高级计量经济学之第5章分布滞后与动态模型

高级计量经济学之第5章分布滞后与动态模型

第5章 分布滞后与动态模型

§5.1 分布滞后模型

很多经济模型在回归方程中有滞后项，例如，因为修建桥和高速公路需要很多时间，所以公共投资对GDP 的影响有一个滞后期，而且这个影响可能会持续数年；研发新产品需要时间，而后把这个新产品投入生产也需要时间；在研究消费行为时，一个工资的变化可能影响好几期的消费。在消费的恒久收入理论中，消费者会用若干期去决定真实可支配收入的变化是暂时的还是永久的。例如，今年额外的咨询费收入明年是否还会继续？同样，真实可支配收入的滞后值会在回归方程中出现，是因为消费者在平滑其消费行为时十分重视他自身的终身收入。一个人的终身收入可以用他过去和现在的收入来推测。换句话说，回归关系可以写为：

T t X X X Y t

s t s t t t ,,2,1110 =+++++=--εβββα （5.1）

其中，t Y 代表被解释变量Y 在第t 期的观测值，t s X -代表解释变量X 第t s -期的观测值，α为截距项，0β，1β，…，s β是t X 当期和滞后期的系数。方程（5.1）式就是分布滞后模型因为它把收入增长对消费的影响分为s 期。X 的一个单位变化对Y 的短期影响由0β来表示，而X 的一个单位变化对Y 的长期影响由

(s βββ+++ 10)来表示。

假设我们观察从1955年到1995年的t X ，1t X -为相同的变量，但是提前一期的，也就是19-1994。因为19年的数据观察不到，我们就从1955年开始观察

1t X -，到1994年结束。这意味着当我们滞后一期时，t X 序列将从1956年开始到

1995年结束。对于实际的应用来说，也就是当我们滞后一期时，我们将从样本中

丢失了一个观测值。所以如果我们滞后s 期，将丢失s 个观测值。更进一步，对于每一个滞后值，都要估计出一个额外的β值。因此，自由度会产生双重损失，即观测值数目的减少（因为引进滞后项），以及所需估计的参数增加。除了自由度的丢失以外，方程（5.1）式的解释变量相互间还可能存在高度相关。事实上，大部分经济时间序列通常存在趋势，和它们的滞后值间存在高度相关。这些解释变量的多重共线性程度越高，回归估计的可行性就越低。

对于这个模型，OLS 仍旧是BLUE ，因为仍然满足经典线性回归的基本假设。在方程（5.1）式中我们所做的就是引入额外的自变量（s t t X X --,,1 ）。这些变量与随机误差项不相关，因为它们都滞后于变量t X ，而t X 假设与t ε无关。

图5.1 线性算术滞后

为了克服自由度减少的问题，我们可以施加更多的结构在β上。施加在这些参数上的一种最简单的假设就是线性算术滞后（linear arithmetic lag ）（图5.1），即

[(1)]i s i ββ=+- 0,1,...,i s = （5.2）

X 滞后项的系数值等额递减，从t X 的(1)s β+递减到t s X -的β。把（5.2）式代

入（5.1）式得到

[(1)]s

t i t i t

i s

t i t

i Y X s i X αβεαβε-=-==++=++-+∑∑ （5.3）

令

[(1)]s

t t i i Z s i X -==+-∑

这样方程（5.3）式表示为由被解释变量t Y 对常数项和t Z 回归估计得到。t Z 可由给定的s 和t X 计算得到。因此，我们可以把参数估计的任务从0β，1β，…，s

