【解析版】2019-2020学年聊城市莘县八年级上期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个图案中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．代数式﹣
，
，x+y，
，，
中是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．分式
2
的最简公分母是（ ）
2
A．72xyz B．108xyz C．72xyz D．96xyz
4．下列命题：①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，其中错误的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABD和△ACE都是等边三角形，则△ADC≌△ABE的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
6．如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（ ）
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A．2 B．3 C．5 D．2.5
7．如图所示，∠1=∠2，BC=EF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（
A．AB=DE B．∠ACE=∠DFB C．BF=EC D．∠ABC=∠DEF
8．如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（ A．20° B．30°
C．40° D．50°
9．等腰三角形的一个外角等于70°，则它的底角是（ ） A．35° B．70° C．110° D．35°或110°
10．如果把分式
中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍
11．下列各式中，与分式相等的是（ ） A．
B．
C．
（x≠y）
D．
12．如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于（ ） 2 / 17
））
A．115° C．120° D．65°
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只要求写出最后的结果）
2
13．已知△ABC≌△A′B′C′，若△ABC的面积为10cm，则△A′B′C′的面积为 2
cm；若△A′B′C′的周长为16cm，则△ABC的周长为 cm．
14．当x= 时，分式
无意义；当x= 时，分式
的值
B．130°
为零．
15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是 ．
16．已知在数轴上点A对应的数为5，点B对应的数为2，若点A与点B关于数轴上的点C对称，则C点对应的数是 ．
17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为 ．
三、解答题（共8小题，满分69分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
18．（1）如图1，在河岸l的同侧有A、B两村，在河边修一水泵站P，使所用的水管最短，试画出P所在的位置．
（2）如图2，求作点P，使点同时满足：①PA=PB；②到直线m，n的距离相等． （两个小题都用尺规作图，不写作法，只留作图痕迹）
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19．计算： （1）（2）
+÷
•（
）．
2
20．已知点P（m，n）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣2），关于y轴的对称点的坐标为（1，b），求m+n的值．
21．如图，已知AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB．求证：△EAD≌△CAB．
22．如图，在△ABC中，AB=AC=5，AB的重直平分线DE交AB、AC于E、D，△BCD的周长为8，求△ABC的周长．
23．如图：已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
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24．有这样一道题：“计算：÷﹣x的值，其中x=”，某同学把x=错抄
成x=，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？
25．如图，在△ABC中，CD与CF分别是△ABC的内角、外角平分线，DF∥BC交AC于点E．试说明：
（1）△DCF为直角三角形； （2）DE=EF．
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-学年八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个图案中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点： 轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形的概念可知．
轴对称的概念：把其中的一个图形沿某直线翻折，能够和另一个图形完全重合，则两个图形关于某直线对称．
解答： 解：观察图形可知前三个都是轴对称图形． 故选C．
点评： 能够根据轴对称图形的概念，正确判断图形的轴对称性． 2．代数式﹣
，
，x+y，
，，
中是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点： 分式的定义．
分析： 根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案． 解答： 解；代数式
是分式，
故选；A．
点评： 本题考查了分式的定义，利用了分式的定义． 3．分式
2
的最简公分母是（ ）
2
A．72xyz B．108xyz C．72xyz D．96xyz 考点： 最简公分母．
分析： 按照求最简公分母的方法计算即可． 解答：解：12、9、8的最小公倍数为72，
x的最高次幂为1，y的最高次幂为1，z的最高次幂为2，
2
所以最简公分母为72xyz．故选A．
点评： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
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4．下列命题：①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，其中错误的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点： 命题与定理．
分析： 根据轴对称的定义对①进行判断；根据对称轴的定义对②进行判断；根据高与线段垂直平分线的定义对③进行判断；根据轴对轴图形对④进行判断．
解答： 解：两个全等三角形拼在一起不一定是一个轴对称图形，所以①错误；等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，所以②错误；等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线所在的直线，所以③错误；一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，所以④正确． 故选C．
点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
5．如图，在△ABD和△ACE都是等边三角形，则△ADC≌△ABE的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
考点： 全等三角形的判定；等边三角形的性质． 专题： 几何图形问题．
分析： 因为△ABD和△ACE都是等边三角形，所以有AD=AB，AC=AE，又因为∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，所以∠DAC=∠BAE，故可根据SAS判定△ADC≌△ABE． 解答： 解：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD=AB，AC=AE，
