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线
？若存在，求出点PKL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【解答】解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2 ∴A（2，0） ∵OA：AD＝1：3 ∴AD＝3OA＝6 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD⊥AB ∴D（2，﹣6）
∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E ∴
解得：
∴抛物线的解析式为y＝
x2﹣4x
（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、
M'N'
∵y＝
x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8
∴抛物线对称轴为直线x＝4
60
∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6） ∴yC＝yD＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称 ∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6） ∴AB＝CD＝4，B（6，0）
∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90° ∴∠BAM＝45° ∴BM＝AB＝4 ∴M（6，﹣4）
∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上 ∴M'（6，4），FM＝FM' ∵N为CD中点 ∴N（4，﹣6）
∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上 ∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'
∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM' ∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小 ∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝12
（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为过点P作PE∥y轴交直线OD于点E ∵D（2，﹣6） ∴OD＝
设点P坐标为（t，
，直线OD解析式为y＝﹣3x
．
．
＝2
+10
＝
∴四边形MNGF周长最小值为12
t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）
①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧 ∴PE＝yE﹣yP＝﹣3t﹣（∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝
t2﹣4t）＝﹣PE•xP+
t2+t
PE（xP+xD﹣xP）＝
PE•xD＝PE＝﹣
t2+t
PE•（xD﹣xP）＝
，
∵△ODP中OD边上的高h＝∴S△ODP＝∴﹣
OD•h
×2
×
t2+t＝
方程无解
②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧 ∴PE＝yP﹣yE＝
t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t
61
∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝∴
PE•xP﹣
PE•（xP﹣xD）＝PE（xP﹣xP+xD）＝PE•xD＝PE＝t2﹣t
t2﹣t＝×2×
解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6 ∴P（6，﹣6）
综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为
（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L ∵KL平分矩形ABCD的面积
∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4 ∴K（m，0），L（2+m，0） 连接AC，交KL于点H ∵S△ACD＝S四边形ADLK＝∴S△AHK＝S△CHL ∵AK∥LC ∴△AHK∽△CHL ∴
．
S矩形ABCD
∴AH＝CH，即点H为AC中点 ∴H（4，﹣3）也是KL中点 ∴∴m＝3
∴抛物线平移的距离为3个单位长度．
62
22．（2019•邵阳）如图，二次函数y＝﹣
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、
x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）
63
Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣
x2+bx+c，得：
，解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣（2）当y＝m时，﹣解得：x1＝4﹣∴点A的坐标为（4﹣∴点D的坐标为（4﹣∵矩形ABCD为正方形， ∴4+
﹣（4﹣
x2+x．
x2+x＝m，
，
，m）， ，0）．
，x2＝4+
，m），点B的坐标为（4+，0），点C的坐标为（4+）＝m，
解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4． ∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．
（3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．
由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0）， 将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：
，解得：
，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6． 当x＝2+t时，y＝﹣
x2+x＝﹣t2+
t2+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，
∴点E的坐标为（2+t，﹣t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．
∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF， ∴AQ＝EF，分三种情况考虑：
64
①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣∴t＝﹣
t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，
t2+t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4；
②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣∴8﹣t＝﹣
t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，
t2+t，
解得：t3＝4（舍去），t4＝6；
③当7＜t≤8时，如图3所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t+4﹣（﹣∴8﹣t＝