β减少到只有β一个。一旦得到?β，那么?i

β（0,1,...,i s =）就可以由（5.2）式计算得到。尽管这个过程很简单，但是这种滞后项的设定受到太多，所以实际上并不经常使用。

令(),0,1,...,i f i i s β==，如果()f i 是定义在一个闭区间上的连续函数，它可以由一个r 阶多项式来逼近，即

01()...r r f i i i ααα=+++ （5.4）

例如，如果2r =，那么

2

012i i i βααα=++ 0,1,2,...,i s =

所以，

00

1012

201224βαβαααβααα==++=++

…. … … …

2012

s s s βααα=++

一旦估计得到01,αα和2α，就可以计算得到0β，1β，…，s β。事实上，把

2012i i i βααα=++代入方程（5.1）式，我们可以得到

201202012000()s

t t i t

i s s

s

t i t i t i t

i i i Y i i X X iX i X ααααεααααε-=---====++++=++++∑∑∑∑ （5.5）

（5.5）式表明01,,ααα和2α可以由以t Y 为被解释变量，00

s t i i Z X -==

∑

、

10s

t i i Z iX -==∑以及220s

t i i Z i X -==∑为解释变量的回归估计得到。这个方法由

Almon （1965）提出并称为Almon 多项式法。

这里需要注意的是，应用该方法的问题是要选择s 和r ，即t X 的滞后项数和每个多项式的次数。Davidson 和MacKinnon （1993）建议，以回归方程（5.1）式为基础，首先确定合理的最大滞后值s *，使之与理论保持一致，然后考察随着s

*

的下降，方程的拟合度是否会下降。考察方程拟合度的一些可行标准包括：（i ）最大化2R ；（ii ）最小化AIC （Akaike, 1973），其中2/()(/)s T

AIC s RSS T e =；或

者(iii)最大化BIC ，其中/()(/)s T

BIC s RSS T T

=，RSS 代表残差平方和。2

R 、

AIC 和BIC 会给予较高的s 值一个惩罚，从而避免自由度的过度损失。多数回归软件如SHAZAM 、Eviews 和SAS 均提供上述统计值。

确定滞后长度s 值后，就可以进一步确定多项式的次数r 值。首先选择一个较高的r 值并按照（5.5）构造变量Z 。如果r =4是所选择的多项式最高次数，且

4440s

t i Z i X -==∑的系数4a 不显著，那么去除4Z ，并令3r =，重新运行回归，

如果3Z 的系数显著，则停止该过程，否则进一步降低r 值，令2r =，再重新运行回归直至停止。

研究者通常施加终端约束在Almon 滞后模型上。一个近终端约束是指（5.1）

式中的10β-=。这意味着在等式（5.5）中，这个终端约束对二次多项式中的α值

产生一个约束：1012(1)0f βααα-=-=-+=。这个约束使我们可以在给定

12,αα条件下求出0a 。事实上，构造012ααα=-代入（5.5）式，回归方程变为：

110220()()t t Y Z Z Z Z αααε=+++-+ （5.6）

这样，一旦估计得到1a 和2a ，就可以计算0a ，从而可以计算i β。这个约束

实际上表明1t X +对t Y 无影响。这可能并不是合理的假设，特别是在本章消费—收

入的例子中，其中下一年的收入将进入到恒久收入或终身收入中。当10s β+=时，一个更为合理的假设是远终端约束。

图5.2 具有终端约束的多项式滞后

这意味着(1)t s X -+对t Y 无影响。时间越早的变量，对当期的影响就越小。我们要做的就是要回溯到足够早，以使其对当期的影响不显著。这个远终端约束等同于把(1)t s X -+从等式中移走。而一些学者把()i f i β=施加在这些约束上，例如

1(1)0s f s β+=+=。当2r =时产生下面的约束：2012(1)(1)0a s a s a ++++=。

解得0a 后代入（5.5）式，约束回归方程变为：

2110220[(1)][(1)]t t Y Z s Z Z s Z αααε=+-++-++ （5.7）

我们也可以同时使用两个终端约束，把回归方程中要估计的三个a 值减少到一个。通过使回归方程中不包含1t X +和(1)t s X -+，可施加约束110s ββ-+==。然而，这个终端约束施加了一些额外的约束，即关于a 的多项式必须在1i =-和

