2020高考数学(文)阶段复习检测练全辑阶段复习检测7

(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2018·江西抚州期末)点(3，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为( ) A．30° C．60°

B．45° D．120°

C [∵点(3，4)在直线l：ax－y＋1＝0上，∴3a－4＋1＝0，∴a＝3，即直线l的斜率为3，直线l的倾斜角为60°.]

2．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( ) A．平行 C．相交但不垂直

B．垂直 D．不能确定

1C [直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，

2且k1k2≠－1.]

3．“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

|a－3＋4|

A [若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝22，即|a＋1|＝4，

2所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．]

x2y2

4．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则

1620|PF2|＝( )

A．1 C．1或17

B．17

D．以上答案均不对

B [由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2>1，∴|PF2|＝17.]

x2y2

5．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△

169AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )

A．6 C．4

B．5 D．3

|AF1|＋|AF2|＝8，

A [由椭圆定义知，两式相加得|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝16，即△AF1B

|BF1|＋|BF2|＝8，

周长为16，又因为在△AF1B中，有两边之和是10，所以第三边长度为16－10＝6. ]

x2y2

6．M为双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)右支上一点，A、F分别为双曲线的左顶点和

ab右焦点，且△MAF为等边三角形，则双曲线C的离心率为( )

A．5－1 C．4

C [由题意，A(－a,0)，F(c,0)，M

B．2 D．6

c－a3c＋a，由双曲线的定义可得c＋a＝c，c－aa2a2，2

2－c

∴c2－3ac－4a2＝0，∴e2－3e－4＝0，∴e＝4.]

7．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于( )

7π

A． 123πC．

4

2πB． 35πD． 6

B [由抛物线定义知|PF|＝|PA|，∴P点坐标为(3,23)，所以A点坐标为(－1,23)，AFπ2

与x轴夹角为，所以直线AF的倾斜角为π .]

33

x2y2

8．(2019·云南昆明模拟)已知P是双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别是双曲线的

2516→→

左、右焦点，O为坐标原点，若|OP＋OF1|＝8，则点P到该双曲线左焦点的距离为( )

A．1 C．16

D [如图，取线段PF1的中点M，

B．2 D．18

→→→

则|OP＋OF1|＝|2OM|＝8，

所以|PF2|＝8，由|PF1|－|PF2|＝10，得|PF1|＝18.]

x2y2

9．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|

412的最小值为( )

A．5 C．7

B．5＋43 D．9

D [如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4，0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.]

x2y2

10．已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－

ab4

4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的

5离心率的取值范围是( )

A．0，



3 2

30， B．43D．4，1

C．3

2，1

A [设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．∵|AF|＋|BF|＝4，4b4c

∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b<2. 离心率e＝＝55a4－b23

∈0，.] 42

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为__________．

|－3a－4＋1||6a＋3＋1|171－或－ [由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－393a2＋1a2＋17.] 9

x2y2

12．抛物线y＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等

93

2

c2＝a2a2－b2＝a2于__________．

33 [由图可知弦长|AB|＝23，三角形的高为3，

1

∴面积为S＝×23×3＝33. ]

2

x2y2

13．若双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等

ab于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是__________．

5，＋∞ [由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，∴2ab≥a2，2

a252

∴2b≥a，又∵c＝a＋b≥a＋＝a，

44

2

2

2

2

c5∴e＝≥.]

a2

x2y2b

14．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆

abc的离心率是__________．

2b

[设F(c,0)关于直线y＝x的对称点为Q(m，n)， 2c

则有nbm＋2

2＝c×2

3

2

nb

·＝－1，m－cc

，

c3－2b2bc2－2bc

解得m＝，n＝，

a2a2c－2bbc－2bc所以Qa2，a2在椭圆上， c3－2b22bc2－2bc2即有＋＝1，解得a2＝2c2， 422aabc2

所以离心率e＝＝.]

a2

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

15．(12分)(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为且椭圆经过圆C：x2＋y2－4x＋22y＝0的圆心C．

(1)求椭圆的方程；

2，2

2

(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程． 解 (1)圆C方程化为(x－2)2＋(y＋2)2＝6， 圆心C(2，－2)，半径r＝6． x2y2