t2+t+4）＝t2﹣t，
t2﹣t，
（舍去），t6＝2+2
．
．．
解得：t5＝2﹣2
综上所述：当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4，6或2+2
65
23．（2019•广西）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1＝
x2+x与C2：y2＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，﹣1）． （1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1＝0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2＝0），令S＝S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．
【解答】解：由抛物线C1：y1＝
x2+x可得A（﹣2，﹣1），
将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y2＝ax2+x+c 得
，
解得，
∴y2＝﹣+x+2，
∴B（2，3）；
（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1， ①若B为直角顶点，BE⊥AB，kBE•kAB＝﹣1， ∴kBE＝﹣1，
直线BE解析式为y＝﹣x+5
66
联立，
解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1， ∴E（6，﹣1）；
②若A为直角顶点，AE⊥AB， 同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3， 联立
，
解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13， ∴E（10，﹣13）；
③若E为直角顶点，设E（m，﹣由AE⊥BE得kBE•kAE＝﹣1，
m2+m+2）
即，
解得m＝2或﹣2（不符合题意舍去）， ∴点E的坐标∴E（6，﹣1）或E（10，﹣13）； （3）∵y1≤y2， ∴﹣2≤x≤2， 设M（t，
），N（t，
），且﹣2≤t≤2，
易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3， 过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，
则Q（
），
S1＝
＝
QM•|yF﹣yA|
设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），
S2＝PN•|xA﹣xB|
67
＝2﹣
S＝S1+S2＝4t+8，
当t＝2时，
S的最大值为16．
24．（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
【解答】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4， 故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；
（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4， 将点A坐标代入上式并解得：k＝1， 故直线CA的表达式为：y＝x﹣4， 过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
68
∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°， 设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），
PD＝HPsin∠PFD＝
∵
（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，
，
＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2
此时点P（2，﹣6）．
25．（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒运动时间为t（秒）．
（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标； （3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形
个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设
MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c， 将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得
，
∴，
∴y＝﹣﹣x+2；
（2）∵△PAM≌△PBM， ∴PA＝PB，MA＝MB，
∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点， ∵AB＝2，
∴点P的纵坐标是1， ∴1＝﹣∴x＝﹣1+∴P（﹣1﹣
﹣
x+2，
，
，1）；
或x＝﹣1﹣
，1）或P（﹣1+
69
（3）CM＝t﹣2，MG＝CM＝2t﹣4，
﹣（2
+
MD＝4MF＝
﹣（BC+CM）＝4t﹣2）＝4﹣t，
MD＝4﹣t，
∴BF＝4﹣4+t＝t， ∴S＝当t＝
（GM+BF）×MF＝时，S最大值为
；
（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣
+8t﹣8＝﹣
（t﹣
）2+
；
（3）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2， 直线AQ的解析式y＝﹣∴K（0，∴OK2＝
），H（
，
（x+2）+2，
）， +＝
+
，HK2＝
，
+
，
，OH2＝
①当OK＝OH时，∴m2﹣4m﹣8＝0， ∴m＝2+2
或m＝2﹣2
+
；
＝
+
，
②当OH＝HK时，∴m2﹣8＝0， ∴m＝2
或m＝﹣2
；
＝
+
，0）或Q（2
，不成立； ，0）或Q（﹣2
，0）；
③当OK＝HK时，综上所述：Q（2+2
，0）或Q（2﹣2
26．（2019•毕节市）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3 ，抛物线的顶点坐标为 （﹣1，4） ； （2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
70
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①， 顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）∵OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， ∵S△CPD：S△BPD＝1：2， ∴BD＝
BC＝×＝2，
yD＝BDsin∠CBO＝2，
则点D（﹣1，2）；
（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，
∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°， ∴∠OHE＝45°， ∴OH＝OE＝1，
则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②， 联立①②并解得：x＝故点P（
（4）不存在，理由：
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
，
（舍去正值）， ）；
直线BC的表达式为：y＝x+3，
