上海民办华二初级中学八年级数学上册第十一章《三角形》习题(专题培优)

一、选择题

1．下列四组线段中，不可以构成三角形的是（ ） A．4，5，6 解析：D 【分析】

计算较小两边的和，与最大的边比较，大于最大的边时三角形存在，依此判断即可. 【详解】 ∵4+5＞6， ∴能构成三角形； ∵1.5+2＞2.5， ∴能构成三角形； ∵

B．1.5，2，2.5

C．

111，， 345D．1，2，3D

111+＞， 453∴能构成三角形； ∵1+2＜1+2=3， ∴不能构成三角形； 故选D. 【点睛】

本题考查了已知线段长判断三角形的存在，熟记三角形存在的条件是解题的关键. 2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A．1，2，3 解析：C 【分析】

根据三角形三边关系逐一进行判断即可． 【详解】

A、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意； B、1+3=4＜5，不能构成三角形，故不符合题意； C、2+3=5>4，可以构成三角形，故符合题意； D、2+6=8＜10，不能构成三角形，故不符合题意， 故选：C． 【点睛】

本题主要考查三角形的三边关系，比较简单，熟记三边关系定理是解决本题的关键． 3．如图，线段BE是ABC的高的是( )

B．1，3，5

C．2，3，4

D．2，6，10C

A． B．

C．

D．D

解析：D 【分析】

根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断． 【详解】

A选项中，BE⊥BC，BE与AC不垂直，此选项错误； B选项中，BE⊥AB，BE与AC不垂直，此选项错误； C选项中，BE⊥AB，BE与AC不垂直，此选项错误； D选项中，BE⊥AC，∴线段BE是△ABC的高，此选项正确． 故选：D． 【点睛】

本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．

4．在ABC中，若B与C互余，则ABC是（ ）三角形 A．锐角三角形 解析：B 【分析】

由B与C互余，结合ABC180，求解A，从而可得答案． 【详解】 解：

B与C互余，

B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形B

BC90， ABC180， A90，ABC是直角三角形，

故A、C、D不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【点睛】

本题考查的是两个角互余的概念，三角形的内角和定理的应用，二元一次方程组的解法，

掌握以上知识是解题的关键．

5．在ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ） A．必有一个内角等于30° C．必有一个内角等于60° 解析：D 【分析】

根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠C=∠A+∠B代入求出∠C即可判断． 【详解】

解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B， ∴2∠C=180°， ∴∠C=90°，

∴必有一个内角等于90°， 故选：D． 【点睛】

本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．

6．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数为（ ） A．10 解析：A 【分析】

设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】

解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n-2）×180°， 依题意得：（n-2）×180°=360°×4， 解得：n=10，

∴这个多边形的边数是10． 故选：A 【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程（n-2）×180°=360°×4．

7．下列说法正确的有（ ）个

①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C、D两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出n3条对角线，这些对角线把这个

B．8

C．6

D．4A

B．必有一个内角等于45° D．必有一个内角等于90°D

n边形分成了n2个三角形．

A．3 解析：C

B．2

C．1

D．0C

【分析】

分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法分析得出即可． 【详解】

解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误； ②连接C、D两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误； ③两点之间线段最短，故原说法错误；

④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误；

⑤n边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出n3条对角线，这些对角线把这个n边形分成了n2个三角形，此说法正确． 所以，正确的说法只有1个， 故选：C． 【点睛】

此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键．

8．如图所示，ABC的边AC上的高是（ ）

A．线段AE 解析：C 【分析】

B．线段BA C．线段BD D．线段DAC

根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 【详解】

A.线段AE是△ABC的边BC上的高，故不符合题意； B.线段BA不是任何边上的高，故不符合题意； C.线段BD是△ABC的边AC边上的高，故符合题意； D.线段DA是△ABD的边BD上的高，故不符合题意； 故选C． 【点睛】

本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解答本题的关键． 9．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（ ）