设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)，则

ab



b21－a＝2，

2

2

42

＋＝1，a2b2

2a＝8，所以2

b＝4.

x2y2

所以所求的椭圆方程是＋＝1．

84

(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F1(－2,0)， F2 (2,0)， |F2C|＝

2－22＋0＋22＝2F2在圆C内，故过F2没有圆C的切线，所以直线l过焦点F1． 设l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0， |2k＋2＋2k|

点C(2，－2)到直线l的距离为d＝，

1＋k2|2k＋2＋2k|

由d＝6，得＝6．

1＋k2化简，得5k2＋42k－2＝0，解得k＝2

或k＝－2． 5

故l的方程为2x－5y＋22＝0或2x＋y＋22＝0．

x2y2

16．(12分)(2019·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)

ab过点P(2,1)，且离心率e＝

(1)求椭圆C的方程；

1

(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．

2

22

c2a－b3

解 (1)∵e＝2＝2＝，∴a2＝4b2．

aa4

2

3

． 2

x2y2

又椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)过点P(2,1)，

ab41

∴2＋2＝1.∴a2＝8，b2＝2． abx2y2

故所求椭圆方程为＋＝1．

82

1

(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立22

2xy

＋＝1，82＋2m2－4＝0．

∵Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2． ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4． 则|AB|＝

11＋× 4

x1＋x22－4x1x2



1

y＝x＋m，2

整理得x2＋2mx

＝54－m2．

点P到直线l的距离d＝

|m|

2|m|＝． 151＋4

112|m|

∴S△PAB＝d|AB|＝××54－m2

225m2＋4－m2

＝m4－m≤＝2．

2

22而且仅当m2＝2，即m＝±2时取得最大值． ∴△PAB面积的最大值为2．

17．(12分)(2019·安徽马鞍山模拟)已知抛物线C：y＝2x2，直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．

(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

(2)是否存在实数k，使得以AB为直径的圆M经过点N，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

(1)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0， k

则x1＋x2＝，x1x2＝－1．

2x1＋x2k

∵xN＝xM＝＝，

24

2

kk∴点N的坐标为4，8．

k

∵y′＝4x，∴y′|x＝＝k，即抛物线在点N处的切线的斜率为k．

4∵直线l：y＝kx＋2的斜率为k，∴抛物线C在点N处的切线与AB平行． (2)解 假设存在实数k，使得以AB为直径的圆M经过点N． 1

∵M是AB的中点，∴|MN|＝|AB|．

21

由(1)知yM＝(y1＋y2)

2

2

111kk2＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝[k(x1＋x2)＋4]＝4＋2＝2＋． 22242

k2k2k＋16

由MN⊥x轴，得|MN|＝|yM－yN|＝2＋－＝．

488

k21

∵|AB|＝1＋k·x1＋x2－4x1x2＝1＋k·－4×－1＝1＋k2·16＋k2，

4222216＋k11

由|MN|＝|AB|，得＝1＋k2·16＋k2，解得k＝±2，

284故存在实数k＝±2，使得以AB为直径的圆M经过点N．

18．(14分)(2018·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA 交y轴于M，直线PB交y轴于N．

(1)求直线l的斜率的取值范围；

11→→→→

(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值．

λμ(1)解 因为抛物线y2＝2px过点(1,2)， 所以2p＝4，即p＝2． 故抛物线C的方程为y2＝4x．

由题意知，直线l的斜率存在且不为0． 设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，

2y＝4x由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0． y＝kx＋1，

2

依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0， 解得k<0或0又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)． 从而k≠－3．

所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 2k－41由(1)知x1＋x2＝－2，x1x2＝2．

kky1－2

直线PA的方程为y－2＝(x－1)．

x1－1

－y1＋2－kx1＋1

令x＝0，得点M的纵坐标yM＝＋2＝＋2．

x1－1x1－1同理得点N的纵坐标为yN＝

－kx2＋1

＋2． x2－1

→→→→

由QM＝λQO，QN＝μQO，得λ＝1－yM，μ＝1－yN．

1111所以＋＝＋ λμ1－yM1－yN＝＝

x1－1x2－1

＋

k－1x1k－1x212x1x2－x1＋x2·

x1x2k－1

22k－42＋k21k

＝·

1k－1

k2＝2．

11

所以＋为定值．

λμ