平面向量题型归纳

平面向量题型归纳

一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB或a。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 例：已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。

3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e|1。(与AB共线的单位向量是AB)；

|AB|5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

AC共线； ④三点A、B、C共线AB、如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是 （ ）

A.ABCD B.ABADBD C.ADABAC D.ADBC0

7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的

A D B C ,c，相反向量是－a、ABBA。例：下列命题：（1）若ab，则ab。（2）若abb则ac。（6）若a//b,b//c，则a//c。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若

ABCD是平行四边形，则ABDC。其中正确的是_______

题型1、基本概念 1：给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a=b；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行； ④若a=b，b=c，则a=c；⑤若a//b，b//c，则a//c；⑥0a0；⑦0a0； 其中正确的序号是 。 2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD。 （5）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。 （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

b

b

（7）若a与b共线， b与c共线，则a与c共线。

（8）若mamb，则ab。 （9）若mana，则mn。 （10）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。

（11）若ab|a||b|，则a//b。 （12）若|ab||ab|，则ab。

二、向量加减运算 8.三角形法则：

ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。 题型2.向量的加减运算

1、化简(ABMB)(BOBC)OM 。

2、已知|OA|5,|OB|3,则|AB|的最大值和最小值分别为 、 。 3、在平行四边形ABCD中，若ABADABAD，则必有 ( ) A. AD0 B. AB0或AD0 C. ABCD是矩形 D. ABCD是正方形 题型3.向量的数乘运算

1、计算：（1）3(ab)2(ab) （2）2(2a5b3c)3(2a3b2c)

题型4.作图法求向量的和

1、已知向量a,b，如下图，请做出向量3a13b和2ab。 22a b

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

b

b

，AC表示AD。 1、已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB

2、在平行四边形ABCD中，已知ACa,BDb，求AB和AD。

题型6.向量的坐标运算

1、已知a(1,4),b(3,8)，则3a1b 。 2练习：若物体受三个力F,2),F2(2,3),F3(1,4),则合力的坐标为 。 1(12、已知PQ(3,5)，P(3,7)，则点Q的坐标是 。 3、.已知a(3,4)，b(5,2)，求ab，ab，3a2b。

2、已知A(1,2),B(3,2),向量a(x2,x3y2)与AB相等，求x,y的值。

5、已知O是坐标原点，A(2,1),B(4,8)，且AB3BC0，求OC的坐标。

b

b

三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内

的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1、已知e1,e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.e1e2和e1e2 B.3e12e2和4e26e1 C.e13e2和e23e1 D.e2和e2e1 练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） (A)

e1(0,0),e(1,2) (B)

21ee1(1,2),e(5,7)

2(C)

e(3,5),e(6,10) (D)

21(2,3),e(213,) 242、.已知a(3,4)，能与a构成基底的是（ ） A.(,) B.(,) C.(,) D.(1,)

3、知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则x－y的值等于 4、设e1,e2是两个不共线的向量，AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1e2，若A、B、D三点共线，求k的值.

5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足OC=αOA+β

OB，其中α,β∈R且α+β=1，则x, y所满足的关系式为 （ ）

34554355354543A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0 四．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAa,OBb，AOB

0称为向量a，b的夹角，当＝0

当＝

时，a，b同向，当＝时，a，b反向，

时，a，b垂直。 2实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1aa,2当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的

方向相反，当＝0时，a0，注意：a≠0。

b

b

例1、已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为_____

例2、已知ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，CDrABsAC，则rs的值是

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cosb，叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝abcos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 3．向量的运算律：

1．交换律：abba，aa，abba；

3．分配律：aaa,abab，abcacbc。

题型8：有关向量数量积的判断 1：判断下列各命题正确与否：

2．结合律：abcabc,abcabc，ababab；

（1）(ab)ca(bc)；（2）若abac，则bc当且仅当a0时成立； （3）(ab)cacbc；（4）(ab)ca(bc)对任意a,b,c向量都成立；

2（5）若a0,abac，则bc；（6）对任意向量a，有aa。

2 (7)m（ab）=ma+mb 其中正确的序号是 。

2、下列命题中：① a(bc)abac；② a(bc)(ab)c；③

(ab)|a|2|a||b||b|；④ 若ab0，则a0或b0；⑤若abcb,则

222ac；⑥aa；⑦

确的是______

22aba2ba；⑧(ab)2ab；⑨(ab)2a2abb。其中正

2222题型9、求单位向量 【与a平行的单位向量：ea】 |a|1.与a(12,5)平行的单位向量是 。2.与m(1,)平行的单位向量是 题型10、数量积与夹角公式：ab|a||b|cos； cos 向量的模：若a(x,y)，则|a|12ab