A．2 解析：B 【分析】

根据三角形的稳定性，要使它不变形，只需每一条边都分别在一个三角形之中即可 【详解】

解：要使六边形木框不变形，则需每一条边都分别在一个三角形之中，观察图形可得，至少还需要再钉上3根木条 故选：B 【点睛】

本题考查了三角形的稳定性，观察图形如何使每一条边都分别在一个三角形之中是解决本题的关键

10．如图，在ABC中，B70，D为BC上的一点，若ADCx，则x的度数可能为（ ）

B．3

C．4

D．5B

A．30° 解析：D 【分析】

B．60° C．70° D．80°D

根据三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD，得到x＞70°，根据平角的概念得到x＜180°，计算后进行判断得到答案． 【详解】

解：∵∠ADC=∠B+∠BAD， ∴x＞70°， 又x＜180°，

∴x的度数可能为80°， 故选：D． 【点睛】

本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

二、填空题

11．已知三角形三边长分别为m，n，k，且m、n满足|n9|(m5)20，则这个三角形最长边k的取值范围是________．【分析】根据求出mn的长根据三角形三边关

系求出k的取值范围再根据k为最长边进一步即可确定k的取值【详解】解：由题意得n-9=0m-5=0解得m=5n=9∵mnk为三角形的三边长∴∵k为三角形的最长边

解析：9k14

【分析】

根据|n9|(m5)0求出m、n的长，根据三角形三边关系求出k的取值范围，再根据k为最长边进一步即可确定k的取值． 【详解】

解：由题意得n-9=0，m-5=0， 解得 m=5，n=9，

∵m，n，k，为三角形的三边长， ∴4k14， ∵k为三角形的最长边， ∴9k14． 故答案为：9k14 【点睛】

本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的三边关系，根据题意求出m、n的长是解题关键，确定k的取值范围时要注意k为最长边这一条件． 12．如图，则ABCDE的度数为________．

2180°【分析】两次运用三角形的外角定理求

出∠B+∠C+∠D=∠2再通过三角形的内角和定理即可求解【详解】解：如图∵∠1是△CDF外角∴∠C+∠D=∠1∵∠2是三角形BFG外角∴∠B+∠1=∠2∴∠

解析：180° 【分析】

两次运用三角形的外角定理求出∠B+∠C+∠D=∠2，再通过三角形的内角和定理即可求解 【详解】

解：如图，∵∠1是△CDF外角， ∴∠C+∠D=∠1， ∵∠2是三角形BFG外角， ∴∠B+∠1=∠2， ∴∠B+∠C+∠D=∠2，

∴ABCDE=A2E180．

故答案为：180° 【点睛】

本题考查了三角形的外角定理、内角和定理，通过三角形的外角定理将∠B+∠C+∠D转化为∠2是解题关键．

13．从一个多边形的一个顶点出发，一共可作9条对角线，则这个多边形的内角和是_________度．1800【分析】设多边形边数为n根据n边形从一个顶点出发可引

出(n-3)条对角线可得n-3=9计算出n的值再根据多边形内角和(n-2)•180°可得答案【详解】设多边形边数为n由题意得：n-3=9n

解析：1800 【分析】

设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线可得n-3=9，计算出n的值，再根据多边形内角和(n-2)•180°可得答案． 【详解】

设多边形边数为n，由题意得： n-3=9， n=12，

内角和：1221801800． 故答案为：1800． 【点睛】

本题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，多边形内角和公式(n-2)•180°．

14．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m块正三角形，n块正六边形，则m+n＝______．4或5【分析】先求出正三角形和正六边形的内角大小

然后列出关于mn的二元一次方程然后确定mn的值最后求m+n即可【详解】解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°120°∴60°m+120°n=360°

解析：4或5 【分析】

先求出正三角形和正六边形的内角大小，然后列出关于m、n的二元一次方程，然后确定m、n的值，最后求m+n即可． 【详解】

解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120° ∴60°m+120°n=360°，即m+2n=6 ∴当n=1时，m=4；当n=2时，m=2； ∴m+n=5或m+n=4． 故答案为：4或5． 【点睛】

