2021高考数学新高考版一轮习题：专题8 阶段滚动检测(五) (含解析)

一、单项选择题

1．已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于( ) A．{x|－3≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|－3≤x<1}

D．{x|－1≤x≤0}

2．(2020·黄冈调研)若复数z＝(i＋1)(i－2)，i为虚数单位，则复数z的虚部是( A．1 B．－1 C．3 D．－3

3．在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2－x－6＝0的两根，则a5·a6的值为( A．6 B．－6 C．－1

D．1

4．函数y＝x＋cos x的大致图象是( )

) )

5．(2019·汕头期末)已知x∈(0，π)，则f(x)＝cos 2x＋sin x的值域为( ) 90， A.8C．(0,1)

B．[0,1) 9

0， D.86．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )

16π8π

A. B. C．43π D.3π 337．(2020·安庆五校联考)已知A为椭圆

x2＋2y2＝9

x2y2

的左顶点，该椭圆与双曲线2－2＝1(a>0，

ab

b>0)的渐近线在第一象限内的交点为B，若直线AB垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为( )

A.

5 265B.

5D.5

C．2

8．(2019·衡阳模拟)已知定义域为R的函数f(x)是偶函数，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，fx1－fx233

>0.设a＝f 2，b＝f(log37)，c＝f(－0.8)，则( ) x1－x2A．b9．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是( )

B．cA．a1＋c1＝a2＋c2 C．c1a2>a1c2

10．下列结论正确的是( ) ba

A．若a>b>0，c

cd

1y

B．若x>y>0，且xy＝1，则x＋>x>log2(x＋y)

y2C．设{an}是等差数列，若a2>a1>0，则a2>a1a3 1

D．若x∈[0，＋∞)，则ln(1＋x)≥x－x2

8

B．a1－c1＝a2－c2 c1c2D.< a1a2

11．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )

π12．设函数f(x)的定义域为R且f2＝0，f(0)≠0，若对于任意实数x，y，恒有f(x)＋f(y)＝2f 

x＋yx－y

f

2·2，则下列说法正确的是( )

B．f(x)＝f(－x) D．f(2x)＝2f(x)－1

A．f(0)＝1 C．f(x＋2π)＝f(x) 三、填空题

13．已知a＝(1,1)，b＝(2，m)，a⊥(a－b)，则|b|＝______.

14．已知抛物线y2＝8x的焦点F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|＋4|FB|的最小值是__________．

π

15．将函数f(x)＝2sin x的图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位12a7π

0，，2a，上单调递增，长度得到g(x)的图象，则g(x)＝________；若函数g(x)在区间63则实数a的取值范围是________．

16．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对∀x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出下列命题： ①f(2)＝0；

②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴； ③函数y＝f(x)在[－4,4]上有四个零点；

④区间[－40，－38]是y＝f(x)的一个单调递增区间．其中所有正确命题的序号为__________． 四、解答题

2π33

17.(2020·芜湖四校联考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝，AB＝3，S△ABC＝.

34

(1)求∠ACB的大小；

π

(2)若BC⊥CD，∠ADC＝，求AD的长．

4

18．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝3n1＋a(n∈N*)． (1)求a的值及数列{an}的通项公式；

1

(2)若bn＝(1－an)log3(a2an＋1)，求数列b的前n项和Tn. n·

n

＋

19．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx－3cos2ωx＋(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；

1

(2)若函数y＝f(x)－在(0，π)上的零点为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．

3

20.(2019·河南名校联考)如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝3BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°.

3π

(ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为. 22

(1)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(2)求二面角P－AC－D的平面角的余弦值．

x2y21

21．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的

ab2圆与直线x－y＋6＝0相切，过点P(4,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点． (1)求椭圆C的方程；

(2)若原点O在以线段AB为直径的圆内，求直线l的斜率k的取值范围．

x2＋ax＋b

22．(2019·唐山模拟)设函数f(x)＝(a∈R，b∈R)．

ex(1)若x＝－1是函数f(x)的一个极值点，试用a表示b，并求函数f(x)的减区间； 1

(2)若a＝1，b＝－1，证明：当x>0时，f(x)≤(2x－1)．

e

答案精析

1．B 2.B 3.B 4.A 5.D 6.A 7.D 8.B 9.BC 10.AC 11.BD 12.ABC 13．2

解析 a－b＝(－1,1－m)，

∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝－1＋1－m＝0，∴m＝0， ∴b＝(2,0)，∴|b|＝2. 14．18

