异面直线所成的角求法-总结加分析(教师定稿版)

一、平移法：

常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法

1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝3，求AD、BC所成角的大小．

解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝3

FG＝EG＝1 ∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。 2．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，

SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角． 答案：45° 3．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，

且ASB＝BSC＝CSA＝

2，M、N分别是AB

和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．

S

N C B

M

A

证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ，设SC＝a，在△BQN中 BN＝

12145a a BQ＝a NQ＝SM＝

2442BN2NQ2BQ210∴COS∠QNB＝

2BNNQ5 D1C1

A1B1

E FDC

A B证明：取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点，所以GF∥AD， 又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，

故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。

设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。 因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,

∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°, 即直线AE与D1F所成的角为直角。

6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值 D

C

E

F A

B

D C B A

(图1－28)

解：(1)

∵ A平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且BCC′, ∴ 直线BA′与CC′是异面直线 同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线 (2)∵ CC′∥BB′，∴ BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角

∵ ∠A′BB′=45° ∴ BA′和CC′所成的角是45°

(3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角

在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝所成角的正切值是

4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、

N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成的角．

解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG， 易证∠GNA就是BM与AN所成的角．

设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝5，GN＝BM＝6，

65526530。 10AE1＝，所以AE和CC′AA212

∥

∥

∥

(4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EF＝AB＝AB, ∴ ABFE是平行四边形，从而BF＝AE, 即BF∥AE且BF=AE.

∴ BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角

设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的

各边长分别为 A′B＝22，A′F＝BF＝5，由余弦定理得：

cos∠A′BF＝

(22)2(5)2(5)22225cos∠GNA＝

10 55．如图，在正方体ABCD

A1B1C1D1中，E、F分别是

BB1、CD的中点．求AE与D1F所成的角。

7. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求

异面直线B1D与BC1所成角的大小。

解法一：如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E

点。

则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结

DE交AB于M，DE=2DM=35，

cos∠DB7341E=170

解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交

D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中， ∠C7341B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=170。 中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性

质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。 解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，

则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角余弦值。

连结EB，由已知有B1D=34，BC51=5，BE=32，

∴cos∠BOE=734170

解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，

过E点作EF∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。则

OF=737342，cos∠OEF=170。

解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边

形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中

DF=352，cos∠DOF=734170，

补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于

找出平行线。

解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的

长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，

连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，cos∠C1BD2=－734170。

8.求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。

在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的

长方体，将A1C1平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，

BD1=3，

二、利用模型求异面直线所成的角

模型 引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的

角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，

解：由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB， 直线MB与平面ABCD所成的角为45°，

与它的射影a′所成的角为θ2。求证：cosθ= cosθ1·cosθ2。 P a A1c

2O Bb  P

α A O b B

在平面的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的

垂线PO、PB，垂足为O、B 连接OB，则OB⊥b.

在直角△AOP中，cosAO1AP. 在直角△ABC中，cosAB2AO.

在直角△ABP中，cosABAP.

所以 cosAO1cos2APABAOABAPcos 所以cos1cos2cos 证明：设PA是α的斜线，OA是PA在α上的射影，

OB//b，如图所示。则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2， 过点O在平面α内作OB⊥AB，垂足为B，连结PB。

可知PB⊥AB。所以cosθOAcosθ=

AB1=， ，cosθABPAPA2=

OA。

所以cosθ= cosθ1·cosθ2。

利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角θ。

需：过a的一个平面α，以及该平面的一条斜线b以及b在α内的射影。

9. 如图，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且

MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角。

M D C

A B 直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°， 所以直线AC与直MB所成的角为θ，满足

cosθ=cos45°· cos45°=

12，所以直线AC与MB所成的角为60°。 10. 已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，

A1在底面ABC上的射影为

BC的中点，则异面直线

C1ABA1与CCB11所成的角的余弦

值为（ D ）

C（A）3D4 （B）54 AB（C）7 (D) 3

44解：设BC的中点为D，连结A1D，AD，易知A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角,由三角余弦定理，易

知

coscosA1ADcosDABADAD3A1AAB4.故选D

11. 如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，∠BAD=90°，AD//BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD于D。求异面直线AE与CD所成的角的余弦值。

P

E A F D B C 解：过E作AD的平行线EF交AD于F，由PA⊥底面ABCD

可知，直线AE在平面ABCD内的射影为AF，直线AE与平面ABCD所成的角为∠DAE，其大小为60°，

射影AF与直线CD所成的角为∠CDA，其大小为

45°，所以直线与直线所成的角θ满足cosθ=cos60°· cos45°=

24

三、向量法求异面直线所成的角

12. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中

，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及

ADCDD1C1的中心。求A1E和B1F

H 所成的角的余弦值。 解法一：（作图法）

BCS 作图关键是平移直线， 可平移其中一条直线， Q G E F 也可平移两条直线到某个点上。

A R D

B P

C

作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H， 连结GH，有GH//A1E。过F作CD的平行线RS， 分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。 由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。 在△GHS中，设正方体边长为a。 GH=

64a（作直线GQ//BC交BB1于点Q，

连QH，可知△GQH为直角三角形）， HS=

62（a连A261S，可知△HA1S为直角三角形），GS=4a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。∴Cos∠GHS=

16。

所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为

16。

解法二：（向量法）

分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。 AD BC

F

E

A D

B C

以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC

长度为2。

则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1）， 点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）； 所以向量EA1的坐标为（-1，2，1），向量B1F的坐标为（2，1，-1），

所以这两个向量的夹角θ满足 cosθ=EA1B1F=(1)2211(1)=-

1|EA1||B1F|(1)2(2)2(1)2(2)2(1)2(1)26

所以直线A1E与直线B11F所成的角的余弦值为

6

13.已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为α，求cosα的值。（平移法也可） A

N

D

B

M C

解：由已知得，空间向量AB，AC，AD不共面， 且两两之间的夹角均为60°。由向量的加法可以得到

AM=

12（

AB+AC）

，NC=12AD+AC 所以向量

AM与向量NC的夹角θ（即角α或者α的补角）

满足cosθ=AMNC|AM||NC|，其中

AM·NC=12（AB+AC）·（12AD+AC）

=12（12AB·AD+AB·AC+

（12AD）·AC+AC·AC）

=111112a2（4+

24+1）=2a2； |AM|2=1112（AB+AC）·2（AB+AC）=4（1+1+1）

a2=34 a2；

|NC|2=（12AD+AC）·（12AD+AC）

=14+112 a2=34 a2。所以cosα=| cosθ|=23。 14. 已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=7，求AB和CD所成的角的大小。

A F G D

B

E

C 解：取AC上点G，使AG：GC=1：2。连结EG、FG， 可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，3FG=CD。 由向量的知识可知EF=EG+GF=23BA+13CD，

设向量BA和CD的夹角为θ。 则由|

EF|2=（

21）·（23BA+

3CDBA+133CD）

=4+1+4cosθ=7，

得cosθ=

12，所以AB和CD所成的角为60°。