本主要考查了正多边形的组合能否进行平面镶嵌，掌握位于同一顶点处的几个角之和能否为360°成为解答本题的关键．

15．一个正多边形的每个内角为108°，则这个正多边形所有对角线的条数为_____．【分

析】先根据多边形的内角度数得出每个外角的度数再根据外角和为360°求出多边形的边数最后根据n边形多角线条数为求解即可【详解】∵一个正多边形的每个内角为108°∴每个外角度数为180°﹣108°=

解析：【分析】

先根据多边形的内角度数得出每个外角的度数，再根据外角和为360°求出多边形的边数，最后根据n边形多角线条数为【详解】

∵一个正多边形的每个内角为108°， ∴每个外角度数为180°﹣108°=72°， ∴这个正多边形的边数为360°÷72°=5， 则这个正多边形所有对角线的条数为故答案为：5． 【点睛】

本题主要考查多边形内角与外角、多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形外角和度数为360°，n边形多角线条数为

n(n3)求解即可． 2n(n3)5(53)==5， 22nn32．

16．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是___________，最小值是___________．15【分析】记三角形的第三边为c先根据

三角形的三边关系确定c的取值范围进而可得三角形第三边的最大值与最小值进一步即可求出答案【详解】解：记三角形的第三边为c则7－3＜c＜7+3即4＜c＜10因为第三

解析：15 【分析】

记三角形的第三边为c，先根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而可得三角形第三边的最大值与最小值，进一步即可求出答案． 【详解】

解：记三角形的第三边为c，则7－3＜c＜7+3，即4＜c＜10，

因为第三边长为奇数，

所以三角形第三边长的最大值是9，最小值是5，

所以三角形的周长最大值是3+7+9=19；最小值是3+7+5=15； 故答案为：19，15． 【点睛】

本题考查了三角形的三边关系与不等式组的整数解，属于基础题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．

17．如图，把ABC折叠，点B落在P点位置，若12120，则B______．

60°【分析】先根据折叠的性质得∠3＝∠4∠5＝∠6再

利用平角的定义得∠3＋∠4＋∠1＝180°∠5＋∠6＋∠2＝180°根据等式的性质得到2∠4＋∠1＋2∠6＝360°把∠1＋∠2＝120°代入得

解析：60° 【分析】

先根据折叠的性质得∠3＝∠4，∠5＝∠6，再利用平角的定义得∠3＋∠4＋∠1＝180°，∠5＋∠6＋∠2＝180°，根据等式的性质得到2∠4＋∠1＋2∠6＝360°，把∠1＋∠2＝120°代入得到∠4＋∠6＝120°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠B的度数． 【详解】

∵把△ABC的∠B折叠，点B落在P的位置， ∴∠3＝∠4，∠5＝∠6，

∵∠3＋∠4＋∠1＝180°，∠5＋∠6＋∠2＝180°， ∴2∠4＋∠1＋∠2＋2∠6＝360°， 而∠1＋∠2＝120°， ∴∠4＋∠6＝120°， ∵∠4＋∠6＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°−120°＝60°． 故答案为60°．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，也考查了折叠的性质，“数形结合”是关键． 18．如图，∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K＝________．

540°【分析】连接AGGD先根据

∠H+∠K=∠HGA+∠KAG∠E+∠F=∠EDG+∠FGD最后根据多边形的面积公式解答即可【详解】解：连接AGGD∵∠H+∠K+∠HMK=180°∠HGA+∠KA

解析：540° 【分析】

连接AG、GD，先根据∠H+∠K=∠HGA+∠KAG, ∠E+∠F=∠EDG+∠FGD,最后根据多边形的面积公式解答即可． 【详解】

解：连接AG、GD，

∵∠H+∠K+∠HMK=180°，∠HGA+∠KAG +∠AMG=180°，∠HMK=∠AMG ∴∠H+∠K=∠HGA+∠KAG； 同理：∠E+∠F=∠EDG+∠FGD

∴∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＋∠MGN＋∠H＋∠K =∠BAK＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠EDG+∠FGD＋∠MGN＋∠HGA+∠KAG =五边形的内角和 =（5-2）×180°=540° 故答案为540°．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理和多边形内角和定理，根据题意正确作出辅助线成为解答本题的关键．

