第３５卷 第３期 ２０１５正 高师理科学刊 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖ０１．３５ Ｎｏ．３ Ｍａｒ．２０１５ ３月 文章编号：１００７—９８３ １（２０１５）０３—００１７—０４ 对称性在积分计算中的应用规律 王庆东，刘磊 （商丘师范学院数学与信息科学学院，河南商丘４７６０００） 摘要：利用积分域的对称性简化积分计算是优先考虑的计算策略之一．如果积分域由对称的两部 分组成，首先考察积分域是否具有方向性，然后考察被积函数在对称点处的函数值是否相等或者 相反．当积分域无方向性时，若被积函数在对称点处的函数值相等，则积分简化成半个积分域上 积分的２倍；若被积函数在对称点处的函数值相反，则并只＿分为零．当积分域有方向性时，结论正 好与积分域无方向性时的结论相反．如果积分域具有轮换对称性，当对被积函数做相应的坐标轮 换时，积分值不变． 关键词：积分域；对称性；方向性；对称点；轮换对称性 中图分类号：０１７２．２ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７－９８３１．２０１５．０３．００５ Ｔｈｅ ｒｕｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｉｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｉｎｔｅｇｒａｌ ＷＡＮＧ Ｑｉｎｇ—ｄｏｎｇ，ＬＩＵ Ｌｅｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄｌｒｄｂｒｍａｌｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ，ＳｈａｎｇｑｉｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｑｉｕ４７６０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ ｔｏ ｓｉｍｐｌｉｆｙ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｉｏｒｉｔｙ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｓｔｒａｔｅｇｉｅｓ．Ｉｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ ｉｓ ｃｏｍｐｏｓｅｄ ｏｆ ｔｗｏ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｐａｒｔｓ，ｍｕｓｔ ｅｘａｍｉｎｅ ｗｈｅｔｈｅｒ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ ｈａｓ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｉｔｙ ｆｉｒｓｔ，ａｎｄ ｔｈｅｎ ｅｘａｍｉｎｅ ｗｈｅｔｈｅｒ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｐｏｉｎｔｓ ａｒｅ ｅｑｕａｌ ｏｒ ｏｐｐｏｓｉｔｅ．Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｔｗｉｃｅ ｔｉｍｅｓ ｒｅｄｕｃｅｄ ｔｏ ｈａｆｔ ａｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ ｈａｓ ｎｏ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｐｏｉｎｔｓ ａｒｅ ｅｑｕａ１．Ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｚｅｒｏ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ ｈａｓ ｎｏ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｉｔｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ｏｎ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｐｏｉｎｔｓ ａｒｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ．Ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ ｈａｓ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｉｔｙ，ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｓ ｊｕｓｔ ｔｈｅ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ ｗｉｔｈ ｎｏ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｉｔｙ．ｆｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ ｈａｓ ｔｒａｎｓｌａｔａｂｌｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｖａｌｕｅ ｕｎｃｈａｎｇｅｄ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｎｄ ａｌｓｏ ｂｅ ｄｏｎｅ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐ— ｏｎｄｉｎｇ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｇｒａｌ ｄｏｍａｉｎ；ｓｙｍｍｅｔｙ；ｄｉｒｒｅｃｔｉｏｎａｌｉｔｙ；ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｐｏｉｎｔｓ；ｔｒａｎｓｌａｔａｂｌｅ ｓｙｍｍｅｔｙ ｒ不论是定积分，还是重积分、线积分和面积分，利用积分域的对称性简化运算是需要优先考虑的计算 策略之一．其中，多元函数积分的计算比定积分的计算更加繁琐，更需要利用积分域的对称性简化计算．针 提出了一些方法，但不便于学生掌握．基于此，本文讨论对称性在 对这一问题，文献［１—６］等进行了研究， 简明． 积分计算中的应用规律，力求使结论更 １曲面对称性的判断 收稿日期：２０１４—１０—０１ 基金项目：国家级特色专业建设点项目（ＴＳ１１５７５） 作者简介：王庆东（１９６３一），男，河南太康人，教授，从事函数论研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｑｉｎｇｄｏｎｇｗ＠１２６．ｔｏｍ ｌ８ 高师理科学刊 第３５卷 设曲面方程为ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）＝０，只改变１个变量的符号，可以确定曲面关于坐标面的对称性；改变２ 个变量的符号，可以确定曲面关于坐标轴的对称性；改变３个变量的符号，可以确定曲面关于原点的对称 性；若改变１个变量、２个变量、３个变量的符号，方程都不变，则曲面关于８个卦限对称．如若把ｚ改为 ｚ，有ｆ（ｘ，Ｙ，一 ）＝ｆ（ｘ，Ｙ，Ｚ），则曲面关于ｘｏｙ坐标面对称；若把（ ， ）改为（一 ，一Ｊ，），有 厂（一 ，一Ｙ，Ｚ）＝ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ），则曲面关于Ｚ轴对称；若把（ ，Ｙ，ｚ）改为（－ｘ，一Ｙ，一ｚ），有 一．厂（一 ，一ｙ，一Ｚ）：ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），则曲面关于原点对称．至于平面区域对称性的判断，这里不再赘述． ２积分域由对称的两部分组成时积分计算的统一规律 如果积分域由对称的两部分组成，无论积分域无方向性（包括定积分、重积分、第一型曲线积分和第 型曲面积分），还是积分域有方向性（包括第二型曲线积分和第二型曲面积分），都可以应用对称性化简 积分计算的统一规律进行相关计算，即定理１． ’ 一定理１设函数厂在有界可度量几何体Ｄ上可积，Ｄ由关于某直线、某平面或原点对称的两部分Ｄｌ和 ．组成，Ｐ，Ｐ 为分别属于ＤＩ，Ｄ２的任意一对对称点，ｄｏ－，ｄｏ－ 分别表示Ｄｌ，Ｄ２上积分变量的微元（包 括微元的符号），则 （１）若在对称点处有ｆ（ｐ）ｄｏ－：厂（ｐ ）ｄ ，则 ｆ（ｐ）ｄｏ－ 厂（ｐ ）ｄ ，且Ｌ ＝２ ｆ（ｐ）ｄａ＝ ２［．