|a||b|x2y2，a|a|2，|ab|(ab)2

21、△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________

，则k等于____ 43、已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）a(ab)，

1（3）(ab)b，（4）(2ab)(a3b)。

22、已知a(1,),b(0,),cakb,dab，c与d的夹角为

1212

b

b

4、已知a,b是两个非零向量，且abab，则a与ab的夹角为____

5、已知a(3,1),b(23,2)，求a与b的夹角。

6、已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cosBAC。

b（b2a）7、已知非零向量a,b满足ab，，则a与b的夹角为

8：已知ABC中ABC50,BCBA,则BA与AC的夹角为 9：已知向量a与向量b的夹角为120°，若向量c=a+b，且a⊥c，则

ab的值为

10：★已知|a|＝1|b|＝2，|a＋b|＝2，则b与2a-b的夹角余弦值为 ．

11：已知向量｜a｜=2，｜b｜=2，a和b的夹角为135，当向量a+b与a+b的

夹角为锐角时，求的取值范围。

题型11、求向量的模的问题 如向量的模：若a(x,y)，则|a|x2y2，a|a|2，

2|ab|(ab)2

1、已知零向量a（2，1）,a.b10,ab52，则b

b

b

2、已知向量a,b满足a1,b2,ab2，则ab 3、已知向量a(1,3)，b(2,0)，则ab

4、已知向量a(1,sin),b(1,cos),则ab的最大值为 5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，

BC2 16,ABACABAC,则AM（）(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 6、 设向量a，b满足ab1及4a3b3，求3a5b的值

练习：已知向量a,b满足a2,b5,a.b3，求ab和ab

7、 设向量a，b满足a1,b2,a(a2b),则2ab的值为

8、已知向量a、b满足a1，|b|4，则|a－b|的最大值是 最小值是 。 题型12、结合三角函数求向量坐标

1. 已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|2，xOA150，求OA的坐标。

2.已知O是原点，点A在第一象限，|OA|43，xOA60，求OA的坐标。

五、平行与垂直知识点：a//babx1y2x2y1；

abab0x1x2y1y20

题型13：向量共线问题

1、已知平面向量a，平面向量b若a∥b，则实数x （2，18），（2，3x）b

b

2、设向量a若向量ab与向量c(4，（2，1），b（2，3）7)共线，则 3、已知向量a若ab与4b2a平行，则实数x的值是（ ） （1，1），b（2，x）A．-2

B．0

C．1

D．2

4、已知向量OA(k,12),OB(4，5),OC(k,10)，且A，B，C三点共线， 则k_____练习：设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线

5、已知a,b不共线，ckab,dab，如果c∥d，那么k= ,c与d的方向关系是

练习：已知a(1,1),b(4,x)，ua2b，v2ab，且u//v，则x＝______ 6、已知向量a（1，2），b（2，m）,且a∥b，则2a3b 题型14、 向量的垂直问题

1、已知向量a（x，1）,b(3,6)且ab，则实数x的值为 2、已知向量a（1，n），b（1，n），若2ab与b垂直，则a 练习：已知a=（1，2），b=（-3，2）若ka+2b与2a-4b垂直，求实数k的值 3、已知单位向量m和n的夹角为

4、a（3，1）,b(1,3)，c(k,2),若（ac）b，则k 练习： a∥b，c（ab），则c___ （1，2）,b(2,3)，若向量c满足于（ca）5、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点B的坐标是________

题型15、b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。 1、已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______

3，求证：（2nm）m

e是单位向量，2、已知a8，当它们之间的夹角为

练习：已知a5,b4，，a与b的夹角a在e方向上的投影为 。时， 32，则向量b在向量a上的投影为 3b

b

题型16、三点共线问题

1.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线。

2.设AB

练习：已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b，则一定共线的三点是 。 3.已知A(1,3)，B(8,1)，若点C(2a1,a2)在直线AB上，求a的值。

4.已知四个点的坐标O(0,0)，A(3,4)，B(1,2)，C(1,1)，是否存在常数t，使

2(a5b),BC2a8b,CD3(ab)，求证：A、B、D三点共线。 2OAtOBOC成立？

5：e1,e2是平面内不共线两向量，已知ABe1ke2,CB2e1e2,CD3e1e2，若 A,B,D三点共线，则k=

6：★设O是直线l外一定点，A、B、C在直线l上，且OB3OAxOC,则x=

7：设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，t∈R，t= 时，a，tb，

1(a＋b)三向量的终点在一条直线上。 38：如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同

→→→→

的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为__________________．

b

b

→→→→

9:在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使|OM|∶|OA|＝1∶3，|ON|∶|OB|＝1∶4，设→→→

线段AN与BM交于点P，记OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OP.

→1→→1→→→

练习：如图，在△OAB中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC交于点M，设OA＝a，OB＝

42→

b.(1)用a、b表示OM；

→→→

(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设OE＝pOA，OF＝13→

qOB，求证：＋＝1.