19．如图，ABC的角平分线OB、OC相交于点O，A＝40，则BOC＝______．

【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和

定理求出∠OBC+∠OCB的度数再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数【详解】解：∵OBOC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠OBC+∠O

解析：110． 【分析】

根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数． 【详解】

解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB= ∵∠A=40°，

111ABCACB(ABCACB) 2221(18040) =70°， 2∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°-70° =110°．

故答案是110． 【点睛】

∴∠OBC+∠OCB=

本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键． 20．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中∠C90，F90，

D30，A45，则12等于___________度．

210【分析】由题意得：

∠1=∠D+∠DGA∠2=∠F+∠FHB然后由对顶角相等的性质得

∠1=∠D+CGH∠2=∠F+∠CHG最后由直角三角形两锐角互余的性质可以算出∠1+∠2的值【详解】解：如图给

解析：210 【分析】

由题意得：∠1=∠D+∠DGA，∠2=∠F+∠FHB，然后由对顶角相等的性质得∠1=∠D+CGH，∠2=∠F+∠CHG，最后由直角三角形两锐角互余的性质可以算出∠1+∠2的值 ． 【详解】

解：如图，给两三角板的两个交点标上G、H符号，

则∠1=∠D+∠DGA=∠D+CGH，∠2=∠F+∠FHB=∠F+∠CHG， ∴∠1+∠2=∠D+CGH+∠F+∠CHG =∠D+∠F+（CGH+∠CHG） =30°+90°+90° =210°， 故答案为210 ． 【点睛】

本题考查直角三角形的应用，灵活运用直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质和对顶角相等的定理求解是解题关键．

三、解答题

21．如图，BP平分ABC，交CD于点F，DP平分ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，A42．

（1）若ADC60，求AEP的度数； （2）若C38，求P的度数． 解析：（1）72；（2）40． 【分析】

（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=解；

（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【详解】

解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF=

1ADC ，然后利用三角形外角的性质即可得21ADC， 2 ∵ADC60， ∴ADP30，

∴AEPADPA304272； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=

1（38°+42°）=40°． 2【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．

22．如图，ABC中，AD平分BAC，P为AD延长线上一点，PEBC于E，已知

ACB80，B24，求P的度数．

解析：28° 【分析】

在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义可得出∠BAD的度数，在△ABD中，利用三角形外角性质可求出∠PDE的度数，再在△PDE中利用三角形内角和定理可求出∠P的度数． 【详解】

解：在ABC中，ACB80，B24，

BAC180ACBB76． AD平分BAC，

1BADBAC38．

2PDE是△ABD的外角，

PDEBBAD243862，

PEBC于E， PED90，

P906228．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出∠ADC的度数是解题的关键．

23．如图，已知在ABC中，CE是外角ACD的平分线，BE是ABC的平分线．

（1）求证：A2E．

（2）若AABC，求证：AB//CE． 解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】

（1）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求证；

（2）由∠A=2∠E，∠A=∠ABC，∠ABC=2∠ABE得∠ABE=∠E，从而AB∥CE． 【详解】

证明：（1）∵ACD是ABC的一个外角，2是BCE的一个外角， ∴ACDABCA，21E， ∴AACDABC，E21．

∵CE是外角ACD的平分线，BE是ABC的平分线， ∴ACD22，ABC21， ∴A2221

2(21)

2E．

（2）由（1）可知A2E． ∵AABC，ABC2ABE， ∴2E2ABE， 即EABE， ∴AB//CE． 【点睛】

本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．

24．如图，在ABC中，A30，ACB80，ABC的外角CBD的平分线

BE交AC的延长线于点E．

（1）求CBE的度数；

（2）过点D作DF//BE，交AC的延长线于点F，求F的度数． 解析：（1）CBE55；（2）F25． 【分析】

(1)利用三角形的外角性质和角的平分线性质求解即可； (2)根据三角形外角的性质和两直线平行，同位角相等求解. 【详解】 （1）

在ABC中，A30，ACB80，

CBDAACB3080110，

BE是CBD的平分线，

11CBECBD11055；

22（2）ACB80，CBE55，

CEBACBCBE805525， DF//BE，

FCEB25.