设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3）， 则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC＝
×3×3+
（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，
71
整理得：3x2+9x+7＝0， 解得：△＜0，故方程无解， 则不存在满足条件的点P．
27．（2019•贵港）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点． （1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．
【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x＝4）2+3， 将点B坐标代入上式并解得：a＝﹣故抛物线的表达式为：y＝﹣
，
x2+4x﹣5；
（2）A（4，3）、B（0，﹣5），则点M（2，﹣1）， 设直线AB的表达式为：y＝kx﹣5，
将点A坐标代入上式得：3＝4k﹣5，解得：k＝2， 故直线AB的表达式为：y＝2x﹣5； （3）设点Q（4，s）、点P（m，﹣①当AM是平行四边形的一条边时，
点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M， 同样点P（m，﹣即：m﹣2＝4，﹣
m2+4m﹣5），
m2+4m﹣5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s）， m2+4m﹣5﹣4＝s，
解得：m＝6，s＝﹣3，
故点P、Q的坐标分别为（6，1）、（4，﹣3）； ②当AM是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：4+2＝m+4，3﹣1＝﹣解得：m＝2，s＝1，
故点P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，1）； ③当点Q在点A上方时，AQ＝MP＝2， 同理可得点Q的坐标为（4，5），
故点P、Q的坐标分别为（6，1）或（2，1）、（4，﹣3）或（4，1）或（4，5）． 28．（2019•福建）已知抛物y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
m2+4m﹣5+s，
72
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形． ①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．
【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a， 则c＝4a；
（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），
且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1）， 又△ABC为等腰直角三角形， ∴点A为抛物线的顶点； ①c＝1，顶点A（1，0）， 抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1， ②
，
x2﹣（2+k）x+k＝0， x＝
（2+k±
（2+k﹣
），
），yD＝﹣1；
xD＝xB＝
则D，
yC＝（2+k2+k，
C，A（1，0），
∴直线AD表达式中的k值为：kAD＝＝，
直线AC表达式中的k值为：kAC＝，
73
∴kAD＝kAC，点A、C、D三点共线．
29．（2019•淮安）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）． （1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且ED＝EF，求点E的坐标． （3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的点G的坐标；若不存在，请说明理由．
？若存在，求出
【解答】解：
（1）依题意，设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+3 将点B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a＝﹣∴二次函数的表达式为：y＝﹣
（x﹣1）2+3
（2）依题意，点B（5，0），点D（1，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b
代入得，解得
∴线段BD所在的直线为y＝设点E的坐标为：（x，∴ED2＝（x﹣1）2+（﹣
x+
）
，
x+x+
﹣3）2
EF＝
74
∵ED＝EF ∴（x﹣1）2+（﹣
x+﹣3）2＝
整理得2x2+5x﹣25＝0 解得x1＝
，x2＝﹣5（舍去）
＝
故点E的纵坐标为y＝∴点E的坐标为（3）存在点G， 当点G在x轴的上方时， 设点G的坐标为（m，n），
∵点B的坐标为（5，0），对称轴x＝1 ∴点A的坐标为（﹣3，0）
∴设AD所在的直线解析式为y＝kx+b
代入得，解得
∴直线AD的解析式为y＝∴AD的距离为5，
过点G作直线AD：3x﹣4y+9＝0的垂线，交点垂足为Q（x，y） 得
，化简得
由上式整理得，（32+42）[（x﹣m）2+（y﹣n）2]＝（3m﹣4n+9）2 ∴|GQ|＝
＝
∴点G到AD的距离为：d1＝由（2）知直线BD的解析式为：y＝∴BD的距离为5
∴同理得点G至BD的距离为：d2＝
，
x+，
∴＝＝＝
整理得6m﹣32n+90＝0 ∵点G在二次函数上，
75
∴n＝
代入得6m﹣32[﹣
（m﹣1）2+3]+90＝0
整理得6m2﹣6m＝0⇒m（m﹣1）＝0 解得m1＝0，m2＝1（舍去） 此时点G的坐标为（0，
）
当点G在x轴下方时，如图2所示， ∵AO：OB＝3：5
∴当△ADG与△BDG的高相等时， 存在点G使得S△ADG：S△BDG＝3：5
此时，DG的直线经过原点，设直线DG的解析式为y＝kx， 将点D代入得，k＝3 故y＝3x 则有
，
整理得，（x﹣1）（x+15）＝0 得x1＝1（舍去），x2＝﹣15 当x＝﹣15时，y＝﹣45 故点G为（﹣15，﹣45） 综上所述，点G的坐标为（0，
）或（﹣15，﹣45）
76
30．（2019•黄石）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积；
（3）定点D（0，m）在y轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d（用含m的代数式表示）
【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝点M坐标为（2，﹣3）； （2）当x＝8时，y＝
（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），
×6×（9+3）＝36； （x2﹣4x﹣5）＝
（x﹣2）2﹣3，
（x+1）（x﹣5）＝
（x2﹣4x﹣5）＝
x2﹣x﹣，
S四边形AMBC＝
（3）y＝
AB（yC﹣yD）＝
（x+1）（x﹣5）＝
抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线， 则新抛物线表达式为：y＝
x2，
＝
时，
，
则定点D与动点P之间距离PD＝∵
，PD有最小值，当x2＝3m﹣
＝
．
PD最小值d＝
31．（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点
C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M 77
为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P的横坐标； ②直接回答这样的点P共有几个？
