初三奥林匹克数学竞赛
方法思路讲解及经典题型分析
…………第十三节…………
正多边形与圆、三角形的内心及二次函数的极值
1111 A、B、C、D是圆内接正七边形顺次相邻的四个顶点,求证:ABACAD
2 AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线,点M、N分别内分AC、CE为定比AM: AC=CN:CE=m, 如果B,M,N三点共线,求m 。
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3 在⊙O中,弧ADB=90度,弦AB=a ,以B为圆心,BA为半径画圆弧交⊙O于另外一点C,则由两条圆弧所围成的月形(阴影)面积是____。
4 证明四点共圆的方法有:1 到一定点等距离的点在同一个圆上;2 同斜边的直角
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三角形的各顶点共圆;3 线段同旁张角相等;4 若四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆;5 若四边形的一个外角等于它的内对角,则它的四个顶点共圆;6 四边形ABCD的对角线相交于点P,若PAPCPBPD,则它的四个顶点共圆;7 四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于点P,若PAPBPCPD,则它的四个顶点共圆。
AB为圆的直径,过A在AB的同侧作弦AP,AQ,交B处的切线于点R,S 。求证:P、Q、S、R四点共圆。
1115 在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:4,求证:ABACBC 。
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6 ABCD为某一圆的内接四边形,O为AB上一点,以O为圆心的半圆与BC、CD、DA相切。求证:AD+BC=AB。
7 是否存在实数k,使得二次方程x2+(2k-1)x-(3k+2)=0有两个实数根,且两根都在2与4之间?若有,求出其取值范围,若没有,说明理由。
8 若a、b、c、d是乘积为1的四个正数,求代数式
a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd的最小值。
9 若a、b满足
3a5b7,试求S2a3b的取值范围。
110 若x、y为实数,且2≤x2+4y2≤2,求x2-2xy+4y2的最大值与最小值。
3x26x512xx1211 求分式的最小值。
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12 已知y≤1,且2x+y=1,求u=2x2+16x+3y2的最小值。
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