又∵∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC， ∴∠DAC=∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）． 故选C．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（ ）
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A．2 B．3 C．5 D．2.5 考点：全等三角形的性质． 专题： 计算题．
分析： 根据全等三角形性质求出AC，即可求出答案． 解答： 解：∵△ABE≌△ACF，AB=5， ∴AC=AB=5， ∵AE=2，
∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3， 故选B．
点评： 本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
7．如图所示，∠1=∠2，BC=EF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（ ）
A．AB=DE B．∠ACE=∠DFB C．BF=EC D．∠ABC=∠DEF 考点： 全等三角形的判定．
分析： 三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．做题时要首先确定已知条件∠1=∠2，BC=EF的位置，结合判定方法，对选项逐个验证． 解答： 解：A、添加条件AB=DE，满足SSA无法判定两个三角形全等； B、添加条件∠ACE=∠DFB，无法判定两个三角形全等； C、添加条件BF=EC，无法判定两个三角形全等；
D、添加条件∠ABC=∠DEF后，符合ASA，能证明三角形全等． 故选D．
点评： 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
8．如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（ ）
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A．20° B．30° C．40° D．50° 考点： 等腰三角形的性质．
分析： 由题意知，△ABD和△ABC是等腰三角形，可求得顶角∠DAE的度数，及∠BAD=∠EAC，进而求得∠CAE的度数． 解答： 解：∵AD=AE，BE=CD， ∴△ABE和△ABC是等腰三角形． ∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED． ∵∠1=∠2=110°， ∴∠ADE=∠AED=70°．
∴∠DAE=180°﹣2×70°=40°． ∵∠1=∠2=110°，∠B=∠C， ∴∠BAD=∠EAC． ∵∠BAC=80°．
∴∠BAD=∠EAC=（∠BAC﹣∠DAE）÷2=20°． 故选A．
点评： 本题利用了等边对等角，三角形内角和定理求解．
9．等腰三角形的一个外角等于70°，则它的底角是（ ） A．35° B．70° C．110° D．35°或110° 考点： 等腰三角形的性质．
分析： 由条件可知等腰三角形的一个内角为110°，则该角只能为顶角，再利用三角形内角和可求得底角．
解答： 解：∵等腰三角形的一个外角等于70°， ∴等腰三角形的一个内角为110°，且只能为顶角， ∴等腰三角形的底角为：
=75°，
故选A．
点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
10．如果把分式
中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍 考点： 分式的基本性质．
分析： 依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
解答： 解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y， 得
=
=
，
可见新分式与原分式相等． 故选B．
点评： 解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．
规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
11．下列各式中，与分式
相等的是（ ）
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A．C．
B． D．
（x≠y）
考点： 分式的基本性质．
分析： 分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 解答： 解：A、是分子分母同时加了5，故A错误；
B、是分子分母中的一部分乘以了2，而不是分子分母都同时乘以2，故B错误； C、化简后得
，与原分式相等，故C正确；
D、分母不能分解因式，分式是最简分式，不能化简，故D错误． 各式中，与分式
相等的是
（x≠y），故选C．
点评： 在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
12．如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于（ ）
A．115° B．130° C．120° D．65° 考点： 翻折变换（折叠问题）． 专题： 压轴题．
分析： 根据折叠前后角相等可知． 解答： 解：∵∠1=50°，
∴∠AEF=180°﹣∠BFE=180°﹣（180°﹣50°）÷2=115° 故选A．
点评： 本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只要求写出最后的结果）
2
13．已知△ABC≌△A′B′C′，若△ABC的面积为10cm，则△A′B′C′的面积为 10 2
cm；若△A′B′C′的周长为16cm，则△ABC的周长为 16 cm．
考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据全等三角形的面积相等，全等三角形的周长相等解答．
2
解答： 解：∵△ABC≌△A′B′C′，△ABC的面积为10cm，
2
∴△A′B′C′的面积为10cm；
∵△ABC≌△A′B′C′，△A′B′C′的周长为16cm， ∴△ABC的周长为16cm． 故答案为：10，16．
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点评： 本题考查了全等三角形的性质，是基础题，需熟记．
14．当x= 3.5 时，分式
无意义；当x= 2 时，分式
的值为零．
考点： 分式的值为零的条件；分式有意义的条件． 专题： 计算题．
分析： 分式为0的条件是分子为0，而分母为0没意义． 解答： 解：要使∴x=3.5． 而
=0．
无意义，即使2x﹣7=0；
解得：x=2． 故答案为2．
点评： 此题考查的是对分式的值为0的条件的理解．
15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是 （1）（2）（3） ．
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形ABC的顶角为36°，求出各角的度数，然后对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答： 解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°，
∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD，∠ABD=∠A=36°， ∴∠DBC=72°﹣36°=36°，
∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°， ∴BD=BC；
（1）BD平分∠ABC正确； （2）AD=BD=CD正确；
（3）△BDC的周长=BC+CD+BD =BC+CD+AD =BC+AC
=AB+BC，正确；
（4）AD=BD≠CD，所以D不是AC的中点，故本选项错误．
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故正确的命题是（1）（2）（3）．
点评： 本题主要考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质和特殊等腰三角形“黄金三角形”的性质，需要熟练掌握并灵活运用，求得各角得度数是正确解答本题的关键．
16．已知在数轴上点A对应的数为5，点B对应的数为2，若点A与点B关于数轴上的点C对称，则C点对应的数是 3.5 ．
考点： 轴对称的性质．
分析： C点对应的数是AB的中点对应的数．