【解答】解：（1）令解得x1＝1，x2＝﹣7． ∴A（1，0），B（﹣7，0）． 由y＝
（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1， ∴∠COF＝∠DD1F＝90°， ∵∠D1FD＝∠CFO， ∴△DD1F∽△COF， ∴
＝
，
），
x2+x﹣＝0，
x2+x﹣＝（x+3）2﹣2得，D（﹣3，﹣2）；
∵D（﹣3，﹣2∴D1D＝2∴D1F＝2， ∴∴OC＝
＝， ，
，OD＝3，
∴CA＝CF＝FA＝2， ∴△ACF是等边三角形， ∴∠AFC＝∠ACF，
∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE， ∴∠ECF＝∠AFC＝60°， ∴EC∥BF， ∵EC＝DC＝∵BF＝6， ∴EC＝BF，
∴四边形BFCE是平行四边形； （3）∵点P是抛物线上一动点，
＝6，
78
∴设P点（x，x2+x﹣），
①当点P在B点的左侧时， ∵△PAM与△DD1A相似， ∴∴
或
＝
＝
，
或
＝
，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝﹣当点P在A点的右侧时， ∵△PAM与△DD1A相似， ∴
＝
或
＝
，
；
∴＝或＝，
（不合
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣题意舍去）；
当点P在AB之间时， ∵△PAM与△DD1A相似， ∴
＝
或
＝
，
∴＝或＝，
；
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣综上所述，点P的横坐标为﹣11或﹣②由①得，这样的点P共有3个．
或﹣
；
79
32．（2019•海南）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD． （1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①， 令y＝0，则x＝﹣1或﹣5， 即点C（﹣1，0）；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
，解得：
，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y＝x+1…②， 设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），
S△PBC＝
∵
PG（xC﹣xB）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣
；
t﹣6，
＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为
②设直线BP与CD交于点H，
80
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上， 线段BC的中点坐标为（﹣
，﹣
），
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1， 设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③， 同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④， 联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2）， 同理可得直线BH的表达式为：y＝联立①⑤并解得：x＝﹣故点P（﹣
，﹣
）；
，﹣
）代入上式并解得：
x﹣1…⑤，
或﹣4（舍去﹣4），
当点P（P′）在直线BC上方时， ∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5， 即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥， 联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4）， 故点P（0，5）； 故点P的坐标为P（﹣
，﹣
）或（0，5）．
），与x轴交于另一点
33．（2019•十堰）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，
B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
81
（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．
【解答】解：（1）由题意：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣∴顶点D坐标（2，3）．
（2）可能．如图1，
（x﹣2）2+3，
∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0）， ∴AB＝8，AD＝BD＝5，
①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，
∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立． ②当DE＝EF时， 又∵△BEF∽△AED， ∴△BEF≌△AED， ∴BE＝AD＝5
③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA， △FDE∽△DAB， ∴∴
＝＝
， ＝
，
∵△AEF∽△BCE
82
∴＝＝， ，
时，△CFE为等腰三角形．
∴EB＝AD＝
答：当BE的长为5或
（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设
P[n，﹣（n﹣2）2+3]，
则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝﹣4）2+∵﹣
，
×4×[﹣
（n﹣2）2+3]+
×3×（n﹣2）﹣
×4×3＝﹣
（n＜0，
，
∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为
∵＝m，
∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，
观察图象可知：当0＜m＜当m＝当m＞
时，满足条件的点P的个数有4个，
时，满足条件的点P的个数有3个，
时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．
34．（2019•山西）综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）△BCD的面积等于△AOC的面积的
时，求m的值；
83
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点
M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不
存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线交点式表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a， 即﹣8a＝6，解得：a＝﹣
，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+6；
（2）点C（0，6），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y＝﹣
x+6，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，
设点D（m，﹣
m2+m+6），则点H（m，﹣
m2+
，
m+6）
m2+3m，
S△BDC＝HB×OB＝2（﹣
×
×6×2＝
，
m+6+m﹣6）＝﹣
S△ACO＝
即：﹣
m2+3m＝