【点睛】

本题考查了运用三角形外角性质，角平分线性质，平行线的性质求角的度数，熟练并灵活运用这些性质是解题的关键.

25．如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE⊥BC于点E． （1）若∠C=80°，∠B=40°，求∠DAE的度数； （2）若∠C＞∠B，试说明∠DAE=

1(∠C-∠B)； 2（3）如图2，若将点A在AD上移动到A′处，A′E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA′E，请直接回答：（2）中的结论还正确吗？

解析：（1）∠DAE=15°；（2）见解析；（3）正确． 【分析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠BAD的度数，在△ABE中，利用直角三角形的性质求出∠BAE的度数，从而可得∠DAE的度数． （2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．

（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=【详解】

（1）∵∠C=80°，∠B=40°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-40°-80°=60°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∵AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴∠BAE=50°，

∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =20°；

（2）理由：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∵AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴∠BAE=90°-∠B， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD =(90°-∠B) -(90°-

1(∠C-∠B)． 21∠BAC=30°， 21111∠BAC=(180°-∠B-∠C)= 90°-∠B-∠C， 222211∠B-∠C ) 2211∠C-∠B 221=(∠C-∠B)； 2=

（3）（2）中的结论仍正确．

∵∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+在△DA′E中，

∠DA′E=180°-∠A′ED-∠A′DE =180°-90°-(90°+=

1111∠BAC=∠B+(180°-∠B-∠C) = 90°+∠B-∠C； 222211∠B-∠C) 221(∠C-∠B)． 2【点睛】

本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．

26．如图，四边形ABCD中，ABC和BCD的平分线交于点O． （1）如果A130，D110，求BOC的度数； （2）请直接写出BOC与AD的数量关系．

解析：（1）120°；（2）BOC【分析】

1(AD) 2（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可； （2）方法同（1） 【详解】

解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°， ∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°， ∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，

1111ABCDCB(ABCBCD)12060 ， 2222∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°；

∴∠OBC+∠OCB=（2）BOC1(AD) 2证明：在四边形ABCD中，ABCD360 ∴ABCDCB360(AD) ∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠OBC+∠OCB=

1111ABCDCB(ABCBCD)180(AD) 2222∴BOC180(OBCOCB)【点睛】

1(AD) 2此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．

27．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．

（1）若∠A=70°，求∠D的度数； （2）若∠A=a，求∠E；

（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 解析：（1）35°；（2）90°-【分析】

（1）由角平分线的定义得到∠DCG=性质即可得到结论；

（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠DBE=90°，由（1）知∠D=

11α；（3）β 2211∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的2211∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到2211∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α； 2211∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外22（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=角的性质可求解． 【详解】

解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC， ∴∠DCG=

11∠ACG，∠DBC=∠ABC， 22∵∠ACG=∠A+∠ABC，

∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC， ∵∠DCG=∠D+∠DBC， ∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC， ∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，

∴∠D=

1∠A=35°； 211∠ABC，∠CBE=∠CBF， 22（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF， ∴∠DBC=

∴∠DBC+∠CBE=∴∠DBE=90°， ∵∠D=∴∠D=

1（∠ABC+∠CBF）=90°， 21∠A，∠A=α， 21α， 21α； 2∵∠DBE=90°， ∴∠E=90°-

（3）如图，

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG， ∴AD平分∠MAC，∠ABD=∴∠DAM=

1∠ABC， 21∠MAC， 2∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β， ∴∠ADB=

11∠ACB=β． 221β． 2故答案为：【点睛】

本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．

28．一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数． 解析：8 【分析】

先根据一个多边形的内角和比它的外角和多720°得出其内角和度数，再设这个多边形的边数为n，根据内角和公式建立关于n的方程，解之即可．

【详解】

解：∵一个多边形的内角和比它的外角和多720°， ∴这个多边形的内角和为360°+720°＝1080°， 设这个多边形的边数为n， 则（n﹣2）•180°＝1080°， 解得n＝8，

答：该多边形的边数为8， 故答案为：8． 【点睛】

本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°、多边形内角和定理：（n-2）•180° （n≥3且n为整数）．