解析 抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，设A(x1，y1)， B(x2，y2)，则|FA|＋4|FB|＝x1＋2＋4(x2＋2)＝x1＋4x2＋10， 当直线AB斜率不存在时，|FA|＋4|FB|＝2＋4×2＋10＝20， 当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)(k≠0)， 代入y2＝8x得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4， 4

∴|FA|＋4|FB|＝＋4x2＋10≥2x2∴|FA|＋4|FB|的最小值是18. πππ2x＋ ， 15．2sin632

解析 将函数f(x)＝2sin x的图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，可得y＝2sin 2x的πaπ

2x＋的图象．若函数g(x)在区间0，，图象，再向左平移个单位长度得到g(x)＝2sin6312

4×4x2＋10＝18，当且仅当x2＝1时取等号． x2

2a，7π上单调递增，

6

则π3π

2·2a＋≥，62

16．①②

aππ2·＋≤，362

ππππ

求得≤a≤，则实数a的取值范围是3，2. 32

解析 ∵对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立， 当x＝－2时，可得f(－2)＝0， 又∵函数y＝f(x)是R上的偶函数，

∴f(－2)＝f(2)＝0，故①正确；

由f(2)＝0，知f(x＋4)＝f(x)＋f(2)＝f(x)，故周期为4， 又函数在区间[0,2]上单调递减，

由函数是偶函数，知函数在区间[－2,0]上单调递增， 再由函数的周期为4，得到函数f(x)的图象如图所示，

由图可知②正确，③函数y＝f(x)在[－4,4]上有两个零点，③不正确； ④区间[－40，－38]是y＝f(x)的一个单调递减区间，④不正确，故答案为①②. 17．解 (1)在△ABC中， 1

S△ABC＝AB·BCsin B，

2

12π33

∴由题意可得×3×BC×sin ＝，

234∴BC＝3，∴AB＝BC， 2ππ

又∵∠B＝，∴∠ACB＝，

36π

(2)∵BC⊥CD，∴∠ACD＝，

3在△ABC中，由余弦定理可得， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos

2π

3

1

－＝9， ＝(3)2＋(3)2－2×3×3×2∴AC＝3，

π3×sin

336AC·sin∠ACD

∴在△ACD中，由正弦定理可得，AD＝＝＝. π2sin∠ADC

sin 418．解 (1)因为6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)， 所以当n＝1时，6S1＝6a1＝9＋a，

当n≥2时，6Sn－1＝3n＋a,6an＝6(Sn－Sn－1)＝2×3n，即an＝3n－1， 因为{an}是等比数列，所以a1＝1， 则9＋a＝6，得a＝－3，

所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1(n∈N*)． (2)由(1)得bn＝(1－an)log3(a2an＋1)＝(3n－2)(3n＋1)， n·11＝ bn3n－23n＋111－1＝3n－23n＋1， 3111所以Tn＝＋＋…＋

b1b2bn＝

111＋＋…＋ 1×44×73n－23n＋1

111111

＝1－4＋4－7＋…＋3n－2－3n＋1 3＝

n

(n∈N*)． 3n＋1

π313

2ωx－， ＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin3222

19．解 (1)f(x)＝sin ωx·cos ωx－3cos2ωx＋2π

由题意可得周期T＝π，即＝π，

2ω∴ω＝1，

π2x－， ∴f(x)＝sin3

ππkπ5π

由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．

32212kπ5π

∴函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

212

1

(2)由函数y＝f(x)－在(0，π)上的零点为x1，x2，不妨设03ππ1

2x1－＝sin2x2－＝>0， 可知sin3335π2π

且05π

易知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于x＝对称，

125π

则x1＋x2＝，

6

5π5π－x2x－∴cos(x1－x2)＝cosx－＝cos11

6 16ππ

2x1－－ ＝cos32π12x1－＝. ＝sin33

20．(1)证明 因为AC＝3BC，AB＝2BC， 所以AB2＝(3BC)2＋BC2＝4BC2， 所以△ABC是直角三角形，AC⊥BC， 在Rt△ABC中，由AC＝3BC， 得∠CAB＝30°，

