三角变换的类型与技巧

殷　汇　２００８．０７　■■■－　■■＿　（中旬刊）　■■●●一　角变换的类型与技巧　口　张银财　甘肃・镇原７４４５００）　文章编号：１　６７２—７８９４（２００８）０７—２７９—０１　解析：原式＝　４ｓｉｎ　一３ｓｉｎａｅｏｓｏｔ一５ｃｏｓｔａ　４ｔａｎ￣一３ｔａｎａ－５　（镇原县职业中等专业学校中图分类号：０１２４　文献标识码：Ａ　三角变换是运算、化简、求值、证明过程中运用比较多的变换，　掌握三角变换中的常用技巧在高中是必须的，要学会创设条件，灵活　运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能，下面介绍三角变换中　一一—４×４－３×２－５１　—常用的几种类型与技巧，以飨读者。　一、角的变换　在三角化简、求值、证明中，表达式中往往会出现较多的相异角，　可根据角与角间的和、差、倍、补、余等关系，运用角的变换，把“待求　角”用“已知角”表示出来。利用相关的三角公式使问题获解．　例１：ａ，ｐ设均为锐角，且ｃｏｓ（ａ＋　＝　，ｃｏｓ（２ａ＋　＝÷求ｃ０ｓａ的　值。　分析：题目中的“已知角”为ａ　和　，“待求角”为ａ，比较　它们的差异，找出它们之间的关系，把ａ用ａ　和　表示出来，　有ａ：（２ａ＋　一（　＋　，在利用两角差的余弦公式求解。　解析：Ｑｏ＜ａ＜　，ｏ　Ｂ＜詈．・．ｏ＜ａ　＜　，ｏ＜　＜　｝，由ｃｏｓ　（ａ哟＝罟得ｓ　（ａ　＝吾，又ｃ０ｓ　＝　且ｏ＜　等，　・ｏ＜　＜　，ｓｉｎ（２ａ＋ｆ１）＝Ｔ４　．．。．．ｃ０　：ｃ０ｓ【　＋　一（ａ　）］＝ｃ０ｓ（２ａ　）ｃ０ｓ（ａ＋ｆ１）＋ｓｉｎ（２ａ＋ｆ１）ｓｉｎ（ａ＋　＝　×罟＋　×吾＝蔷．　【评注】一般地，常用的角的变换有：ａ＝（ａ　ａ＝（　２ａ＝（ａ　＝（ａ］回＝（Ｔｉｆｒ—ａ）一（｛＋回；（ａ］回＝（ａ一＇．＝　；１５。－－４５。　一３０￣＝６０。一４５ｏ＿辈等等，具体的变换方式要根据具体问题中涉及　的角去确定，即灵活地把“待求角”用“已知角”的和、差、倍、补、余　表示出来．　二、函数名称的变换　在三角化简、求值、证明中，表达式中往往会出现教多的函数名　称，在此情况下常常需要化异名函数为同名函数，常用的转化方式　有切割化弦和齐次弦化切．　例２：求ｓｉｎ５０。（１＋、／丁ｔａｎｌＯ）的值。　分析：本题出现了正弦函数和正切函数，并且角度也不是特殊　角，因而把切函数化成弦函数，再利用角和、差的三角公式把非特殊　角消去．　解析：原式ｓｉｎ５ｏ。（１＋、／了　兽　）　－－＝ｓｉｎ５０　（、ｃｏｓｌＯ￣＋Ｎ／￣ｓｉｎｌＯｏ，　ｃ０ｓ１Ｏ。＝ｓｉｎ５０　－２ｓｉｎ（１Ｏ￣＋３０￣）－　ｃ０ｓ１Ｏ。一ｃｏｓ４０　２ｓｉｎ４ｏ。　一——　一　一ｓｉｎ８０。