解得：m＝1或3（舍去1）， 故m＝3；
（3）当m＝3时，点D（3，
），
①当BD是平行四边形的一条边时， 如图所示：M、N分别有三个点，
84
设点N（n，﹣
n2+n+6）
，
则点N的纵坐标为绝对值为即|﹣
n2+n+6|＝，
， ）或（1
，﹣
）或（1﹣
，﹣
），
解得：n＝﹣1或3（舍去）或1故点N（N′、N″）的坐标为（﹣1，当点N（﹣1，当N′的坐标为（1
）时，由图象可得：点M（0，0），
，﹣
），由中点坐标公式得：点M′（，0）， ，0）或（﹣
，0）；
，0），
同理可得：点M″坐标为（﹣故点M坐标为：（0，0）或（
②当BD是平行四边形的对角线时， 点B、D的坐标分别为（4，0）、（3，设点M（m，0），点N（s，t）， 由中点坐标公式得：
，而t＝﹣
）
s2+s+6，
解得：t＝，s＝﹣1，m＝8，
故点M坐标为（8，0）； 故点M的坐标为：（0，0）或（
，0）或（﹣
，0）或（8，0）．
35．（2019•眉山）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，
（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；
（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．
85
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝﹣则点D（﹣2，4）； （2）设点P（m，﹣则PE＝﹣
（x+5）（x﹣1）＝﹣
x2﹣x+，
m2﹣m+
m+），
m2﹣，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，
矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣∵﹣
＜0，故当m＝﹣
m2﹣m+﹣4﹣2m）＝﹣（m+）2+，
时，矩形PEFG周长最大， ；
此时，点P的横坐标为﹣（3）∵∠DMN＝∠DBA，
∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB， ∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN， ∴∠NMA＝∠MDB， ∴△BDM∽△AMN，而AB＝6，AD＝BD＝5， ①当MN＝DM时， ∴△BDM≌△AMN，
即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1； ②当NM＝DN时， 则∠NDM＝∠NMD， ∴△AMD∽△ADB，
∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝
，
，
而，即＝，
解得：AN＝；
③当DN＝DM时，
86
∵∠DMN＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN， ∴∠DNM＞∠DMN， ∴DN≠DM； 故AN＝1或
．
36．（2019•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）将（1）中的抛物线向下平移
个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线．若
新抛物线的顶点D′在△ABC内，求h的取值范围；
（3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时，求△PQC的面积．
【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， 即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4， 函数顶点D（
，
）；
个单位长度，再向左平移h（h＞0）个单位长度，得到新抛物线的顶点D′（
（2）物线向下平移﹣h，
），
将点AC的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AC的表达式为：y＝4x+4， 将点D′坐标代入直线AC的表达式得：解得：h＝故：0＜h， ；
＝4（
﹣h）+4，
（3）过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q、H ∵OB＝OC＝4，∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠QPC， 直线BC的表达式为：y＝﹣x+4， 则AB＝5，BC＝4
，AC＝
，
87
S△ABC＝×5×4＝10，
设点Q（m，﹣m2+3m+4），点P（m，﹣m+4），
CP＝m，PQ＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，
①当△CPQ∽△CBA，
，即
，
解得：m＝相似比为：
，
，
②当△CPQ∽△ABC， 同理可得：相似比为：
，
利用面积比等于相似比的平方可得：
S△PQC＝10×（）2＝或S△PQC＝10×（）2＝．
37．（2019•呼和浩特）已知二次函数y＝ax2﹣bx+c且a＝b，若一次函数y＝kx+4与二次函数的图象交于点A（2，0）．
（1）写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
（2）当a＞c时，求证：直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c一定还有另一个异于点A的交点； （3）当c＜a≤c+3时，求出直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为M，抛物线对称轴与直线y＝kx+4的交点为N，设S＝
S△AMN﹣S△BMN，写出S关于a的函
数，并判断S是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【解答】解：（1）把点A（2，0）代入y＝kx+4得：2k+4＝0 ∴k＝﹣2
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4
∵二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象过点A（2，0），且a＝b ∴4a﹣2a+c＝0 解得：c＝﹣2a
∴二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a（a≠0） 当ax2﹣ax﹣2a＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1
88
∴二次函数与x轴交点坐标为（2，0），（﹣1，0）．
（2）证明：由（1）得：直线解析式为y＝﹣2x+4，抛物线解析式为y＝ax2﹣ax﹣2a
整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0
∴△＝（2﹣a）2﹣4a（﹣2a﹣4）＝a2﹣4a+4+8a2+16a＝9a2+12a+4＝（3a+2）2 ∵a＞c，c＝﹣2a ∴a＞﹣2a ∴a＞0 ∴3a+2＞0 ∴△＝（3a+2）2＞0
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴直线与抛物线还有另一个异于点A的交点
（3）∵c＜a≤c+3，c＝﹣2a ∴﹣2a＜a≤﹣2a+3 ∴0＜a≤1，抛物线开口向上 ∵
整理得：ax2+（2﹣a）x﹣2a﹣4＝0，且△＝（3a+2）2＞0
∴x＝
∴x1＝2（即点A横坐标），x2＝﹣1﹣∴y2＝﹣2（﹣1﹣
）+4＝
+6
∴直线y＝kx+4与抛物线y＝ax2﹣bx+c的另一个交点B的坐标为（﹣1﹣∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a＝a（x﹣∴顶点M（
，﹣
）2﹣
，）
a
，3）
a），对称轴为直线x＝
