概率论练习册

一、选择题

1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）>0,P(B)>0，则 【 】。 A.P(B|A)=0 C.P(A|B)=P（A）

B.P(A|B)>0 D.P(AB)=P(A)P(B)

2x, 0x1,12.设随机变量X的概率密度为f (x)=则P{0X}= 【 】。

0, 其他,2A.C.

1 41 21B. 3D.

3 43.设下列函数的定义域均为（-，+），则其中可作为概率密度的是 【 】。 A. f (x)=-e-x

1C. f (x)=e-|x|

2B. f (x)=e-x D. f (x)=e-|x|

1,2x4,4.已知随机变量X的概率密度为f (x)=2则E(X)= 【 】。

0, 其他,A.6 C.1

B.3 1D. 2Znnp5.设随机变量Zn～B（n，p），n=1，2，„，其中0nnp(1p)A.

x12120et22dt B.

x1212et22dt

C.

0et22dt D.

et22dt

6.若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)0，则下列结论正确的是 【 】

A、A和B互不相容； B、AB是不可能事件； C、P(A)0或P(B)0； D、以上答案都不对

7.在5件产品中，只有3件一等品和2件二等品。若从中任取2件，那么以0.7为概率的事件是 【 】

A、都不是一等品； B、至多有一件一等品； C、恰有一件一等品； D、至少有一件一等品

第1页共8页

8．设事件A与B相互独立，且0P(B)1，则下列结论中错误的是 【 】

A、A与B一定互斥； B、P(AB)P(A)P(B)；

C、P(A|B)P(A)； D、P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B) 9.设随机变量X~N(1,1),Y~N(2,2)，且P{|X1|1}P{|Y2|1}，则下列各式中正确的是 【 】

A、12； B、12； C、12； D、12 10.设X~N(0,1)，令YX2,则Y~ 【 】

A、N(-2,-3)； B、N(0,1)； C、N(-2,1)； D、N(2,1)

11．设X与Y相互独立，且都服从N(,2)，则下列各式中正确的是 【 】

A、E(XY)E(X)E(Y)； B、E(XY)2； C、D(XY)D(X)D(Y)； D、D(XY)22

12.设（X,Y）服从二维正态分布，则下列结论中错误的是 【 】

A、(X,Y)的边缘分布仍然是正态分布； B、X与Y相互独立等价于X与Y不相关 C、（X,Y）的分布函数唯一确定边缘分布函数；

D、由（X,Y）的边缘概率密度可完全确定（X,Y）的概率密度 13.设随机变量X～N(1，4)，F(x)为X的分布函数，(x)为标准正态分布函数，则F(3)=【 】。 A.(0.5) C.(1)

B.(0.75) D.(3)

221cx,1x0,14.设随机变量X的概率密度为f (x)=则常数c= 【 】。 2 0, 其他,A.-3

1C.-

2B.-1 D.1

15.设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为

XP010.40.6 Y01P0.40.6 则有 【 】。 A.P(XY)0. B.P(XY)0.5. C.P(XY)0.52. D.P(XY)1.

第2页共8页

16.设随机变量X与Y相互独立，且X～B(16，0.5)，Y服从参数为9的泊松分布，则D(X-2Y+3)=

【 】。

A.-14 C.40

B.-11 D.43

17.设x1，x2，x3，x4为来自总体X的样本，D(X)=2，则样本均值x的方差D(x)= 【 】。 A.2

1B.2 211C.2 D.2 3418.箱子中有5个红球，3个黑球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰好有3个黑球的概率为 【 】

A、

335154331（）； B、； C、C8()； D、4

88888C819.设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度，则必有 【 】

A、f(x)单调不减； B、

-F(x)dx1；

C、F()0； D、F(x)f(x)dx

20.设随机变量X~b(10,),　Y~N(2,10)，又E(XY)=14，则X与Y的相关系数XY

【 】

A、-0.8； B、-0.16； C、0.16； D、0.8 21.设Xi120,事件A不发生，（i=1,2，„，10000），且P(A)=0.9，X1,X2,,X100001，事件A发生10000相互独立，令YXi1i，则由中心极限定理知Y近似服从的分布是 【 】

A、N(0,1)； B、N(9000,30)； C、N(900,9000)； D、N(9000,900)

二、填空题

11.设随机事件A与B相互独立，且P(A)=P(B)=，则P(AB)=_________.

32.设A为随机事件，P(A)=0.3，则P(A)=_________.

1ex,x0,3.设随机变量X的分布函数为F(x)=则当x>0时，X 的概率密度f (x)=_________.

0, x0,1,0x2,0y1,4.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f (x，y)=2

0, 其他,则P{X+Y≤1}=_________.

第3页共8页

5.设随机变量X的分布律为 X P 则E(X)=_________.

6.设x1，x2，„，xn为样本观测值，经计算知

n－2 0.4 0 0.2 2 0.4 i1nxi2100，nx=64，

2则

(xx)ii12=_________.