(1)i s =+时经过0，如图5.2所示。

这些额外的约束可能是错的。换句话说，这个多项式可以与X 轴相交于其他

点而不是-1或(1)s +。施加这些约束，无论其是否是真的，都减少了估计量的方差，如果约束不是真的，则会产生偏倚。这从直觉上就可以看出，因为这些约束提供了额外的信息，这些信息可以提高估计的可信度。可以用均方误差标准来决定是否应施加这些，具体参见Wallace （1972）。一般说来，我们在使用这些约束必须非常小心，它们有时看起来是不合理的或无效的，因此必须进行正式检验，具体参见Schmidt and Waud （1975）。

§5.2 无穷分布滞后模型

5.2.1 柯依克（Koyck ）模型

在§5.1节中，我们分析的是对t X 施加有限阶滞后。一些滞后有时是无穷阶的，例如，几十年前对高速公路和道路的投资可能在今天仍然对GDP 有影响。在这种情况下，我们把方程（5.1）式重新写成：

1

t i t i t i Y X αβε∞

-==++∑， 1,2,...,t T = （5.8）

用T 个观测值去估计无限个i β，唯一可行的方法是对i β施加更多结构。首先，我们标准化这些i β值，也即令/i i ωββ=，其中0

i i ββ∞==

∑

。如果所有这些i β值

有相同的符号，即与β的符号相同，且对所有的i 有01i ω≤≤和

1i i ω∞==∑

。这

意味着i ω可被视为概率值。Koyck （19）对i ω施加了几何滞后，也即，

(1)i i ωλλ=-，0,1,...,i =∞。把(1)i i i ββωβλλ==-代入（5.8）式，可得

(1)i t t i t i Y X αβλλε∞

-==+-+∑ （5.9）

方程（5.9）式是Koyck 滞后的无穷滞后形式。t X 的一单位变化对t Y 的短期影响为(1)βλ-；另一方面，t X 一单位变化对t Y 的长期影响为

00i i i i ββωβ∞∞

====∑∑。Koyck 滞后结构暗示着随着时间推移，t X 的一单位变

化对t Y 的影响逐渐降低。例如，如果1/2λ=，那么0/2ββ=，1/4ββ=，

2/8ββ=等等。

定义1t t LX X -=，作为滞后算子，我们有i

t t i L X X -=，化简式（5.9）式，

得到

(1)()(1)/(1)i t t t

i t t

Y L X X L αβλλεαβλλε∞

==+-+=+--+∑ （5.10）

这里我们定义

1/(1)i

i c c ∞

==-∑

，把（5.10）式左右边都乘以(1)L λ-，可得 11(1)(1)t t t t t Y Y X λαλβλελε---=-+-+-

即有

11(1)(1)t t t t t Y Y X λαλβλελε--=+-+-+- （5.11）

这是无穷分布滞后的自回归形式，因为其把被解释变量t Y 的自回归项作为解释变量。注意到我们把估计无穷个i β值的问题简化为估计（5.11）式中的λ和β。然而，OLS 可能产生一个有偏和不一致的估计值，因为（5.11）式中包含了一个滞后因变量和序列相关

的误差项。事实上在（5.11）式中的误差是一个一阶的移动平均过程，也即MA （1）。我们现在介绍两个类似式（5.11）的经济模型。

5.2.2 两类动态经济模型 一、适应性期望模型

适应性期望模型（Adaptive Expectations Model, AEM ）是，假设产出t Y 是期望销售量t X 的函数，而后者是不可观测的，也即

t t t Y X αβε*=++ （5.12）

对模型（5.12）式中的期望销售量通过适应修正，即

11()t t t t X X X X δ***---=- （5.13）

即

1(1)t t t X X X δδ**-=+- （5.14）

说明（5.14）式是，t 期的销售量由1t -期的预期销售量和t 期时刻的实际销售量加权决定。

这里注意，式（5.14）式是一个误差学习模型，这个模型从过去经验中学习，并通过观测当期销售量调整期望值。使用滞后算子1()t t L X X -=，这样（5.14）