7p7q

六、线段的定比分点：

1．定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数

 ，使PPP点叫做有向线段PPPP2，则叫做点P分有向线段PP112所成的比，12的以定比为的定比分点；

2．的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 P1P2上时>0；当P点在线段 P1P2的延长线上时<－1；当P点在线段P2P1的延长线上时10；

例1、若点P分AB所成的比为

3，则A分BP所成的比为_______ 43．线段的定比分点公式：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向线段PP12所成的

x1x2xxx12x21比为，则，特别地，当＝1时，就得到线段P1P2的中点公式 y1y2。yyy2y121题型17、定比分点

12、若M（-3，-2），N（6，-1），且MPMN，则点P的坐标为_______

313、已知A(a,0),B(3,2a)，直线yax与线段AB交于M，且AM2MB，则a等于

2

b

b

xxh七、平移公式：如果点P(x,y)按向量ah,k平移至P(x,y)，则；曲线yyk（1）函数按向量平移与f(x,y)0按向量ah,k平移得曲线f(xh,yk)0.注意：平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，

题型18、平移

1、按向量a把(2,3)平移到(1,2)，则按向量a把点(7,2)平移到点______

2、函数ysin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是ycos2x1，则a＝________

八、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

 b同向或有0|ab||a||b| （2）||a||b|||ab||a||b|，特别地，当a、 b反向或有0|ab| b不||a||b|||ab|；当a、|a||b||a||b||ab|；当a、共线|a||b||a|b||a||b(这些和实数比较类似).

（3）在ABC中，①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则其重心的坐标为

xxxyyy3G123,12。如

331、若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为

_______

②PG1(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地PAPBPC0P为

3ABC的重心；

③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；

④向量(ABAC)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；

|AB||AC|⑤|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；

，点M为平面内的任一点，则MPMP1MP2，（3）若P分有向线段PP12所成的比为

1MP1MP2； 特别地P为P1P2的中点MP2（4）向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1.如

2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中1,2R且121,则点C的轨迹是_______

题型19、判断多边形的形状

1.若AB3e，CD5e，且|AD||BC|,则四边形的形状是 。 2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形ABCD是梯形。

b

b

3.已知A(2,1)，B(6,3)，C(0,5)，求证：ABC是直角三角形。

4、在△ABC中，若BABAABCB0 ，则△ABC的形状为 （ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 5、在平面直角坐标系内，OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求证：ABC是等腰直角三角形。

6、平面四边形ABCD中，ABa，BCb，CDc，DAd，且

abbccdda，判断四边形ABCD的形状．

题型20：三角形四心

1、已知ABC的三个顶点A、B、C及ABC所在平面内的一点P，若PAPBPC0

则点P是ABC的 （ ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 2. 已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOBOCOCOA,则O是三角形ABC的（ ）

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 3、已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOC，则O是三角形ABC的（ ）

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 练习、已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC,NANBNC0，

且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的（ ） （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心

4、★在平面内有ABC和点O，若AB(OAOB)AC(OCOA)0，则点O是ABC的

222b

b

A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心

5、已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足

OPOA(ABAC),R，则动点P一定通过ABC的（ ）

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

6、已知点O是平面上一个定点，A、B、动点P满足OPOAC是平面内不共线三点，

ABAC+ ,R，则动点P一定通过ABC的（ ） |AB||AC|（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

7、已知点O是平面上一个定点，A、B、动点P满足OPOAC是平面内不共线三点，

ABAC+ ,R，则动点P一定通过ABC的（ ）

|AB|cosB|AC|cosC（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 8、已知

O平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足

AB+|AB|cosBAC ,R，则动点P一定通过ABC的

|AC|coCsOPOBOC2（ ）

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 题型21.平面向量与三角函数结合题

xxx1、已知向量m(2sin,cos)，n(cos,3)，设函数f(x)mn

424⑴求函数f(x)的解析式 （2）求f(x)的最小正周期；

（3）若0x，求f(x)的最大值和最小值．

b

b

练习：已知向a(3sinx,mcosx), b(cosx,mcosx),且f(x)ab （1）求函数f(x)的解析式；

（2）当x的x的值

,时，f(x)的最小值是4，求此时函数f(x)的最大值，并求出相应63练习2、.已知向量m(sinA,cosA) , n(1,2)，且mn0 ⑴求tanA的值

（2）求函数f(x)cos2xtanAsinx(xR)的值域

2、 已知

23，A、B、C在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为 2A(3,0)、B(0,3)、C(cos,sin)。

(I)若|AC||BC|，求角的值；

2sin2sin(2)(II)当ACBC1时，求的值。

1tan

b

b

3、已知平面向量a(sin,2),b(1,cos)相互垂直，其中（0，）2（1）求sin和cos的值; (2)若sin()

10,0,求cos的值.1024、已知向量m(sinA,cosA),n(1,2),且m.n0(1)求tanA的值;(2)求函数f(x)cos2xtanAsinx(xR)的值域.

5、已知向量a(cosxsinx,sinx)，b(cosxsinx,23cosx)，设函数

1f(x)ab(xR)的图象关于直线xπ对称，其中，为常数，且(,1).

2（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； 3ππ

（Ⅱ）若yf(x)的图象经过点(,0)，求函数f(x)在区间[0,]上的取值范围.

54

b

b

6.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足OC=1OA+2OB.

33(1)求证:A,B,C三点共线; (2)求|AC|的值;

|CB|2|AB|的最小值为-3,求(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈0,,f(x)=OA·OC-2m实数m的值.

2b

32