第4讲.几何-平面部分

几何—平面部分

教学目标

1． 熟练掌握五大面积模型

2. 掌握五大面积模型的各种变形

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2a:b

ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACDS△BCD；

反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)

DAADEEBC

BC

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

DAS2BS1OS3

①S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4②AO:OCS1S2:S4S3

S4C蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

AS2aS1OS3S4DBbC

①S1:S3a2:b2

②S1:S3:S2:S4a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为ab．

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

2AEAFDDB①

FGEC

BGC

ADAEDEAF； ABACBCAG②S△ADE：S△ABCAF2:AG2．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

五、燕尾定理

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么SABO:SACOBD:DC．

AEO

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

FBDC例题精讲

1

例题1

如图，正方形ABCD的边长为6，AE1.5，CF2．长方形EFGH的面积为 ． _H _D_H _D_A_E

_G

_A

_E

_G

_B

_F

_C

_B

_F

_C

【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

_ E_ A_ F

_ D

_ G

_ C _ B

_ F

_ A_ E_ B

_ D

_ G

_ C

2

例题2

长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ AHDEGB

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，

分别与P点连接,求阴影部分面积．

ADFC

PBC

3

例题3

(2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB8，AD15，四边形EFGO的面积为 ． ADOEBFGC

【巩固】(2008年清华附中考题)如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE2ED，则阴

影部分的面积为 ．

AOB

EDC

4

例题4

(2007年人大附中分班考试题)已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是 HBC) 三角形A甲乙IJMBNH丙EDFC

5

例题5

(2009年四中入学测试题)如图，已知CD5，DE7，EF15，FG6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ． ACDBEFG

6

例题6

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB2:5，AE:AC4:7，S△ADE16平方厘米，求△ABC的面积． ADEBC

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那

么三角形ABC的面积是多少？

A

DECB

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BDDC4，BE3，AE6，乙部分面

积是甲部分面积的几倍？

AEB甲D乙C

7

例题7

8

例题8

9

例题9

如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD5:2， AE:EC 3:2，S△ADE12平方厘米，求△ABC的面积． DAEBC

如图，平行四边形ABCD，BEAB，CF2CB，GD3DC，HA4AD，平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比． HABEGDCF

如图所示的四边形的面积等于多少？

10

例题10

ABC中，ABC90，AB3，BC5，（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积． EOA3B5CD

11

例题11

(2008年全国小学数学资优生水平测试)如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，AEB90，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分 别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积． CBOEDA

12

例题12

如下图，六边形ABCDEF中，ABED，AFCD，BCEF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD24厘 米，BD18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？ BACFED

13

例题13

（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC 的面积等于 ． AEBDFC

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少

平方厘米?

AFB

DEC

AGB14

例题14

四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积1BCD的面积的，且AO2，DO3，那么CO的长度是DO的长等于三角形 3度的_________倍． AOBD

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC？

A2BC1G3D

C

15

例题15

如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积． AOGB

DFCE

16

例题16

如图，长方形ABCD中，BE:EC2:3，DF:FC1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积． AGDFC

B

E17

例题17

如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积． BCGADM

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平

方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米．

AD

FBEC

18

例题18

(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形，BC:CE3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米． AOD

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部

分的面积是 平方厘米．

A9214BECDBCE

【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：

平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．

A8162BEDC

19

例题19

(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 ___________平方厘米． AE25O8DF?BC

20

例题20

如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形DEFG的面积48，AK:KB1:3，则BKD的面积是多少？ DKB

AGEFC

21

例题21

(2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中点，如果左图中阴影部分与右m 图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，(mn)的值等于 ． nAHDEGBFC

22

例题22

如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB， 则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB ． ADFBEGC

【巩固】如图，DE平行BC，且AD2，AB5，AE4，求AC的长．

ADBE

C

【巩固】如图， △ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，

ADDFFMMPPB，则

S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB ．

ADFMEG

NQCPB

23

例题23

(第21届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC1:3，AF与BE相交于点G，求S△ABG ABGFDEC

24

例题24

如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点， BF交EC于M，求BMG的面积． AEBFHMGCD

25

例题25

(2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，ABCD为正方形，AMNBDEFC1cm且MN2cm，请问四边形PQRS的面积为多少？ DERSPAMNBQFC

26

例题26

如右图，三角形ABC中，BD:DC4:9，CE:EA4:3，求AF:FB． AFBODEC

【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC3:4，AE:CE5:6，求AF:FB.

AFBODE

C

【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC2:3，EA:CE5:4，求AF:FB.

AFBODE

C

27

例题27

(2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的 ______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______． 面积为AEFHBGIDC

【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形

ABC的面积．

A

FIBHGDE

ABC中BD2DA，CE2EB，AF2FC，【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，

那么ABC的面积是阴影三角形面积的 倍．

ADGFHBEICC

【巩固】如图在△ABC中，

△GHI的面积DCEAFB1的值． ,求

△ABC的面积DBECFA2AEHFIBGDC

28

例题28

如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少? AGFBDEC

【巩固】如图，ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四

边形JKIH的面积是多少？

CFGKAIHBJDE

29

例题29

右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大 7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？ AGNMBDEFC

30

例题30

如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积. ADEIHBFGC

31

例题31

如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形面积. ADEIHBFGC

家庭作业

1

练习1

已知△DEF的面积为7平方厘米，BECE,AD2BD,CF3AF，求△ABC的面积． 2

练习2

3

练习3

4

练习4

AFDBEC如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积． HDCGABEF(清华附中入学试题)正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是 平方厘米． ADEGHBFC(2008年迎春杯高年级组决赛)如图，已知ABAE4cm，BCDC，BAEBCD90，AC10cm，则SABCSACESCDE cm2． CBAED

5

练习5

如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米． 6

练习6

7

练习7

8

练习8

ADEGHBFC(2007年四中分班考试题)如图，ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________． ADNMBEFC如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE4:3，且三角形ABC的面积是74，求角形GHI 的面积． AFHEIGBDC按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm和4cm，乙三角形两条直角边分别为3cm和6cm，求图中阴影部分的面积． 甲243乙6

9

练习9

如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米． DMOABPNC

10

练习10

如图，已知BD3DC，EC2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC 面积的几分之几？ AEOBDC

11

练习11

如图，在△ABC中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使CE1BC，2F是 AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？ AFBDCE

12

练习12

如图，BD:DC2:3,AE:CE5:3,则AF:BF

AECFBDG

13

练习13

如图在△ABC中， △GHI的面积DCEAFB1的值． ,求△ABC的面积DBECFA3AEHFIBGDC