式可以写为

/[1(1)]t t X X L δδ*=-- （5.15）

通过（5.15）式，（5.12）式最后的表达为

/[1(1)]t t t Y X L αβδδε=+--+ （5.16）

式（5.16）式两边同乘以[1(1)]L δ--，可得

11(1)[1(1)](1)t t t t t Y Y X u δαδβδδε----=--++-- （5.17）

当(1)λδ=-时（5.17）式和式（5.11）式完全一致。

二、部分调整模型（Partial Adjustment Model, PAM ） 设部分调整模型（Partial Adjustment Model, PAM ）为

t t Y X αβ*=+ （5.18）

其中，t X 为解释变量，模型（5.18）式中有一个不均衡的成本和一个向均衡调整的成本，也即

221()()t t t t Cost a Y Y b Y Y *-=-+- （5.19）

这里，t Y *

是Y 的目标或平衡水平，而t Y 是Y 的当期水平。式（5.18）的第一项给出了一个二次损失函数，其与t Y 和均衡水平t Y *

之间的距离成正比。第二个二次项代表了调整成本。最小化这个关于Y 的二次成本函数，我们得到

1(1)t t t Y Y Y γγ*-=+- （5.20）

其中/()a a b γ=+。注意到如果调整成本为0，那么0,1b γ==，目标立即实现。然而，由于存在调整成本，特别是在形成理想的资本存量时。因此，（5.18）式变为

1(1)t t t t Y X Y u γαγβγγ-=++-+ （5.21）

当(1)λγ=-时（5.21）式类似式（5.11）式，除了误差项不是MA(1)过程。

§5.3 序列相关动态模型的估计与检验

5.3.1 自回归模型的性质及序列相关检验

AEM 和PAM 方程都属于无穷分布滞后的自回归形式。在两种情况下，模型中都包含一个滞后的因变量和一个误差项，误差项在（5.11）式中是一阶移动平均的，在（5.21）式中是经典的或自回归的。在本节，我们将探讨这种自回归（autoregressive ）或动态（dynamic ）模型的估计与检验。

如果在回归方程中存在1t Y -，且t u 为经典扰动项，如式（5.21）中的情况，那么1t Y -与误差项t ε无同期相关。因此，扰动项满足经典线性回归的基本假设，有1()0t t E Y ε-=，同时有11()0t t E Y ε--≠。换句话说，1t Y -与当期扰动项t ε不相关，但与滞后扰动项1t ε-相关。在这种情况下，只要扰动项不是序列相关的，OLS 估计量将是有偏的，但仍然保持一致性和渐近有效性。但这种情况不大可能发生，因为经济数据多是存在趋势

的宏观时序。更可能出现的情况是，t ε是序列相关的。在这种情形下，OLS 估计量将是有偏的和不一致的。直观上看，t Y 与t ε相关，1t Y -与1t ε-相关。如果t ε和1t ε-相关，那么t Y 就与1t Y -相关。这意味着这些滞后于Y 的

因变量都与t ε相关，因此我们面临一个内生性的问题。先让我们分析无常数项时用OLS 估计简单自回归模型会得到什么。

1t t t Y Y βε-=+，1β<，1,2,...,t T = （5.22）

其中1,

1t t t ερευρ-=+<，t υ～2(0,)IIN υσ。容易证明，

22

11112222?//T

T

T

T

OLS

t t t t t t t t t t YY Y Y Y ββε----======+∑∑∑∑ （5.23）

其中lim()OLS p asymp ββ-=。2bias()(1)/(1)OLS βρβρβ=-+。该渐近的偏倚当0ρ>时是正的，当0ρ<时是负的。同时，当β值减小或ρ值增大时，该渐近的偏倚会增大。例如，若0.9,0.2ρβ==，β的渐近偏倚为0.73，是β值的

三倍多。同理21122/T

T t t t t t Y ρ

εε--===∑∑，1??t t OLS t Y Y εβ-=-时， 2??lim()(1)/(1).()OLS

p asymp bias ρρρβρββ-=--+=- （5.24） 这意味着如果0ρ>，那么ρ将有负的偏倚。反之，如果0ρ<，那么ρ将有正的偏倚。在这两种情况下，ρ都是有偏的，与实际值相比会更趋近于0。可

