2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一)

2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）

高三数学（理科）

一、选择题（60分）

1、若集合A＝{x|x＞－2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则AB＝ A、{x|x＞－3} B、{x|－3＜x＜3} C、{x|x＞－2} D、{x|－2＜x＜3}

2、若a,bR，i为虚数单位，且a＋2i＝i（b＋i），则a＋b＝ A、－1 B、1 C、2 D、3 3、双曲线3x2－y2＝12的实轴长是

A 、4 B、6 C、22 D、42 4、采用系系统抽样方法从480人中抽取 16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1 、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间［1，160］的人做问卷A，编号落入区问［161，320］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为

A、4 B、5 C、6 D、7 5、如右图所示，程序框图输出的结果为 A、15 B、16 C、136 D、153

x106、在平面直角坐标系中，不等式组xy0，表示的平面区域

xy40 A、3 B、

的面积是

9 C、6 D、9 2落在CE

7、如图所示，若向正方形ABCD内随机投入一质点，则所投的质点恰好与y轴及抛物线y＝x2所围成的阴影区域内的概率是 A、

1112 B、 C、 D、 5673x2cos2x的图象大致是 8、函数y3

72x)，则sin(x)学科网的值为 3831717 A、 B、 C、± D、±

484、若cos(10、已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的取值范围为 A、（5,7） B、（－15,1） C、（5,10） D、（－,1） 11、如图，棱长为1的正方体ABC－A1B1C1D1中，E，F为A1C1上两动点，且EF＝

1，则下列结论中2

错误的是

A、BD⊥CE

B、△CEF的面积为定值

C、直线BC与平面CEF所成的角为定值 D、直线BE与CF所成的角为定值 12、已知单位向量e与向量a，b满足：｜a－e｜＝｜a｜，（a－b）²（b＝0，对每一个确定的向量a，都有与其对应的向量b满足以上条件，M，m分别为｜b｜的最大值和最小值，令t＝｜M－m｜，则对任意量a，实数t的取值范围是 A、［0,1］ B、［0，二、填空题（20分） 13、在(x－e）

设的向

11］ C、［,］ D［1，］ 2216)的展开式中，常数项为＿＿＿＿＿（用数字作答）。 x214、某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为＿＿＿

1x(),x115、若函数f(x)2，则f（x）≥2的解集为＿＿＿

log2x,x116、当nN*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如

则S（n）＝＿＿＿＿（用关于n的代数式表示）。

三、解答题（70分）

17、（本小题满分10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a32a7，S417 （1）求数列{an}的通项公式。

（2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值。

18、（本小题满分12分）

在一次抗雪救灾中，需要在A，B两地之间架设高压电线，为测量A，B两地的距离，救援人员在相距l米的C，D两地（A，B，C，D在同一平面上），没得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°（如右图）。考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A，B距离的1.2倍，问救援人员至少应该准备多长的电线？

19、（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，且AB＝2，BC＝1，点E，F分别为AB，PC中点。

（I）当PA的长度为多少时，EF⊥PD；

（II）在（I）的前提下，求二面角B－PC－D的余弦值。

20、（本小题满分12分）

为参加射击比赛，甲、乙两人进行了4天的集中训练，每天的射击数据如下表 甲射击数据表： 乙射击数据表：

将射击环数的频率视为概率，估计他们的比赛成绩。

（I）求甲、乙两人射击环数X1，X2的分布列，根据射击环数的期望与方差比较两人的射击水平； （II）若射击成绩在9环以上（含9环）为成绩优秀，求甲在3次射击中至少有2次成绩优秀的概率。 21、（本小题满分12分）

x2y2已知椭圆C：221(ab0)的右顶点、上顶点分别为M，N，过其左焦点F（－c，0）作垂

ab直于x轴的直线l，且与椭圆在第二象限交于P点，MNOP。

（1）求椭圆C的离心率； （2）若椭圆的弦AB过点E（

25c，0）且不与坐标轴垂直，设点A关于x轴的对称点A1，直线5A1B与x轴交于点R（5,0），求椭圆C的方程。 22、（本小题满分12分）

已知函数f(x)alnx。 x（I）若f（x）在x＝1处取得极值，求实数a的值； （II）若f（x）≥5－3x恒成立，求实数a的取值范围。

数学（理科答案）

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分. 1-5ABABC 6-10DBCCB 11-12DC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

4n213. 15 14. 3 15. (,1][8,) 16. 

33三、解答题：

17.解：（Ⅰ）设等差数列an的公差为d． 由已知a32a7，S417，

a12d2(a16d)得，………………2分 434a1d172a15n11解得，a．……………5分 1n22d2(Ⅱ)法一：

2n(n1)1121441Sn5nn.224216……………8分 1当n取１０或１１时，Sn取最大值27．……………10分

2法二：数列an的a10,公差d0，

此等差数列an是首项为正数的递减数列．

当n11时，an11n0； 2所以当1n11且nN时，有an0;



当n12且nN时，有an0．………………8分 综上：当n取10或11时，S11S1027所以Sn取最大值271． 21．………10分 218.解：依题意，CDl，ACD450，

