高二下理科数学知识点整理(教师版)

高二理科数学

一、导数

1、导数定义：f（x）在点x0处的导数记作yxx0f(x0)limx0f(x0x)f(x0)；

x2、几何意义：切线斜率；物理意义：瞬时速度； 3、常见函数的导数公式:

'①C0；②(x)nxx'xn'n1'；③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

'x'x'⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(logax)11'；⑧(lnx) 。 xlnax11⑨2；⑩

xxx21x

uvuvuv; 2v4、导数的四则运算法则：(uv)uv;(uv)uvuv;()5、复合函数的导数：yxyuux;

6、导数的应用：

（1）利用导数求切线：根据导数的几何意义，求得该点的切线斜率为该处的导数

（kf(x0)）；利用点斜式（yy0k(xx0)）求得切线方程。

注意ⅰ）所给点是切点吗？ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？ （2）利用导数判断函数单调性：①f(x)0f(x)是增函数； ②f(x)0f(x)为减函数；③f(x)0f(x)为常数； 反之，f(x)是增函数f(x)0，f(x)是减函数f(x)0

（3）利用导数求极值：ⅰ）求导数f(x)；ⅱ）求方程f(x)0的根；ⅲ）列表得极值。

（4）利用导数最大值与最小值：

ⅰ）求得极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。 （5）求解实际优化问题：

①根据所求假设未知数x和y，并由题意找出两者的函数关系式，同时给出x的范围；②求导，令其为0，解得x值，舍去不符合要求的值；

③根据该值两侧的单调性，判断出最值情况（最大还是最小？）； ④求最值（题目需要时）；回归题意，给出结论；

7、定积分

（1）定积分的定义：

baf(x)dxlimni1nbaf(i)（注意整体思想） n（2）定积分的性质：①②③

bakf(x)dxkf(x)dx （k常数）；

abbaabbab[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx；

f(x)dxf(x)dxf(x)dx （其中acb)。（分步累加）

accba（3）微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：

baf(x)dxF(x)|baF(b)F(a)

n11x（熟记xn（），，，，lnxsinxcosxcosxsinxn1n1xxaxx，） eeaxlna（4）定积分的应用： ①求曲边梯形的面积：Sba(f(x)g(x))dx（两曲线所围面积）；

注意：若是单曲线yf(x)与x轴所围面积，位于x轴下方的需在定积分式子前加“—”

②求变速直线运动的路程：S③求变力做功：W 二、复数 1．概念：

（1）z=a+bi∈Rb=0 （a，b∈R）z=z z2≥0； （2）z=a+bi是虚数b≠0（a，b∈R）；

（3）z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0（a，b∈R）z＋z＝0（z≠0）z2<0； （4）a+bi=c+dia=c且c=d（a，b，c，d∈R）；

2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi ， z2 = c + di （a，b，c，d∈R），则： （1）z 1± z2 = （a + b） ± （c + d）i；（2） z1.z2 = （a+bi）·（c+di）＝（ac－bd）+ （ad+bc）i；

（3）z1÷z2 =

bav(t)dt；

baF(s)ds。

(abi)(cdi)bdbcad （z≠0） （分母实数化） ac； 22i222(cdi)(cdi)cdcd

3．几个重要的结论：

i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i；（1）（3） (2)1ii;1ii;(1i)22i；

1i1i（4）13i 以3为周期，且01,2,31；12=0； 22（5）z1zz1z4．复数的几何意义 （1）复平面、实轴、虚轴

1。 z（2）复数zabi点Z（a,b）向量OZ(a,b) 三、推理与证明 （一）．推理：

（1）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

（2）演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：（1）大前提——已知的一般结论；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结 论——根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

（二）证明 ⒈直接证明 （1）综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

（2）分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。

2．间接证明——反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。

（三）数学归纳法

一般的证明一个与正整数n有关的一个命题，可按以下步骤进行： （1）证明当n取第一个值n0是命题成立；

（2）假设当nk(kn0,kN)命题成立，证明当nk1时命题也成立。

那么由（1）（2）就可以判定命题对从n0开始所有的正整数都成立。

注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； ②n0的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。

四、排列、组合和二项式定理

（1）排列数公式:An=n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）=

mn!(nm)!（m≤n，m、n

n0∈N*），当m=n时为全排列An=n（n－1）（n－2）…3.2.1=n!，An1；

（2）组合数公式：CmnmAnmAm0nn(n1)(nm1)（m≤n），CnCn1；

m(m1)(m2)321（3）组合数性质：CnmCnnm;CnmCnm1Cnm1；

12nCn2CnnCnn•2n1；

（4）二项式定理：

0n1n11knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)

rnrr①通项：Tr1Cnab(r0,1,2,...,n);②注意二项式系数与系数的区别；

（5）二项式系数的性质：

mnm①与首末两端等距离的二项式系数相等（CnCn）；

nn②若n为偶数，中间一项（第＋1项）二项式系数（C2n）最大；若n为奇数，

2n1n1n1n12中间两项（第+1和+1项）二项式系数（Cn，Cn2）最大；

22012nn0213n1③CnCnCnCn2;CnCnCnCn2;

（6）求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用代入法（取x1,0,1）。

五. 概率与统计

（1）随机变量的分布列：

（求解过程：直接假设随机变量，找其可能取值，求对应概率，列表） ①随机变量分布列的性质：0pi1，i=1，2，…； p1+p2+…=1；

②离散型随机变量： X P x1 P1 X2 P2 … … xn Pn … … 期望：EX＝x1p1 + x2p2 + … + xnpn +… ；

222方差：DX＝(x1EX)p1(x2EX)p2(xnEX)pn ；

22注：E(aXb)aEXb;D(aXb)aDX；DXEX(EX)

2③两点分布（0—1分布）： X P 0 1－p 1 p 期望：EX＝p；方差：DX＝p（1－p） ④超几何分布：

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则

knkCMCNMP(Xk),k0,1,m,mmin{M,n},其中，nN,MN。 nCNX P 0 0n0CMCNM nCN1 1n1CMCNM nCN… … m mnmCMCNM nCN称分布列为超几何分布列， 称X服从超几何分布。 ⑤二项分布（n次独立重复试验）：

kknk若X～B（n，p），则EX＝np， DX＝np（1－ p）；注：P(Xk)Cnp(1p) 。

（2）条件概率：

P(B|A)n(AB)P(AB)，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。 n(A)P(A)注：①0P（B|A）1；②P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。 （3）独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。 （4）正态总体的概率密度函数：f(x)12是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；

（5）正态曲线的性质：

e(x)222,xR,式中,（0）

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称； ③曲线在x＝处达到峰值⑹P(aXb)12；④曲线与x轴之间的面积为1；

baf(x)dx，则X~N(,2)

① 曲线的对称轴随的变化沿x轴平移，变大，曲线右移；

② 曲线高矮由确定：越大，曲线越“矮胖”， 反之，曲线越“高瘦”；

12（7）标准正态分布X~N(0,1)，其中f(x)e,xR,

2注：P(3X3)=0.9974 （3原则）

x2nn11ˆˆxaˆbˆ，其中xxi,yyi，b（8）线性回归方程yni1ni1xyii1nninxy，

xi12inx2ˆx ˆyba