集合与常用逻辑用语(高三复习、教案)

第一章：集合与常用逻辑用语

§·集合的概念及运算

一、知识清单

1.集合的含义与表示

（1）集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。

（2）常用的集合表示法：①列举法；②描述法；③数轴或图像表示法；④venn图法

2.集合的特性

特 性 确定性 理 解 应 用 要么属于该集合，要么不属于，二者必判断涉及的总体是否构成集居其一； 合 集合中的任意两个元素都是不同的； 1.判断集合表示是否正确； 2.求集合中的元素 通常用该性质判断两个集合的关系 互异性 无序性

3.常用的集合 集合 集合的意义 例子 集合的不同与元素的排列无关； x|fx0 x|fx0 x|yfx y|yfx x,y|yfx yfx 方程不等式函数fx0的解集 fx0的解集 yfx的定义域 函数yfx的值域 函数yfx图像上的点集 一个元素 x|x0 x|x0 x|yx y|yx x,y|yx yx 常见数集的记法： 集合 符号

1

自然数集 N 正整数集 N或N+ *整数集 Z 有理数集 Q 实属集 R 复数集 C

4.集合间的基本关系 （1）集合间的关系

子 集 文字描述 集合A中任意元素都是集合B中元素 符号表示 真子集 A是B的子集，但B中至少有一个元素不在A中 相 等

（2）有限集合中子集的个数

有限集合A中有n个元素 集合A的子集个数 集合A的非空子集个数 集合A的真子集个数 集合A的非空真子集个数 2 2-1 2-1 2-2 nnnn集合A、集合B中元素完全相同 【提醒】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。符号表示为：

5.集合的运算

运算类型 交集 并集 若A和B是集合，则A和设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于B并集是有所有A的元素和所有B的元素，而没有其他元素的集合。A和B的并集通常写作 \"A∪B\"，读作“A并B”，用符号语言表示: A∪B={x|x∈A,或x∈B} 补集 相对补集：若A 和B 是集合，则A 在B 中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B-A={x|x∈B但x∉A}。 绝对补集：若给定全集S，有A⊆ S，则A在S中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作CSA。 定义 集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B。 韦恩图示 性质 ABBA AAA ABA ABB A ABBA AAA ABA ABB AA ACUA∅ACUAU De Morgan定律: CUACUBCUAB CUACUBCUAB

2

二、高考常见题型及解题方法

1.解决集合问题的常用方法 方 法 列 举 法 数形结合法 特 值 法

2.集合问题常见题型

（1）元素与集合间关系问题 （2）集合与集合间关系问题 （3）集合的基本运算：

①有限集（数集）间集合的运算；

②无限集间集合的运算：数轴（坐标系）画图、定域、求解； ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。

【针对训练】

例1.已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ） A.1 B.3 C.5 D.9

例2.设集合My|yx2x1,xR,Px|2x4,xR，则集合M与P之

2步 骤 ①定元素 ②定运算 ③定结果 ①画图形 ②定区域 ③求结果 ①辨差异 ②定特殊 ③验排除 ④定结果 间的关系式为（ ）

A.MP B.MP C.MP D.MP且PM

例3.设集合Mx,y|xy0且xy0,Px,y|x0,y0，则集合M与P之间的关系式为（ ）

A.MP B.MP C.MP D.MP且PM

1，2且M0，2,4的集合M有（ ）个 例4.满足M0， A.1 B.2 C.3 D.4

1，ab,a0, 例5.设a、b∈R，集合b,b，则b-a=（ ） a A.1 B.-1 C.2 D.-2

22

例6.已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1

例7.已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3}，CUB∩A={9}，则A=（ ） A、{1,3} B、{3,7,9} C、{3,5,9} D、{3,9}

例8.设集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠，则a的取值范围是（ ）

3

A.-1＜a≤2 B.a＞2 C.a≥-1 D.a＞-1

2

例9.集合A={0,2，a}，B={1，a}，若A∪B={0,1,2,4,16}，则a的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.4

例10.已知集合M={（x，y）|y=-x+1}，N={（x，y）|y=x-1}那么M∩N为（ ） A.{1,0} B.（1,0） C.{（1,0）} D.

三、实战训练

1.满足M⊆{a1,a2,a3,a4}，且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合M的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

2.若以集合Sa,b,c,a,b,cR中三个元素的边可构成三角形，那么此三角形不可能是（ ）

A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

3.设集合Ax|x4x30,Bx|2x30，则A∩B=（ ）

2 A.3，33333  B.3， C.1， D.，22224.设集合Ax|x2,xR,By|yx2,1x2，则CRAB（ ）

 C.,12， D. A.R B.,20，5.已知集合Mx|21,Ny|y1x2，则MN（ ） x2 D.0，1 A.(，2] B.(0，1] C.0，6.设集合Ax|xa3x3a0,Bx|x5x40，若集合A∪B中所有