在ACD中，CAD1800ACDADC600，

CDsin456ADCD根据正弦定理，∴ADl， ……….4分 sin603sin45sin60在BCD中，CBD1800BCDBDC1350，BCD300

CDsin302CDsin302根据正弦定理BD=CD , BDl …………………….8分 sin1352sin1352又在ABD中，ADBADCBDC900 根据勾股定理有

ABAD2BD2实际所需电线长度约为

2142CD=l …………………………10分 3261.2AB42l………………………….12分 519.解:（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 设PAx， 则

P(0,0,x),D(1,0,0),E(0,……………2分

212x,0),C(1,2,0),F(,,) 22221x又EF(,0,),PD(1,0,x)

221x2EFPD00，

22所以x1，

当PA的长度为1时，EF⊥PD.………………5分 （Ⅱ）法一：在RtPBC中作BNPC，BN31,CN. 22CF=1N为CF中点。

取ＣＤ中点Ｍ，连结ＭＮＭＮ//ＤＦ。

又ＤＦPＣ，ＭＮPＣMNB为二面角B－PC－Ｄ的平面角．…………9分 在MNB中BM613， ,MN,BN2223 33.…………12分 3cosMNB=二面角B－PC－Ｄ的余弦值为法二：如图建立空间直角坐标系A-xyz，

则B（0,2,0）P（0,0,1）C（1,2,0）D(1,0,0) 则PB(0,2,1),PC(1,2,1),PD(1,0,1) 设平面PBC的法向量n1(x,y,z)

n1PB0，n1PC0

2yz0,x2yz0，令y1，则 n1(0,1,2)，……………8分

同理可得平面PCD的一个法向量n2(1,0,1)，………………10分 则二面角B－PC－Ｄ的余弦值cosn1,n2=3，……………12分 320.解：（Ⅰ） 由甲射击数据表可知，总共射击400次，其中射击7环的频数为40次，8环频数为80次，9环频数为120次，10环的频数为160次.

40800.1 PX180.2 400400120160 PX190.3 PX1100.4

400400故 PX17所以，甲射击环数X1的分布列为

同理可计算

乙射击环数X2的分布列

X1

7 8 9 10

P 0.1 0.2 0.3 0.4

X2

7 8 9 10

P 0.2 0.1 0.2 0.5

…………………………………4

分

EX19,DX11;EX29,DX21.4

…………………………………………………………6分

甲乙两人射击环数均值相等，甲射击环数方差比乙射击环数方差小,因此甲乙射击的平均水平没有差别，但甲发挥比乙稳定. ………………8分

（Ⅱ）甲在一次射击成绩优秀的概率P0.30.40.7 甲在3次目标射击中至少有2次成绩优秀的概率为：

2 C30.720.3C330.730.784 …………………………12分

x2y221.解：（Ⅰ）由椭圆方程221(ab0)得M、N的坐标为

abxcb222M(a,0)，N(0,b)，则MN(a,b)，又由x，得P(c,) ya221ba由MNOP(0)得bc……………….2分

椭圆的离心率为 yAPNF1EBA1MRx2.…………….4分 2（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，由kA1RkBR得

y1y2y1y2，又kAEkBE得， 2c2cx15x25x1x255

2c5x2y25，于是20c25xx(2c55)(xx)．…………8分

则12122c5x1y1x15x2x22y22c22c设直线AB:yk(x)，则由2c得

yk(x)558k2c(8k210)c2(12k)xx0．

5522

(8k210)c28k2c，x1x2．…………10分 x1x2225(12k)5(12k)(8k210)c28k2c代入得2．解得c5 20c(2c55)225(12k)5(12k)x2y2所以椭圆方程为1．…………12分

10522．解：（Ⅰ）函数f(x)定义域为(0,)，f'(x)xa． x2f'(1)0，即a1．…………2分

经检验，a1符合题意.………………….4分 （Ⅱ）设g(x)f(x)3x5alnx3x5，则当x0时，g(x)0恒成立． xg(1)a20，所以a2．…………6分

3x2xag'(x)．方程g'(x)0有一负根x1和一正根x2.x10x2．其中x1不在函数定义域内．

x2g(x)在(0,x2)上是减函数，在(x2,)上是增函数．即g(x)在定义域上的最小值为g(x2)．………8分

依题意g(x2)0．即g(x2)aalnx23x250．又3x22x2a0，所以3x21，因为x2x2a10，x2。所以g(x2)3x21lnx23x250，即6x26lnx20，…………10分

3x2令h(x)6x6lnx，则h'(x)6x1 x当x(,)时，h(x)0，所以h(x)是增函数。所以6x26lnx20的解集为[1,) 所以a3x22x22．

即a的取值范围是[2,)．…………12分 解法二：f(x)53x，即axlnx3x25x

13'

设g(x)xlnx3x25x，则，g'(x)lnx6x6 设h(x)g'(x)，则h'(x)16x，h(1)g'(1)0 x当x(1,)时，h'(x)0，h(x)g'(x)是减函数

h(x)0，即g(x)是减函数，g(x)g(1)2.……………8分

当x(0,1)时，先证lnxx1， 设F(x)lnx(x1)，F'(x)1x0， xF(x)是增函数且F(1)0，F(x)0，即lnxx1，

当x(0,1)时，g(x)xlnx3x5xx(x1)3x5x2(x1)22

222g(x)的最大值为2，

即a的取值范围是[2,)．………………12分