解答： 解：根据题意若点A与点B关于数轴上的点C对称，则C是AB的中点，故C点对应的数是（2+5）÷2=3.5．
点评： 本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为 70°或20° ．
考点： 等腰三角形的性质． 专题： 计算题．
分析： 根据题意，等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，分两种情况讨论，①如图一，当一腰上的高在三角形内部时，即∠ABD=50°时，②如图二，当一腰上的高在三角形外部时，即∠ABD=50°时；根据等腰三角形的性质，解答出即可． 解答： 解：①如图一，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB=90°，∠ABD=50°， ∴在直角△ABD中，∠A=90°﹣50°=40°， ∴∠C=∠ABC=
=70°；
②如图二，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB=90°，∠ABD=50°， ∴在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣50°=40°， 又∵∠BAD=∠ABC+∠C，∠ABC=∠C， ∴∠C=∠ABC=
=
=20°．
故答案为：70°或20°．
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点评： 本题主要考查了等腰三角形的性质，知道等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，有两种情况，一种是高在三角形内部，另一种是高在三角形外部，读懂题意，是解答本题的关键．
三、解答题（共8小题，满分69分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
18．（1）如图1，在河岸l的同侧有A、B两村，在河边修一水泵站P，使所用的水管最短，试画出P所在的位置．
（2）如图2，求作点P，使点同时满足：①PA=PB；②到直线m，n的距离相等． （两个小题都用尺规作图，不写作法，只留作图痕迹）
考点： 作图—应用与设计作图．
分析： （1）利用轴对称求最短路线的作法得出符合题意的图形即可；
（2）利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质得出符合题意的点即可． 解答： 解：（1）如图1所示：P点即为所求； （2）如图2所示：P点、P′点即为所求． ．
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点评： 此题主要考查了应用设计与作图，熟练掌握轴对称求最短路线的方法是解题关键．
19．计算： （1）（2）
+÷
•（
）．
2
考点： 分式的混合运算．
分析： （1）化为同分母的分式进行计算即可； （2）先因式分解，再化简求值即可解决问题． 解答： 解：（1）原式===2x+3； （2）原式==
．
×
﹣
点评： 该题考查了分式的混合运算问题；解题的关键是运用因式分解法正确将所给的分式分子、分母恒等变形，准确化简计算．
20．已知点P（m，n）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣2），关于y轴的对称点的坐标为（1，b），求m+n的值．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点，分别求出m与n的值，再代入计算即可．
解答： 解：∵点P（m，n）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣2）， ∴n=2，
∵点P（m，n）关于y轴的对称点的坐标为（1，b）， ∴m=﹣1，
∴m+n=﹣1+2=1．
点评： 本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
21．如图，已知AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB．求证：△EAD≌△CAB．
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考点： 全等三角形的判定． 专题： 证明题．
分析： 三角形全等条件中必须是三个元素，我们只要能证明∠EAD=∠CAB这一条件可用SAS判定两个三角形全等．
解答： 证明：∵∠EAC=∠DAB， ∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD， ∴∠EAD=∠CAB， 又∵AE=AC，AD=AB， ∴△EAD≌△CAB．
点评： 本题考查了全等三角形的判定；由∠EAC=∠DAB得出∠EAD=∠CAB是正确解决问题的关键，这种方法在三角形全等的证明中经常用到．
22．如图，在△ABC中，AB=AC=5，AB的重直平分线DE交AB、AC于E、D，△BCD的周长为8，求△ABC的周长．
考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析： 与AB的重直平分线DE交AB、AC于E、D，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，又由△BCD的周长为8，即可求得AC+BC=8，继而求得答案． 解答： 解：∵AB的重直平分线DE交AB、AC于E、D， ∴AD=BD，
∵△BCD的周长为8，
∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=8， ∵在△ABC中，AB=AC=5，
∴△ABC的周长为：AB+AC+CD=5+8=13．
点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
23．如图：已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
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考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题．
分析： 此题容易根据条件证明△BED≌△CFD，然后利用全等三角形的性质和角平分线的性质就可以证明结论．
解答： 证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．
点评： 常用主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．由全等等到DE=DF是解答本题的关键．
24．有这样一道题：“计算：
÷
﹣x的值，其中x=”，某同学把x=错抄
成x=，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？
考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题．
分析： 原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可得到结果． 解答： 解：原式=
•
﹣x=x﹣x=0，
结果与x取值无关，
故把x=错抄成x=，但它的结果与正确答案相同．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．如图，在△ABC中，CD与CF分别是△ABC的内角、外角平分线，DF∥BC交AC于点E．试说明：
（1）△DCF为直角三角形； （2）DE=EF．
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考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 专题： 证明题．
分析： （1）根据角平分线定义得出∠DCE=∠ACB，∠ECF=∠ACG，从而得出∠DCF=90°；
（2）再由平行线的性质得出∠EDC=∠BCD，即可得ED=EC．
解答： 证明：（1）∵CD与CF分别是△ABC的内角、外角平分线， ∴∠DCE=∠ACB，∠ECF=∠ACG，
∵∠ACB+∠ACG=180°， ∴∠DCE+∠ECF=90°， ∴△DCF为直角三角形；
（2）∵DF∥BC， ∴∠EDC=∠BCD， ∵∠ECD=∠BCD， ∴∠EDC=∠ECD， ∴ED=EC， 同理，EF=EC， ∴DE=EF．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识比较简单．
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