22元素之和为8，则实数a的取值集合为（ ）

A.{0} B.{0,3} C.{1,3,4} D.{0,1,3,4}

7.设集合Ax|xa1,xR,Bx|1x5,xR，若AB，则实数a的取值范围是（ ）

A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2,或a≥4} C.{a|a≤0,或a≥6} D.{a|2≤a≤4}

8.已知全集UxZ|0x8,M2,3,5,Nx|x8x120，则集合

2{1,4,7}为（ ）

A.MCUN B.CUMN C.CUMN D.NCUM

1,2,3,5,7,9，则B的非空真子集9.设全集UABxN|0x10,ACUB的个数为（ ）

4

A.5 B.30 C.31 D.32

10.在“①高一数学课本中的难题；②大于等于1，且小于等于100的所有整数；③方程2

x+2=0的实数解；④π的近似值的全体；⑤平面几何中所有的难证明的题目；⑥著名的数学

222

家；⑦在实数中，比负数大的所有数的全体；⑧一元二次方程x+bx-1=0的根；⑨a，a+1，2

a+2；”能够表示成集合的是 。

11.设集合Pxy,xy,xy,Qxy,xy,0，若P=Q，求x，y的

2222值 。

12.已知集合Ax|xk11,kZ,Bx|xk,kZ，则A B 2213.已知Ax,y|y2x1,Bx,y|yx3,aA,aB，求：a= 。 14.若Ax|x4n1,nZ,Bx|x4n3,nZ,Cx|x8n1,nZ，则集合A、B、C之间的关系是 。

15.若集合Mx|ax2x10只含一个元素，则a= 。

21，2，a,B1,aa，若AB,则a= . 16.设集合A217.设Ax|2x6,Bx|2axa3,BA，则a= . 18.设Ax|x4x0,Bx|x2a1xa10,xR,BA，则

222a= .

19.设fxxpxq,Ax|xfx,Bx|xffx：

2 （1）求证：AB;

3，求B. （2）若果A1，

5

§·常用逻辑用语

一、知识清单

1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。其中，判断为真的即为真命题，为假的即为假命题。

2.命题的判断以及命题真假的判断

（1）命题的判断：①判断该语句是否是陈述句；②能否判断真假。

（2）命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。

3.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用¬p和¬q表示p与q的否定，即如下：

命 题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表述形式 若p则q 若q则p 若¬p则¬q 若¬q则¬p

（四种命题的关系）

4.充分条件和必要条件 （1）充分条件：

如果A成立，那么B成立，则条件A是B成立的充分条件。 （2）必要条件：

如果A成立，那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件。 （3）充要条件：

如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A是B成立的充要条件，与此同时，B也一定是A成立的重要条件，所以此时，A、B互为充要条件。

【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“A＝＞B”的不同表达方法。

5.逻辑联结词

（1）不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题，它们有以下几种形式：p或q（p∨q）；p且q（p∧q）；非p（¬p）。

（2）逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解

在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。

6.量词与命题

（1）全称量词和存在量词表示

6

量词名称 全称量词 存在量词 常见量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等 表示符号   （2）全称命题与特称命题 命题 全称命题“xM,px” 短语“对所有的”“对任意一个”等，定义 特称命题“x0M,px0” 短语“存在一个”“至少有一个”等，在逻辑中通常叫做存在量词，用在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”符号“”表示。含有存在量词的命表示。含有全称量词的命题叫做全称命题 题，叫做特称命题 全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题 ①所有的xM,px成立； 存在性命题就是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题 ①存在x0M,使px0成立； ②至少有一个x0M,使px0成立； ③对有些x0M,使px0成立； ④对某个x0M,使px0成立； ⑤有一个x0M,使px0成立。 实质 表述方法 ②对一切xM,px成立； ③对每一个xM,px成立； ④任选一个xM,px成立； ⑤凡xM,px成立。

7.命题的否定：其与否命题不是同一概念，否命题与原命题无真假关系 （1）含一个量词的命题（全称命题

命 题 命题的否定 与特称命题）的否定

全称命题的否定为特称命题 x0M，p(x0) xM，p(x) 特称命题的否定为全称命题 x0M，p(x0) xM，p(x)

（2）复合命题的否定 ①“¬p”的否定是“p”；

②“p∨q”的否定是“¬p∧¬q”； ③“p∧q”的否定是“¬p∨¬q”

二、高考常见题型及解题方法

1.命题类题型考法与思路

（1）命题及命题真假的判断方法

①一般地，陈述句、反义疑问句是命题，而感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，含有变量的语句叫开语句，不能判断真假的开语句也不是命题；

②判断命题是否为真，也可先写出命题，分清条件和结论，然后直接判断；也可从其与逆否命题等价角度判断；

（2）判断四种命题之间的关系时，要注意分清命题的条件和结论，再比较p、q之间的关系；

7

（3）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提；对于有并列条件组成的命题时，要将其中一个（或n个）作为大前提。