7.设A、B、C是三个随机事件，事件“A不发生，B、C中至少有一个发生”表示为 。

8.口袋中有3个黑球、2个红球，从中任取一个，放回后再放入同颜色的球1个。设

Bi“第i次取到黑球”，i1,2,3,4,则P(B1B2B3B4) 。

9.在三次独立的重复试验中，每次试验成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为则每次试验成功的概率为 。

2210.设随机变量X、Y的相关系数为0.5，E(X)E(Y)0，E(X)E(Y)2，则

19，27E[(XY)2] 。

11.设随机变量X的方差为2，用切比雪夫不等式估计P{|XE(X)|3} 。 12.设袋内有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为_________. 13.设随机变量X的分布律为 X P －2 0.1 0 0.2 1 0.3 2 0.4 记Y=X2，则P{Y=4}=_________. 14.若服从[0，2]上的均匀分布，则

D＝ . (E)2115.若随机变量X～B（4，），则P{X≥1}=_________.

316.设随机变量X～N(0，4)，则E(X2)=_________.

17.设随机变量X～N(0，1)，Y～N(0，1)，Cov(X,Y)=0.5，则D(X+Y)=_________.

18.设A与B是两个随机事件，已知P(A)=0.4，P(B)=0.6，P(B|A)=0.7，则P(AB) 。

19.设随机变量X服从参数为2的指数分布，则Ye的概率密度为 。

第4页共8页

X20.设随机变量X服从参数为的Poisson分布，且已知E[(X1)(X2)]0,　则 。

21.设随机变量X~U(0,1)，用切比雪夫不等式估计P|X11| 。 23三、计算题

1.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求P（AB）.

2. 设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，

以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函数。

3. 设随机变量（X，Y）的分布密度

Ae(3x4y),x0,y0,f（x，y）=

其他.0,求：（1） 常数A；

（2） P{0≤X<1，0≤Y<2}.

4. .设X~N（3，2），求 （1） P(2X5); （2） P(|X|2).

2

（附：(1)0.8413,0.6915,0.9938） 5. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 5 8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 1252（1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 6. 设随机变量X的分布律为

X P 1 0 1 p1 p2 p3 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.

1(x1),0x27.设随机变量X的概率密度为f(x)4，对X独立观察3次，求至少

其他0,

第5页共8页

有2次的结果大于1的概率。

8.某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占全厂总量的40%、38%、22%，经检验知各车间的次品率分别为0.04、0.03、0.05。现从该种产品中任意抽取一件进行检查。

（1）求这件产品是次品的概率。

（2）已知抽得的产品是次品，问此产品来自乙车间的概率是多少？

A,0x39.设随机变量X的分布密度为f(x)1x，

x0或x30,（1）求常数A； （2）求P(X<1)； （3）求X的数学期望。

1(6xy),0x2,　2y410.随机变量（X,Y）的概率密度为f(X,Y)8，

0，其他求（1）PXY4；（2）关于X的边缘分布和关于Y的边缘分布；（3）X与Y是否独立？并说明理由。

11.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，

P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

12. 射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.

13. 设随机变量（X，Y）的概率密度为

k(6xy),0x2,2y4,f（x，y）=

0,其他.（1） 确定常数k；

（2） 求P{X＜1，Y＜3}；

14. 若随机变量XN(2,2)，且P(2X4)0.3，求P(X0)。 15. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为

5e5y,y0,fY（y）=

其他.0,求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.

16. 设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16， 求E（3X2Y），D（2X3Y）.

17.某人从甲地到乙地，乘火车、轮船和飞机的概率分别为0.2、0.4、0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到。试求： （1）他迟到的概率是多少？

（2）如果他迟到了，则他是乘轮船的概率是多少？

第6页共8页

Ax3,0x2 18.随机变量X的密度函数为f(x)，试求

其他0, （1）系数A；（2）分布函数F(x)；（3）P1x2

19.某工厂生产的零件废品率为5%，某人要采购一批零件，他希望以95%的概率保证其中

1.28）0.90；（1.65）0.95】有2000个合格品。问他至少应购买多少零件？【注：（

20.某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标，每射击一次须付费10元。若他射

中目标，则得奖金100元，且游戏停止。若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元。若他每次击中目标的概率为0.3，求他在此游戏中的收益的数学期望。

四、证明题

1.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，

n，记

1n1n22

XXi,S，S=(XiX)2. ni1n1i12 验证E(X)=μ，D(X) =；

n2.设事件A、B、C相互独立，试证明AB与C相互独立。 3.证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立. 4.设二维随机变量（X、Y）的联合分布律为

X Y 1 2 0 0.1  1 0.3 0.2 2 0.1 0.1 试求：（1）的值；

（2）（X,Y）分别关于X和Y的边缘分布律； （3）X与Y是否相互独立？为什么？ （4）X+Y的分布律。

五、应用题

1.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1） 在下雨条件下下雪的概率； （2） 这天下雨或下雪的概率.

30上均匀分布的随机变量，而经销商店进2.设某种商品每周的需求量X是服从区间10，　30中的某一整数。该经销商店每销售一单位该种商品可获利500元；若货量为区间10，　

第7页共8页

供大于求则削价处理，每处理一单位该种商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元。为实现该商店所获利润期望值不小于9280元的目标，试确定该经销商店对该种商品的进货量范围。

3.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？

（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？

4.学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元、4.5元、5元，出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3、0.2、0.5。已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。【注：（1.622）0.9474】

第8页共8页