ｏ ｆ（Ｐ １ｄ ； （２）若在对称点处有ｆ（ｐ）ｄａ＝一ｆ（Ｐ ）ｄｏ ，则［．ｆ（ ｐ）ｄｏ－０＝． 简言之，当积分域由对称的两部分组成时，若在对称点处被积函数的函数值与积分变量微元（包括微 元的符号）的乘积相等，则积分可简化成半个积分域上积分的２倍；若在对称点处被积函数的函数值与积 分变量微元（包括微元的符号）的乘积互为相反数，则积分为零． 证明用任一分割 把Ｄ１分成若干小积分域Ｄ （ｆ：ｌ，２，…，ｎ），Ｄｉ的度量为ＡＤ ， 为细度，则 必有对Ｄ２的分割 ，把 分成Ｄｆ ，Ｄｆ 的度量为 ，， Ｈ ，且使 与 对称．任取对称的介点Ｐ ∈Ｄｉ和 、 ” Ｐ ∈ ，则Ｌ－厂ｄ ＝ ｌｉｍ 。｛ ／（ ）‘ａＤ，＋ －厂（ｐ Ｊ …ｌｉｍ￣ ．（ｆ（Ｐｉ）’ ＋ （ｐ ＡＤ ）． （１）￣ｆ（ｐ）ｄｏ－＝ （ｐ ）ｄ ，说明－厂（ ）・ＡＤｉ＝ｆ（Ｐｉ ）‘ＡＤｉ ，故ＩＤ ，ｆ（ｐ）ｄａ ＝Ｊｎ （ｐ ）ｄ ，且Ｌ月 ：２ Ｉ ｆ（ｐ）ｄａ＝２ Ｉ ｆ（Ｐ ）ｄ ． （２）若ｆ（ｐ）ｄｃｒ＝一／（ｐ ）ｄ ，说明ｆ（Ｐｆ）＿ＡＩＤｉ＋ （ｐ ＝０，故［ｎｆ（Ｐ）ｄｃｒ＝０． 证毕． 为便于应用，分别讨论积分域有方向性或无方向性时定理１的具体形式． ２．１ 积分域无方向性的情形 如果积分域无方向性，且由对称的两部分组成，则定理Ｉ表现为定理２． 定理２设函数厂在有界可度量几何体Ｄ上可积，Ｄ无方向性，且由对称的两部分 和Ｄ’组成．当 Ｄ分别是闭区间，平面区域、三维区域、光滑弧段或光滑曲面时，用ｄ ，ｄ 相应表示Ｄｌ，Ｄ２上积分变 量的微元（定积分）、平面面积微元（二重积分）、体积微元（三重积分）、弧长微元（第一型曲线积分）或 曲面面积微元（第一型曲面积分），则 （１）若厂在对称点处的函数值相等，则Ｉ￣ｆ（ｐ）ｄｏ－＝ Ｉ厂（ｐ ）ｄ ，且Ｌ ：２Ｉ￣ｆ（ｐ）ｄａ＝２ 厂（ｐ ） ； （２）若－厂在对称点处的函数值互为相反数，则ｆ． ｆ（ｐ）ｄａ ０：． 简言之，当积分域由对称的两部分组成且积分域无方向性时，若对称点处被积函数的函数值相等，则 积分简化成半个积分域上积分的２倍；若对称点处被积函数的函数值相反，则积分为零． 证明若Ｄ无方向性，则在定理１的证明中，Ｄｆ和Ｄ （ ｌ，２，…， ）的度量相等，即 Ｄｉ＝ ， 从而Ｌ月 ：！ ∑（１厂（ｐ ）＋ （ｐｌ，））‘ａｏ，．故结论成立． 证毕． 第３期 王庆东，等：对称性在积分计：算中的应用规律 １９ 特殊情形下，有推论１～４． 推论１设Ｄ是关于 ，Ｙ轴都对称的平面区域，它由对称的两部分 和Ｄ２组成，Ｄｌ是Ｄ位于第一象 限的部分，ｄｏ－表示平面区域的面积微元，则当厂关于 ，Ｙ都是偶函数时，ＩＩ厂（ ，ｙ）ｄｏ－＝４ Ｉｐ（ｘ，ｙ）ｄｏ－； ’ 当 关于 或Ｙ是奇函数时，则ＩＩｆ（ｘ，ｙ）ｄｏ－＝０． 事实上，按照推论１，多次“折叠”积分区域，就把问题归结到了第一象限． 推论２设Ｄ是关于直线Ｙ： 对称的平面区域，它由对称的两部分ＤＩ和Ｄ２组成，（ ，Ｙ）与（Ｙ， ）是 对称点， ｜Ｄｌ 是Ｄ位于Ｙ＝ 上方的部分区域，ｄ 表示平面区域的面积微元，则当ｆ（ｘ，Ｙ）＝ｆ（Ｙ， ）时， （ ，ｙ）ｄｃｒ＝０． Ｄ Ｄ 日（ ，ｙ）ｄｏ－＝ （ ，ｙ）ｄｏ－，且 （ ，ｙ）ｄｏ＂＝２ （ ，ｙ）ｄｔｙ；当厂（ ， ）＝一厂（ ， ）时， 推论３设Ｄ是关于ｘｏｙ坐标面对称的三维区域，由对称的两部分 和Ｄ２组成，Ｄｌ是Ｄ位：７：ｘｏｙ坐 标面上方的部分，ｄｏ＂表示三维区域的体积微元，则当．厂关于ｚ是偶函数时， ｆ１。ｆ ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｏ－＝ Ｄ ０２ （ ，Ｙ，ｚ）ｄｃｒ Ｊ￣ （ ，Ｙ，ｚ）ｄｏ－＝２ （ ，Ｙ，ｚ）ｄ ； 关于ｚ是奇函数时，』ＪＪ ｃｒ＝Ｏ． Ｄ ＤＩ 推论４设Ｄ是关于坐标面 ＝０，Ｙ＝０，Ｚ＝０都对称的三维区域， 是Ｄ位于第一卦限的部分，ｄ 表示三维区域的体积微元，则当厂关于ｘ，Ｙ，ｚ都是偶函数时，ｆ盯 ＝８ ｆｆ ；当厂关于 或 或ｚ是 奇函数时，则ｆｆ ＝０． ２．２积分域有方向性的情形 如果积分域有方向性，且由对称的两部分组成，则积分计算不仅要考虑．厂的对称性，还要考虑Ｄ的有 向投影的对称性，这与Ｊ［）无方向性时不同．此时定理１表现为定理３． 