傅里叶变换公式

第2章 信号分析

本章提要

 信号分类  周期信号分析--傅里叶级数  非周期信号分析--傅里叶变换  脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段

§2－1 信号的分类

两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。

进一步分为：周期信号，非周期信号。



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x(t) 弹簧 刚度K x(t) 质量M x0 o t 质量－弹簧系统的力学模型 kx(t)Acost0m 非确定性信号（随机信号）：给定条件下

取值是不确定的  按取值情况分类：模拟信号，离散信号

数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。  信号描述方法 时域描述 如简谐信号

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简谐信号及其三个要素 x0cos(0t0) 幅值 频率 相角 频域描述

以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。

§2－2 周期信号与离散频谱

一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式  周期信号时域表达式

x(t)x(tT)x(t2T)x(tnT)(n1，2，)

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T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终”

#

 傅里叶级数的三角函数展开式

x(t)a0(ancosn0tbnsinn0t)n1

（n=1, 2, 3，…）

T2傅立叶系数：

1a0T2anT2bnTx(t)dtT2 T2x(t)cosntdt0T2 T2x(t)sinntdt0T2 式中 Ｔ--周期；0--基频, 0=2/T。  三角函数展开式的另一种形式：

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N次谐波的幅值 N次谐波的频率 x(t)a0Ancos(n0tn)n1N次谐波 信号的均值，直流分量 N次谐波的相角

Anab2n2nbnnarctgann1,2,3, 周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法  频谱图

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An﹡﹡﹡ n﹡﹡﹡ 0 20 2 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性

例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶

级数并画出频谱图 解：

x(t) … T A … -A t 解：

信号的基频

非对称周期方波 周期方波 文档

20T 傅里叶系数

22bnTx(t)sinn0tdtT2T20奇函数：a0an0 t的偶函数 T42AAsinn0tdt1cosnTn4A n为奇数n0n为偶数n次谐波的幅值和相角

4AAnabbnnn，2 (n1,3,5,) 2n2n 最后得傅立叶级数

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4Ax(t)cos(n0t)2nn频谱图

(n1,3,5,) 4AAn 4A4Aφn 3 53ω0 … ω ω0 5ω0 2 … ω 幅频谱图 相频谱图 二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式

 欧拉公式 ejtcostjsint 或

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1jtjtecost2ejjtsinteejt2

j1  傅立叶级数的复指数形式 x(t)ncenjn0t(n0,1,2,3,)  复数傅里叶系数的表达式

1c0a0TT2T2x(t)dt anjbncn2T12jn0tTx(t)edtT2

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其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。  一般cn是个复数。

因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此 #

即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。  cn的复指数形式

ananbnbn cncnejn 共轭性还可以表示为

，即：cn与c-n模相等，相角相反。  傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0

cnc－nnn

a(bn)Ancn22文档

2n2（等于三角

函数模的一半）

bnnarctgan （与三角函数形式中的相角相等）

cAn n2 bnbnnarctgaarctgnan 用c n画频谱：双边频谱

第一种：幅频谱图:|cn|-，图:n-

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相频谱 AnA1A2cnA1c12c2020n20201n11202002022001单边频谱 双边频谱 第二种：实谱频谱图:Recn-，虚频谱图：

Imcn-；也就是an-和-bn-. #

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§2－3 非周期信号与连续频谱

分两类：

a.准周期信号

定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成

频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数 b.瞬变非周期信号

x(t) x(t) x(t) t t t 几种瞬变非周期信号

数学描述：傅里叶变换 一、 傅里叶变换

演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（2.22）借助（2.16）演变成：

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x(t)的傅里叶变换X(ω)1jtx(t)x(t)edt2 ejtd 定义x(t)的傅里叶变换X(ω)

X()x(t)e

jtdt X(ω)的傅里叶反变换x(t):

1x(t)2X()ejtd  傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波

1jtX()ed2的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函

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数。  对应关系：

1jtjn0tX()decen2 X()描述了x(t)的频率结构

X()的指数形式为  以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得

X()X()ej()X(f)x(t)ej2ftdt x(t)X(f)ej2ftdf X( f )的指数形式 X(f)X(f)ej(f)  频谱图

幅值频谱图和相位频谱图：

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幅值频谱图 X()相位频谱图 ()实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω) 如果X()是实函数，可用一张X()图表示。负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为或。

二、 傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性

a1x1(t)a2x2(t)a1X1(f)a2X2(f)FT

（二）对称性

（注意翻转）

X(t)x(f)FT 文档

（三）时移性质

x(tt0)X(f)eFTj2ft0 （幅值不变，相位随 f 改变±2ft0） （四）频移性质

FTx(t)ej2ft0X(ff0) （注意两边正负号相反）

（五）时间尺度改变特性

1fx(at)X()aa （六）微分性质

n dx(t)FTn(j2f)X(f)ndt （七）卷积性质

（1）卷积定义

x(t)y(t)x()y(t)d文档



（2）卷积定理

x(t)y(t)X(f)Y(f)FTx(t)y(t)X(f)Y(f) FT

三、 脉冲函数及其频谱 （一） 脉冲函数： x(t) x(t) (t)1/A(tt0)-/2/2t t0 t

定义函数（要通过函数值和面积两方面定

义） 函数值：

t0(t)0t0 脉冲强度（面积）

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（二）脉冲函数的样质 1． 脉冲函数的采性（相乘）样质：

x(t0)(tt0)(tt0)(t)x(t) x(0)(t)x(t) (t)dt1 t t0 t 函数值：

t0x(t)(tt0)0t0强度：

x(t)(tt0)dtx(t0)(tt0)dtx(t0) 结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)

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在脉冲发生时刻的函数值

2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。 2． 脉冲函数的卷积性质： (a) 利用结论2

x(t)(t)x()(t)dx(t)(t)d (b) 利用结论2

x(t)

x(t)(tt0)x()(tt0)dx(tt0)(tt0)dx(tt0) 结论：平移

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x(t) (tt0)x(tt0)t0 （三）脉冲函数的频谱

t

(t)(f)(t)eFTj2ftdt1 均匀幅值谱

由此导出的其他3个结果

(tt0)e FTj2ft0

（利用时移性

质）

1ffFT

（利用对称性

质）

e j2f0t(ff0)FT

（对上式，

再用频移性质）

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（四）正弦函数和余弦函数的频谱

cos2ft1j2ft11FTj2ftee(ff0)(ff0）222 sin2ftjj2ftjjFTj2ftee(ff0)(ff0）222

余弦函数的频谱 (f)正弦函数的频谱 (f)1/2 -f0 1/2 f0 f 1/2 -f0 f0 f -1/2

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