一１　一　‘　三、常数的变换　・　在三角函数的运算、化简、求值、证明过程中，有时根据需要将　常数转化为三角函数以便利用公式进行运算，在常数变换中用的最　多的是“１”的变换，其变换方式灵活多样．因题而异．　例３：已知ｔａｎａ＝２，求４ｓｉｎ２￣一３ｓｉｎａｅｏｓａ一５ｃｏｓ２ａ的值．　分析：已知条件为角的正切值，要求的结论是角的弦函数，故先　将其变形再弦化切．　ｔａ｜ｌ　ａ１　—４＋１　一　【评注】一般地，常数“ｌ，＇的变换形式有ｌ＿ｓｉｎ　＋ｃ０ｓ　＝ｔａ　ｃ０＿　ｔａ＝ｔａｎ４５￣＝ｓｉｎ９０￣＝２ｓｉｎ３Ｏ。等，除“１”的变换外，其他的常数变换还　有、／　＝２ｓｉｎ４５￣＝２ｃｏｓ４５。；、／丁＝２ｓｉｎ６０￣＝２ｃｏｓ３０ｏ，一般地，如果三角　表达式中出现常数“、／　”，“、／了”可将其转化为相应角的三角　函数，以便构造结构，利用三角公式．　四、幂的变换　在三角函数化简、求值、证明过程中，如果出现次数较高的三角　函数式，一般采用降幂处理的方法；如果出现根式，则采用升幂处理　的方法消去根式．　例５：求证：８ｃｏｓ＇￣ｏｓ４８＋４ｃｏｓ２８＋３　分析：等式左边次数为４次，右边为１次，利用倍角公式变形　ｃ０ｓ　＝　将左边次数遂次降低。　１．证明　８ｃｏｓ＇Ｏ－＝８（ｅｏｓ￣＇３＝８（　）＝２（ｅｏｓ￣２８＋２ｅｏｓ２／９＋１）　：２　ｆ、　　‘　／１　＋４ｃ。ｓ２８＋２：　＋４ｃ０ｓ２８＋３　即原命题得证。　【评注】一般地，常用的幂的变换方式有：（１）利用倍角公式变　形形式：ＣＯ￣２Ｕｔ：　：　；。ｉ　上　；　‘　２．因式分解，例如：　一ｓｉｎ￣＝（ｃ０ｓ　＋ｓｉｎ　（ｃ０ｓ　一ｓｉｎ　＝ｃ０ｓ　一ｓｉｎ　：ｃ０ｓ２　五、结构的变换　三角函数求值、化简、证明中，常常对所给的条件、结论的结构　施行调整，或重新分组，或换元，或展开．或分解因式等，通过结构的　变换使条件能灵活应用，使所求结论能顺利得出：　例６：已知ｙ＝２ｓｉｎ　ｍ　ｓｉｎ口—∞　Ｏ≤口≤　），求函数Ｙ的最大值　与最小值．　分析：此函数的最值不易直接由三角函数的有界性等性质求　解，可考虑换元．将函数结构变形求解．　解析：令ｔ＝ｓｉｎ０－ｅｏｓ０＝－Ｖ＇Ｔｓｉｎ（０－｛），则２ｓｉｎＯｃｏｓ０＝ｌ～ｔ，　‘．　‘．．ｙ＝－ｔ　＋ｔ＋ｌ＝－（ｔ－　１）‘　２＋｛，‘ｔ　　ｒ　又‘．‘ｔ＝ｖ＇Ｔｓｉｎ（０－｛）‘．　，ｏ≤口≤　－一．．号≤　寻≤孚　．一１≤Ｉ≤　．　－．．当ｔ＝÷时，ｙ　÷，当ｔ－一１时，ｙ　一１。　【评注】在对条件及结论的结构进行变换时要保持等价性，即进　行恒等变换，特别是在进行换元变换时要保证新变量的范围与原来　变量范围对应．　三角变换的种类多，方法技巧灵活．但它们相互之间不是彼此　孤立而是相互联系，相互应用的。在同一个题目中可以涉及到多种　不同的变换类型，这充分体现了三角函数中“变为主线”的基本思　想。　２７９