以进一步发现，D.W.统计量的渐近偏倚是?OLS

β渐近偏倚的两倍。这意味着D.W.统计量是有偏的，且较不容易拒绝无序列相关的零假设。因此，如果D.W.统计量拒绝0ρ=的零假设，那么我们将有更大的把握确认拒绝零假设，并确信序列相关的存在。另一方面，如果没有拒绝零假设，那么不能完全相信D.W.统计量的判断，而应该采用另一个关于序列相关的检验，也即Durbin （1970）提出的，存在一个滞后因变量时应采用的Durbin h 检验。应用式（5.11）和式（5.21）计算OLS

估计量，忽略其可能产生的偏倚，并应用所得到的残差计算ρ，Durbin h 统计量由下式给出：

1/21?[/(1var(.))]t h n n coeff of Y ρ

∧

-=- （5.25） 在0ρ=的零假设下，其渐近分布为(0,1)N 。如果1[var(.)]t n coeff ofY ∧

-比1大，那么h 检验无法进行。Durbin 提出一个补救方法，将OLS 的残差t e 对1t e -和模型中自变量（包括滞后的因变量）做回归，并检验1t e -的系数是否显著。事实上，这个检验可以扩展至更高阶的自回归误差。假设t ε服从()AR p 过程

1122...t t t p t p t ερερερευ---=++++ （5.26）

该检验是由t e 对12,,...,t t t p e e e ---以及1t Y -回归。这个检验的零假设是

012;..0p H ρρρ====，检验统计量为2TR ，其分布为2

p χ。该检验称为拉格

朗日乘子检验，由Breusch （1978）和Godfrey （1978）各自提出。事实上，这个检验还有其他用途，如检验扰动项是否存在()AR p 或()MR p 结构。Kiviet （1986）指出，尽管该检验适用于大样本，但即使在小样本中，Breusch Godfrey 检验也比Durbin h 检验更具优势。

5.3.2包含(1)AR 扰动项的滞后因变量模型

一个包含滞后因变量和自回归误差项的模型可采用工具变量法（instrumental variables ，IV ）来估计。简而言之，工具变量通过用1t Y -的预期值1t Y -代替1t Y -来

校正1t Y -与误差项之间的相关性。1t Y -通过1t Y -对一些外生变量回归以获得，将这些外生变量称为一组Z 变量，这组Z 变量称为1t Y -的工具变量。因为这些变量是外生的且与t ε不相关，所以1t Y -与t ε不相关。假定回归方程为

1t t t t Y Y X βεαγ-=+++， 2,...,t T = （5.27）

找到至少一个外生变量t Z 作为1t Y -的工具变量，将1t Y -对,t t X Z 和常数项做回归，可得

11123t t t t t t Y Y v Z X v ααα--=+=+++ （5.28） 那么1

123t t t Y Z X ααα-=++，且于t ε，因为它是外生变量的线性组合。但1t Y -和t ε相关。这意味着?t v 是1t Y -的一部分且与t ε相关。将11

t t t Y Y v --=+代入（5.27）式，我们可得

1??()t t t t

t Y Y X v αβγεβ-=++++ （5.29） 1t Y -与新的误差项t t v εβ+不相关，因为在（5.28）式中有10t t Y v -=∑。另

一方面，我们假设t X 与t ε也不相关，从（5.28）式中我们知道t X 也满足

0t t

X v

=∑。因此，t X 与新的误差项t t v εβ+不相关。这意味着应用OLS 估计

（5.29）式中会得到,αβ和γ的一致估计量。

因此，要解决的问题是去哪里找工具变量t Z 。这个t Z 必须满足：（i ）与t ε不

相关。（ii ）较好地预测1t Y -，但并不能完全预测1t Y -，除非11?t t Y Y --=。如果11?t t Y Y --=，

就等于回到OLS ，也就丧失了一致性。（iii ）

2

/t

z

T ∑必须是有限的且不为零。重

新定义t t z Z Z =-。在这种情况下，1t X -似乎是天然的可供选择的工具变量：它是外生变量且能够较好地预测1t Y -，满足

2

1/t X T -∑是有限的且不为零。

换句话说，令1t Y -对常数项、1t X -和t X 回归，可得到1t Y -。以t X 的滞后项作为工具变量，可以改进估计的小样本性质。在（5.29）式中引入1t Y -，可以获得回归参数的一致估计量。Wallis （1967）在原方程（5.29）中引入一致性估计量，并获得残差t ε，然后计算得到

