高二（普通班）理科数学
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.下列说法正确的是( )
A． 经过空间内的三个点有且只有一个平面
B． 如果直线l上有一个点不在平面α内，那么直线上所有点都不在平面α内 C． 四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形
D． 用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台 2.已知平面α与平面β平行，a⊂α，则下列命题正确的是( )
A．a与β内所有直线平行 B．a与β内的无数条直线平行
C．a与β内的任何一条直线都不平行 D．a与β内的一条直线平行
3.如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是
棱DC， AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
4.小华的妈妈买回一个哈密瓜，小华对妈妈说：妈妈，我只切3刀，您猜，最少可以切成几块？最多可以切成几块？( )
A． 最少4块，最多6块 B． 最少4块，最多8块 C． 最少6块，最多8块 D． 最少4块，最多7块 5.直线3x＋4y－5＝0与圆2x＋2y－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A． 相离 B． 相切 C． 相交且直线不过圆心 D． 相交且过圆心
6.由直线y＝x＋1上的一点向圆C：x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )
1
2
2
A． 1 B． 2D． 3
C．
7.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋(y－2)2＝4所截得的弦长为( ) A． 2D．
2
2
2
2
B． 2 C．
8.圆x＋y－4x＋6y＝0和圆x＋y－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B． 2x－y－5＝0 C． 3x－y－9＝0 D． 4x－3y＋7＝0
9.已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( ) A． 19 B．D．
C．
10.如图，△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′，其中A′B′＝2，则△ABC的面积为( )
A． 2 B． 4 C． 2D． 4
，所确定的平面区域，则圆
在区域
11.已知是由不等式组内的弧长为（ ） A．
B．
C． D．
12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )
A．平面ADC⊥平面ABC B． 平面ADC⊥平面BDC C． 平面ABC⊥平面BDC D．平面ABD⊥平面ABC
2
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.在平面直角坐标系中，不等式组那么实数a的值为________.
14.圆x＋y－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为______．
16.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC； ③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．
三、解答题(共6小题,共70分) 17（10分）.已知直线l：x－2y－5＝0与圆C：x＋y＝50.
求：(1)交点A，B的坐标； (2)△AOB的面积．
18（12分）.已知圆心坐标为(3,4)的圆N被直线x＝1截得的弦长为2(1)求圆N的方程；
(2)若过点D(3,6)的直线l被圆N截得的弦长为4
19（12分）.如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形， 若G，F分别是线段EC，BD的中点． (1)求证：GF∥底面ABC；
(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．
20（12分）.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝1,
，求直线l的斜率.
.
2
2
2
2
(a为常数)表示的平面区域面积是9，
AA1＝
，求AB1与侧面AC1所成的角．
21.(12分)如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和
SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.
3 (1)求证：平面MAP⊥平面SAC；
(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值．
22.（12分）如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，
E是PC的中点．
(1)求证：PA∥平面BDE； (2)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
答案解析
1--5 C B B B D 6--10 C A C C D 11. B 12 A 13. 1. 14. 6
15. (x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 16. (1)(4)
17.【答案】(1)解方程组
得
或
所以直线l：x－2y－5＝0与圆x2
＋y2＝50的交点是A(－5，－5)，B(7,1)．
(2)过圆心O作直线l的垂线，垂足为D，则圆心O到直线l的距离在Rt△AOD中，△AOB的面积S△AOB＝
＝5
，
＝＝×6
×＝3
，所以
＝6
.
＝
＝
.
＝15.
18.【答案】(1)由题意知，圆心到直线的距离为3－1＝2， ∵圆N被直线x＝1截得的弦长为2
2
2
， ∴圆的半径为r＝＝3，
∴圆N的方程为(x－3)＋(y－4)＝9.
(2)设直线l的方程为y－6＝k(x－3)，即kx－y－3k＋6＝0， ∵圆心(3,4)到直线l的距离为d＝∴4
＝2
，r＝3，弦长为4
.
，
，化简得1＋k2＝4，解得k＝±
4
19.【答案】(1)证明 连接AE，由F是线段BD的中点，得F为AE的中点， ∴GF为△AEC的中位线， ∴GF∥AC.
又∵AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC， ∴GF∥平面ABC. (2)解 平面GFP∥平面ABC. 证明如下：
∵F，P分别为BD，CD的中点， ∴FP为△BCD的中位线， ∴FP∥BC. 又∵BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC， ∴FP∥平面ABC.
又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F， FP⊂平面FPG，GF⊂平面FPG， ∴平面GFP∥平面ABC.
20.【答案】取A1C1的中点D，连接B1D，AD.
因为AB＝BC＝CA＝1，ABC－A1B1C为直三棱柱， 所以B1D⊥A1C1， 因为AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥B1D， 所以B1D⊥平面ACC1A1，
所以AD是AB1在平面ACC1A1内的投影， 所以∠B1AD是AB1与平面ACC1A1所成的角． 因为B1D＝
，AB1＝
＝
，所以在Rt△B1AD中，sin∠B1AD＝
＝，
所以∠B1AD＝30°， 所以AB1与平面ACC1A1所成的角是30°. 21.【答案】(1)证明 ∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，
又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AC∩SC＝C，∴BC⊥平面SAC. 又∵P，M是SC，SB的中点，∴PM∥BC，∴PM⊥平面SAC， ∵PM⊂平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC.
(2)解 ∵AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M－AC－B的平面角． ∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN， 则∠AMN＝60°，在△CAN中，由勾股定理得AN＝在Rt△AMN中，MN＝
＝
·.
＝
.
＝， . 在Rt△CNM中，tan∠MCN＝故二面角M－AC－B的正切值为
22.【答案】(1)证明 连接OE，如图所示． ∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA. ∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE. (2)证明 ∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC. 又∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.
5
(3)解 取OC的中点F，连接EF.∵E为PC的中点，∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO. 又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥BD. ∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFO，∴OE⊥BD. ∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，∴∠EOF＝30°. 在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝∴OP＝2EF＝a，∴EF＝OF·tan 30°＝
a＝
a3.
a，
a， ∴VP－ABCD＝×a2×
6
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