导数及其应用(学生用)

1. 了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念．

2. 熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，会求某些简单函数的导数.

3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等．

2

1. 已知m为实数，函数f(x)＝x(x－m)，若f′(－1)＝－1，则f(x)的单调递减区间为________．

13

2. 已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y＝－x＋81x－

3

234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．

2

3. 若函数f(x)＝2x－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．

2

4. 若曲线f(x)＝ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.

题型一 利用导数求曲线的切线方程

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例1 已知a∈R，函数f(x)＝2x－3(a＋1)x＋6ax.

(1) 若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2) 若|a|>1，讨论f(x)在闭区间[0，|2a|]上的单调性．

例 2.（1）求曲线y=x3在点P(1,1)的切线方程。 （2）求曲线y=x3过点P(1,1)的切线方程。

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1. 已知函数f(x)＝13

x3－2x2

＋3x(x∈R)的图象为曲线C.

(1) 求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围； (2) 求曲线C过点（0,0）的切线方程。

2.已知函数f(x)＝ax3＋x2

－ax，其中a∈R，x∈R. (1) 当a＝1时，求函数f(x)在x＝1处的切线方程；

(2) 若函数f(x)在区间(1，2)上不是单调函数，试求a的取值范围；

3.若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线，试求a的值。

题型二 函数的极值、最值应用问题

例3 设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R.

(1)当a＝－10

3

时，讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；

(3)若对于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,0]上恒成立，求b的取值范围．

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已知f(x)＝ax2 (a∈R)，g(x)＝2ln x. (1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；

(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不等解，求a的取值范围．

题型三 已知单调区间求参数范围

例4 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex (x∈R，e为自然对数的底数)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调增区间；

(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．

已知函数f(x)＝ax

x2＋b

在x＝1处取得极值2.

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)当m满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m＋1)上单调递增？

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题型四 函数中任意性和存在性问题探究

高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论：

结论1：x1[a,b],x2[c,d],f(x1)g(x2)[f(x)]min[g(x)]max；【如图一】 结论2：x1[a,b],x2[c,d],f(x1)g(x2)[f(x)]max[g(x)]min；【如图二】 结论3：x1[a,b],x2[c,d],f(x1)g(x2)[f(x)]min[g(x)]min；【如图三】 结论4：x1[a,b],x2[c,d],f(x1)g(x2)[f(x)]max[g(x)]max；【如图四】 结论5：x1[a,b],x2[c,d],f(x1)g(x2)f(x)的值域和g(x)的值域交集不为空；【如图五】

例题5：已知两个函数f(x)8x16xk,g(x)2x5x4x,x[3,3],kR;

(1) 若对x[3,3],都有f(x)g(x)成立，求实数k的取值范围； (2) 若x[3,3],使得f(x)g(x)成立，求实数k的取值范围； (3) 若对x1,x2[3,3],都有f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围；

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232例6： 已知f(x)1lg(x1)，g(x)lg(2xt)，若当x[0,1]时，f(x)g(x))恒成立，2求实数t的取值范围.

例题7：(山东理科高考) 已知函数f(x)lnxax(1) 当a1a1(aR); x1时，讨论f(x)的单调性； 212（2）设g(x)x2bx4，当a时，若对x1(0,2，)x2[1,2],使

4f(x1)g(x2)，求实数b的取值范围；

1.已知函数f(x)1349xcxx23x,g(x)，若对任意x1,x2[2,2]，都有332f(x1)g(x2)，求c的范围.

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2.已知函数f(x)x42x3，则对任意t1,t2[1,2]（t1t2）都有 2|f(x1)f(x2)|____恒成立，当且仅当t1=____，t2=____时取等号.

题型五 利用导数解应用题

例8 如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形

中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。

两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

(1) 将y表示成x的函数；

(2) 讨论(1)中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

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2

1. (2013·广东卷)若曲线y＝ax－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________．

α

2. (2013·江西卷)若曲线y＝x＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．

3. (2014·全国卷)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．

4. (2013·湖北卷)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．

5.已知函数f(x)x3ax2x，抛物线C:x2y，当x∈(1，2)时，函数f(x）的图象在抛物线C:x2y的上方，求a的取值范围。

6.讨论方程x6x9xa0的实根的个数为

a

6. (2013·福建卷)已知函数f(x)＝x－1＋x(a∈R，e为自然对数的底数)．

e

(1) 若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2) 求函数f(x)的极值；

(3) 当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．

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