定理３设Ｄ有方向性，当Ｄ分别是平面有方向曲线、空间有方向曲线或双侧曲面时，用ｄｏ－相应表 示平面曲线弧长元素向量 ＝（ｄｘ，ｄｙ）的某一分量（平面曲线上的第二型曲线积分）、空间曲线弧长元素向 量ｄｓ＝（ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ）的某一分量（空间曲线上的第二型曲线积分）或曲面面积元素向量 ｄＳ＝（ｄｙｄｚ，（Ｌｚ ， ）的某一分量（第二型曲面积分）．Ｄ由关于ｄｏ－所在的坐标轴或坐标面对称的两部 分Ｄｔ和０２组成，则当 在对称点处的函数值相等时，Ｌｆ（ｐ）ｄｃｒ＝０；当／在对称点处的函数值互为相反 数时，『ｎ厂ｄ ＝￣ ２ ｆｄｏ ，且』Ｄ月仃＝ ２ＩＤ，ｆｄｃｒ ２＝ ＩＤ ｆｄｏ＂ ．简言之，当积分域由对称的两部分组成，且积分域具有方向性时，应用对称性简化积分的规律恰好与 积分域无方向性时相反． 证明若积分域Ｄ有方向性，且Ｄ关于ｄｃｒ所在的坐标轴或坐标面对称，则Ｄｌ， 在ｄ 所在的坐标 ，， 轴或坐标面上的有向投影反方向，故 Ｄｌ ：一ＡＤｉ（ １，２，…， ），从而Ｌ 、 【 （ ）・ ＋ 证毕． 厂（ｐ Ｄ Ｉ （ （ ）一 （ｐ 。ＡＤ ，故结论成立． 特别地，当Ｄ是平面有向曲线，且由关于 轴对称的 和 组成时，记 轴为另一坐标轴，若 存在，则有定理４． 定理４设Ｄ是平面有向曲线，Ｄ由关于 轴对称的Ｄｌ和 组成， 轴为另一坐标轴，Ｉ 存 在，则当 在对称点处的函数值相等时，Ｌ ＝Ｌ ，且Ｌ ＝２ＩＤ ｆｄＯ＂ ＝２ＩＤ ｆｄＯ＂ ；当厂在 高师理科学刊 第３５卷 对称点处的函数值互为相反数时，Ｌ ：０． 简言之，当积分域是平面有方向曲线且关于某坐标轴对称时，关于另一个坐标轴的第二型线积分的对 称性应用规律恰好与积分域无方向性时相同． 证明因Ｄ是平面有向曲线，且Ｄ关于 轴对称，故ＤＩ，Ｄ２在 轴上的有向投影同方向，因此，在 轴上有 。ｌ，＝ 。 （ ＝ｌ，２，…， ），从而『Ｄ厂ｄ ＝ （喜 （ｐｆ） ＋＿喜／（ｐ 。 ＝ ｌｉａｒ￣ －＂（ｆ（ｐ ）＋ｌ厂（ｐ ‘ Ｄｆ，结论成立‘ …证毕 ３积分域具有轮换对称性时积分计算应用的规律 （２）第一型线积分：Ｌ＿厂（ ，ｙ）ｄ ＝Ｌ／（ ， ） ＝ １ Ｌ（厂（ ， ）＋ｆ（Ｙ， ）） ；Ｌ （ ， ，ｚ） ＝ Ｌ＿厂（ ，ｚ， ）ａｓ＝Ｌ （ｚ， ，ｙ）ｄｓ＝ Ｌ（厂 ， ，ｚ）＋－厂（ ，ｚ， ＋ （ｚ， ， ）出． （３）第一型面积分： 『』厂（ ， ，ｚ） ＝ＩＩｆ（ｙ，ｚ， ）ｄＳ＝ （ｚ， ，ｙ）ｄＳ＝ ｆ』（ （ ， ，ｚ）＋厂（ ，ｚ， ）＋厂（ｚ， ，ｙ））ｄＳ （４）第二型线积分：Ｌ／（ ，ｙ）ｄｘ＝Ｌ－厂（Ｊ，， ）ｄｙ＝专Ｌ－厂（ ，ｙ）ｄｘ＋ｆ（ｙ， ）ｄｙ；Ｌ （ ， ，ｚ） ： 厂 ，ｚ， ：ＬＩ厂（ｚ，ｘ， ）出＝ 互） ，Ｙ，ｚ）ｄｘ＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｙ＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｚ， （５）第二型面积分： ，ｙ，Ｚ）ｄｙｃｋ＝ｆｌｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｚｄｘ＝ ｆ ，ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝ ｆ ，ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｚｄｘ＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ 参考文献： ［１】 马德炎．对称性在重积分及曲面积分中的应用【ＪＪ．高等数学研究，２０１１，１４（４）：９３—９４ ［２】 李治飞．多元函数积分的简化计算【ＪＪ＿高等数学研究，２０１ １，１４（２）：３４—３６ 【３】 常浩．对称性在积分学中的应用【ＪＪ．高等数学研究，２０１ １，１４（２）：５９—６３ 【４】 吴克坚，李文潮，王连昌．积分计算中的对称性定理及应用［Ｊ】＿高等数学研究，２００８，１１（２）：２４—２６，３５ 【５】 秦勇．再谈轮换对称性ＩＪＩ．高等数学研究，２００７，１０（２）：２０—２２ 【６】 王建刚．轮换对称性在解题中的应用【ＪＪ．高等数学研究，２００５，８（２）：１２—１３