2121?[/(1)]/[/](3/)T T

t t t t t T T T ρ

εεε-===-+∑∑ （5.30） 最后一项校正了?ρ

的偏倚。我们可以用式（5.27）估计得到的?ρ而非ρ进行Pr ais Winsten -的广义最小二乘估计，参见Fomby 和Guilkey （1983）

。 另一个可供选择的两步法是由tan Ha aka （1974）提出的。在估计出（5.29）

和从（5.27）中获得残差t ε后，tan Ha aka （1974）建议由1t t t Y Y Y ρ*

-=-对

112t t t Y Y Y ρ*---=-，1t t t X X X ρ*

-=-和1t t ε-回归。注意这是一个

Cochrane Orcutt -变换，它忽略了第一个观测值。同理，

2133/T T

t t t t t t t t ρεεε-===∑∑也忽略了由Wallis （1967）提出的小样本偏差校正因

素。令δ为1t t ε-的系数回归值，那么

ρ的有效估计量由ρρδ=+给出。

tan Ha aka 指出，正态分布条件下，该估计结果与最大似然法的估计结果渐近相

等。

5.3.3包含MA （1）扰动项的滞后因变量模型

ln Zel er 和Geisel （1970）估计出了由（5.11）式给出的无穷分布滞后的

Koyck 自回归模型。AEM 模型也有类似的设定。它是一个包含滞后因变量和MA

（1）误差项的回归模型，且误差项包含一个附加的约束，那就是1t Y -的系数与MA （1）参数相同。为简化分析，假设为

11()t t t t t Y Y X αλβελε--=+++- （5.31）

令t t t Y ωε=-，（5.31）式变成

1t t t X ωαλωβ-=++ （5.32）

在（5.32）式中连续替代t ω的滞后值，得到

211011(1...)(...)

t t t t t t X X X ωαλλλλωβλλ---=+++++++++

（5.33）

针对（5.33）式，用（t t Y ε-）替代t ω，得到

211011(1...)(...)t t t t t t t Y X X X αλλλλωβλλε---=++++++++++

（5.34）

若已知λ，在假设扰动项无序列相关时，可应用OLS 方法估计该式。但λ未

知，Zellner 和Geisel （1970）提出了一个估计λ（其中01λ<<）的方法。令残差平方和最小化可得到最优λ，相应的回归给出了,αβ和0ω的估计值。最后一个参数000Y u ω=-可视为因变量初始观测值的预期值。

Klein （1958）考察了一个无限Koyck 滞后的直接估计量，设定为（5.9）式，得到（5.34）式。对λ的搜索可得到参数的最大似然估计量。然而，注意到0ω的估计量不是一致的。当t 趋向于无穷大，t

λ趋向于0，意味着没有新的信息来估计

0ω。事实上，一些应用研究者忽略了（5.34）式中的回归中的变量t λ，这么做可

能会存在问题，根据Maddala 和Kao （1971）和Schmidt （1975）的Monte Carlo 模拟，即使T=60或100，仍不应忽略（5.34）式中的t

λ。

总之，我们已经学会如何估计一个带有滞后因变量和序列相关误差项的动态模型。假设其误差项存在一阶自回归，本章论述了实现Wallis 两步估计法和Hatanka 两阶段法的基本步骤。对于误差项存在一阶移动平均的情况，本章论述实现Zellner-Geisel 法的基本步骤。