∴抛物线对称轴与直线y＝﹣2x+4的交点N（∴如图，MN＝3﹣（﹣∴S＝（3+
a）＝3+a MN（xA﹣a）（
﹣
）﹣﹣
S△AMN﹣S△BMN＝a）（
+1+
）＝（3+
MN（﹣xB）＝+
（3+a）（2﹣）﹣
）＝3a﹣
∵0＜a≤1
89
∴0＜3a≤3，﹣≤﹣3
＝﹣3均取得最大值
．
∴当a＝1时，3a＝3，﹣∴S＝3a﹣
+
有最大值，最大值为
38．（2019•益阳）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点
D，已知A（1，4），B（3，0）．
（1）求抛物线对应的二次函数表达式；
（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；
（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标． 提示：若点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（
，
）．
【解答】解：（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4， 将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4， 解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3；
（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由： 如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，
90
S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，
∴S△OME＝S△OBM， ∴S四边形OMAD＝S△OBM；
（3）设点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1， 解得：m＝﹣1或4，故点P（4，﹣5）；
如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，
由（2）知：点N是PQ的中点，
将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①， 同理直线AC的表达式为：y＝2x+2， 直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3）， 同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②， 联立①②并解得：x＝﹣∵点N是PQ的中点， 由中点公式得：点N（
，﹣
）． ，即点Q（﹣
，
），
39．（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）点A的坐标为 （﹣2，0） ，点B的坐标为 （4，0） ，线段AC的长为 2线的解析式为 y＝
，抛物x2﹣x﹣4 ．
（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．
①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标． ②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记
PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣f2的大小．
m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和
91
【解答】解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a＝故抛物线的表达式为：y＝
，
x2﹣x﹣4，
令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）， 则AC＝2
，
、y＝
故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2x2﹣x﹣4；
（2）①当BC是平行四边形的一条边时，
如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B， 设：点P（n，
n2﹣n﹣4），点Q（m，0），
则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q， 即：n+4＝m，
n2﹣n﹣4+4＝0，
解得：m＝4或6（舍去4）， 即点Q（6，0）；
②当BC是平行四边形的对角线时，
92
设点P（m，n）、点Q（s，0），其中n＝由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4， 解得：s＝2或4（舍去4）， 故点Q（2，0）；
故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）；
m2﹣m﹣4，
（3）如图2，过点P作PH∥x轴交BC于点H，
∵GP∥y轴，∴∠HEP＝∠ACB， ∵PH∥x轴，∴∠PHO＝∠AOC， ∴△EPH∽△CAO，∴则EP＝
，即：
，
PH，
设点P（t，yP），点H（xH，yP）， 则
t2﹣t﹣4＝xH﹣4，
t2﹣t，
t2﹣t）]＝﹣
（m2﹣4m），
（），
（t2﹣4t），
则xH＝
f＝PH＝[t﹣（
当t＝m时，f1＝当t＝4﹣
m时，f2＝﹣
m（m﹣
m2﹣2m），
则f1﹣f2＝﹣
则0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0，
f1＞f2．
40．（2019•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣物线y＝﹣
x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛
x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
93
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
【解答】解：（1）在∴A（4，0），B（0，2） 把A（4，0），B（0，2），代入
，得
中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2
，解得
∴抛物线得解析式为
（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F
∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE
∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE 即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE ∴∠DBE＝∠ABE ∴∠DBE＝∠BAC 设D点的坐标为（x，
），则BF＝x，DF＝
94
∵tan∠DBE＝，tan∠BAC＝
∴＝，即
解得x1＝0（舍去），x2＝2 当x＝2时，
∴点D的坐标为（2，3） （3）
＝3
当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF 设E（m，
），F（m，）﹣（
，
）|＝2
）
EF＝|（
解得m1＝2，
当BO为对角线时，OB与EF互相平分
过点O作OF∥AB，直线OF求得直线EF解析式为
交抛物线于点F（或
或
）或（95
）或（
）
）和（
）
直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为∴E点的坐标为（2，1）或（
，
或（
）
96
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