不妨设BD＝1，由AD＝3BD得，AD＝3，BC＝2，AC＝23， 在△ACD中，由余弦定理得，

CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝32＋(23)2－2×3×23×故CD＝3. 所以CD2＋AD2＝AC2，所以CD⊥AD；

因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD， 又PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAB， 所以CD⊥平面PAB，

又CD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.

(2)解 因为PD⊥平面ABC，所以PA与平面ABC所成的角为∠PAD，即∠PAD＝45°，可得

3

＝3， 2

△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，

由(1)得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，C(3，0,0)，A(0，－3,0)，P(0,0,3)． →

则DP＝(0,0,3)为平面ACD的一个法向量． 设n＝(x，y，z)为平面PAC的一个法向量， →→

因为PA＝(0，－3，－3)，PC＝(3，0，－3)， →n＝0，PC·3x－3z＝0，则由得

→－3y－3z＝0，n＝0，PA·

令z＝1，则x＝3，y＝－1，

则n＝(3，－1,1)为平面PAC的一个法向量， →

故cos〈n，DP〉＝35

＝， 5×35

5. 5

故二面角P－AC－D的平面角的余弦值为c14

21．解 (1)由e＝＝可得a2＝b2，

a23又b＝

＝3，

1＋16

∴a2＝4，b2＝3， x2y2

故椭圆的方程为＋＝1.

43

(2)由题意知直线l的方程为y＝k(x－4)，

y＝kx－4，联立x2y2得(4k2＋3)x2－32k2x＋k2－12＝0.

4＋3＝1，

1由Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋3)(k2－12)>0，得k2<.①

4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

k2－1232k2

则x1＋x2＝2，x1x2＝2.

4k＋34k＋3∴y1y2＝k(x1－4)·k(x2－4) ＝k2x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2.

当原点O在以线段AB为直径的圆内时，

k2－1232k2→→22222

∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(1＋k)x1x2－4k(x1＋x2)＋16k＝(1＋k)2－4k·2＋16k2

4k＋34k＋3100k2－12

＝<0，②

4k2＋3由①②，解得－

33

55

∴当原点O在以线段AB为直径的圆内时，直线l的斜率k的取值范围为－

33

. ，

55

2x＋aex－x2＋ax＋bex

22．(1)解 由f′(x)＝ e2x－x2＋2－ax＋a－b＝，

ex有f′(－1)＝(－1＋a－2＋a－b)e＝0，得b＝2a－3. 此时有

－x2＋2－ax＋a－2a－3

f′(x)＝ ex－x2＋2－ax－a＋3＝

ex＝－

＝－

x＋1[x＋a－3]

ex[x－－1][x－3－a]

.

ex

由x＝－1是函数f(x)的一个极值点，可知3－a≠－1，得a≠4. ①当3－a>－1，即a<4时，令f′(x)<0，得x>3－a或x<－1， 所以函数f(x)的减区间为(－∞，－1)，(3－a，＋∞)． ②当3－a<－1，即a>4时，令f′(x)<0，

得x<3－a或x>－1，函数f(x)的减区间为(－∞，3－a)，(－1，＋∞)． 综上，当a<4时，f(x)的减区间为(－∞，－1)和(3－a，＋∞)， 当a>4时，f(x)的减区间为(－∞，3－a)和(－1，＋∞)． x2＋x－1

(2)证明 由题意有f(x)＝，

ex1

要证f(x)≤(2x－1)(x>0)，

e

只要证(2x－1)ex－e(x2＋x－1)≥0(x>0)， 令g(x)＝(2x－1)ex－e(x2＋x－1)(x>0)， 有g′(x)＝(2x＋1)ex－e(2x＋1) ＝(2x＋1)(ex－e)．

则函数g(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)， 则g(x)min＝g(1)＝0，即g(x)≥0.

1

故当x>0时，不等式f(x)≤(2x－1)成立．

e