§5.4 自回归分布滞后模型

本章的前两节分别考虑了解释变量存在有限分布滞后，以及包含因变量一阶滞后和解释变量当前值的自回归模型。通常，自回归分布滞后模型可应用于解释更一般的经济关系。最简单的设定是ADL （1,1）模型：

1011t t t t t Y Y X X αλββε--=++++ （5.35）

其中t Y 和t X 都有一阶滞后。通过对t Y 和t X 设定更高阶的滞后，可定义ADL （p,q ）模型，即对t Y 取p 阶滞后，对t X 取q 阶滞后。我们可以检验该设定是否足够一般化以保证扰动项服从白噪音。这样我们可以检验是否应施加一些约束，如减少滞后的阶数以得到一个更简单的模型，或估计一个更简单的静态模型，并用Cochrane Orcutt -校正序列相关。

这个一般化的建模过程由David Hendry 提出，并且通过计量软件PC Give -来实现，参见Gilbert （1986）。

现考虑（5.35）式中的ADL （1，1）模型，转换为自回归形式：

222011(1...)(1...)()t t t t Y L L X X αλλλλββε-=+++++++++ （5.36）

其中

1λ<。该方程可分析t X 的一单位变化对t Y 未来值的影响，有

0/t t Y X β??=，110/t t Y X βλβ+??=+等等，即给出了Y 对X 的短期响应，而长

期响应是这些偏导数之和，等于01()/(1)ββλ+-。也可以从（5.36）式导出，设

长期静态平衡为(,)t t Y X **

，其中1t t t Y Y Y *-==，1t t t X X X *-==，且假设扰动项

为0，即

0111Y X ββα

λ

λ

**

+=

+

-- （5.37）

在（5.35）式中，用1t t Y Y -+?代替t Y ，用1t t X X -+?代替t X ，得到

01011(1)()t t t t t Y X Y X αβλββε--?=+?--+++

可重新写为

01

011(1)[]11t t t t t Y X Y X ββα

βλελ

λ

--+?=?---

-

+-- （5.38）

注意在括弧中的项包含了来自（5.37）式的长期均衡参数。事实上，括弧中的项代表了与1t X -相应的1t Y -对长期均衡的偏离。方程（5.38）称为误差修正模型（Error Correction Model ，ECM ），参见Davidson, Hendry, Srba 和Yeo （1978）。通过1t Y -加上t X 变化的短期影响，以及长期均衡调整项，可获得t Y 。因为扰动是白噪音，这个模型可用OLS 估计。

§5.5 实证分析

我们应用美国总统经济报告1950-1993年的消费—收入数据的回归，参见表5.1。

表5.1 具有算术滞后约束的回归

我们估计一个消费—收入回归方程并令收入取滞后五期。方程（5.1）中的所有变量均取对数值，且5s =。表5.1给出了SAS 的输出结果，回归方程施加了式（5.2）的线性算术滞后（linear arithmetic lag ）。

注意到SAS 输出结果中，5t Y -的系数为0.047β=，5t Y -在表中由5YLAG 表示。在5%显著性水平下，t 值为83.1，统计显著。4t Y -的系数为2β，在表中由

4YLAG 代表，其余以次类推。t Y 的系数60.281β=。在回归表格的底部，SAS

分别检验了5个系数的约束。我们可以发现由三个约束在5%显著性水平下拒绝零假设。我们可以用F-检验对算术滞后（arithmetic lag ）进行联合假设检验。无约束残差平方和（The Unrestricted Residual Sum of Squares,URSS ）可通过t C 对常数项和

15,,...,t t t Y Y Y --回归得到，URSS=0.00667。约束的残差平方和RRSS 由表1给出，为0.01236，它施加了式（2）中的5个约束。因此，

(0.012360.00667)/5

5.4597

0.00667/32F -=

=

在零假设下，其分布为5,32F 。观察到的F 统计量的p 值为0.001，我们拒绝了线性算术滞后的约束。

接下来我们施加（5.5）式中的二次多项式Almon 滞后假设。表2给出了5s =且施加了近终端约束的SAS 输出结果。在这种情况下，估计得到的回归参数值先