（4）一些词语及其否定如下表所示：

词语 是 都是 都不是 至少一个是 等于 大于 小于 至少有一个 一个都没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有n-1个 至多有n个 至少有n+1个 否定 不是 不都是 不等于 不大于 不小于

2.命题四种形式判断的考法与解法 （1）命题判断法

①设“若p，则q”为原命题，那么： 逆命题为真 逆命题为假 原命题为真 P为q的充要条件 充分不必要条件 原命题为假 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 ②命题判断（定义法） a.分清条件与结论（p与q）；b.找推式：即判断p=>q及q=>p的真假；c.下结论：根据上表。

（2）集合判断法

从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合p：A={x|p(x)成立}，q：B={x|q(x)成立}那么：

①若AB则p是q的充分条件；若A⊊B，则p是q的充分不必要条件； ②若BA则p是q的必要条件；若B⊊A，则p是q的必要不充分条件； ③若AB且BA，即A=B，则p是q的充要条件。

（3）充分必要条件的判断应注意问题的设问方式

①“A是B的充分不必要条件”是指：A=>B且B≠>A； ②“A的充分不必要条件是B”是指：B=>A且A≠>B；

3.复合命题真假的判断

p 真 真 假 假

命题名称 全称命题 特称命题

q 真 假 真 假 pq pq p 真假 真 假 真 判断方法1 所有对象命题真 存在一个对象命题假 存在一个对象命题真 8

判断方法2 否定为假 否定为真 否定为假

假 所有对象命题假 否定为真 4.全（特）称命题真假的判断及其应用

5.全称命题与特称命题的否定形式、真假判断及求参数范围 【针对训练】

例1. 给出以下四个命题：①“若x＋y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q1，则xxq0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题。其中真命题是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．③④

例2.“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（ ） A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角 B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角 C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角 D．以上都不对

例3.给出4个命题：①若x3x20，则x=1或x=2；②若2x3，则

22x2x30；③若x=y=0，则x2y20；④若x,yN，x＋y是奇数，则x，y中一

个是奇数，一个是偶数。那么（ ）

A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真

C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假

例4. 直线ykx1的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（ ） A．k＜0 B．k＜－1 C．k＜1 D．k＞－2

例5.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）

A．（¬p）∨（¬q） B．p∨（¬q） C．（¬p）∧（¬q） D．p∨q

例6.已知a＞0,则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（ ）

1211122axbxax0bx0 B.xR,ax2bxax0bx0 222212112122 C.xR,axbxax0bx0 D.xR,axbxax0bx0

2222 A.xR,例7.命题“对任意x∈R，都有x≥0”的否定为( )

22

A.对任意x∈R，都有x＜0 B.不存在x∈R，都有x＜0

22

C.存在x0∈R，使得x0≥0 D.存在x0∈R，使得x0＜0 例8.若p是真命题，q是假命题，则（ ）

A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题 C.¬p是真命题 D.¬q是真命题 例9.设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集。若命题p:xA,2xB，则（ ） A.p:xA,2xB B.p:xA,2xB

9

2

C.p:xA,2xB D.p:xA,2xB

三、高考真题训练

.m//”“//” 1.（15北京）设，是两个不同的平面，m是直线且m“是的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（15年新课标1）设命题p：nN，n>2，则P为（ ）

A.nN, n>2 B. nN, n≤2 C.nN, n≤2 D. nN, n=2

3.（15年天津）设xR ，则“x21 ”是“xx20 ”的（ ） A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（2015·浙江卷）命题“nN,fnN且fnn”的否定形式是( )

**222nn2nn2n2 A．nN,fnN且fnn B．nN,fnN或fnn

******** C．n0N,fn0N且fn0n0 D．n0N,fn0N或fn0n0

yx1225.设p:x1y12,x,yR；q:y1x,x,yR，则p是q的（ ）

y1 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.命题p:x22，命题q:11，则p是q成立的（ ） 3x A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.给定两个命题p,q,p：若x+y≤4或xy≤4，则x≤2或y≤2；q：有一个偶数是质数，则“pq”为 命题（填“真”或“假”）。

8.已知命题p:方程x2ax10有两个大于-1的实数根，命题q：关于x的不等式

2ax2ax10的解集为R。若“pq”与“p”都是真命题，则实数a的取值范围： 。

9.已知命题p:x1,2,xa0，命题q:x0R,x02ax02a0，若命题

22“pq”是真命题，求实数a的取值范围 。

10.已知命题p:\"xR,mR,42取值范围为 。

11.若x2,2，不等式xax3a恒成立，求a得取值范围 。

2xx1m0\"，且命题p是假命题，则实数m的

10

12.设集合Mx|x2,Px|x3，则“xM或xP”是“xMP”的 13.设p：实数x满足x2

x－x－6≤0，

－4ax＋3a<0，其中a≠0，q：实数x满足2

x＋2x－8>0.

2

2

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。

11