高中数学：由命题的真假求参数的取值范围

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已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x＋mx

＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为[2，＋∞)__．

解析：依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得

m≥0， m≤－2或m≥2，

即m≥2.

所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．

2【条件探究】 本典例中的条件q变为：存在x0∈R，x0＋mx0

＋1＜0，其他不变，则实数m的取值范围为[0,2]__．

解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4＞0， 所以m＞2或m＜－2.

m≥0，由得0≤m≤2， －2≤m≤2，

所以m的取值范围是[0,2]．

【结论探究】 本典例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)__．

解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．

m＜0，当p真q假时所以m≤－2；

m≥2或m≤－2，m≥0，

当p假q真时所以0≤m＜2.

－2＜m＜2，

所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．

根据命题的真假求参数取值范围的策略

1．全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题．

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2．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；

(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

(1)(2019·广东汕头模拟)已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实根；命题q：a＞0.若“非(p∨q)”是假命题，“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪(0,2)__．

解析：当命题p为真时，有Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2. ∵“非(p∨q)”是假命题，∴p∨q是真命题． 又“p∧q”是假命题，

∴p，q一个为真命题，一个为假命题．

a≤－2或a≥2，

①当p真q假时，则解得a≤－2；

a≤0，－2＜a＜2，

②当p假q真时，则解得0＜a＜2.

a＞0，

综上可得实数a的取值范围是(－∞，－2]∪(0,2)．

11

(2)(2019·洛阳模拟)已知p：∀x∈4，2，2x＜m(x2＋1)，q：函数



f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的

4

取值范围是5，1 .



2x解析：由2x＜m(x2＋1)，可得m＞2，

x＋1

2x114

又x∈4，2时，x2＋1max＝5，



4故当p为真时，m＞5；

函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1＝(2x＋1)2＋m－2， 令f(x)＝0，得2x＝2－m－1，

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若f(x)存在零点，则2－m－1＞0，解得m＜1， 故当q为真时，m＜1. 若“p且q”为真命题，

4

则实数m的取值范围是5，1.





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